Étude de la restriction au petit site de la boule de Tate

Précisons la notion de faible surconvergence pour les préfaisceaux sur des grands sites.

Definition 2.4.1 — SoitB une k-variété rigide lisse et soitV ⊂SmAfnd/B une sous-catégorie pleine stable par passage aux ouverts affinoïdes. SoitF un préfaisceau surV. On dit queF est faiblement surconvergents’il vérifie la propriété suivante. Pour tout B-affinoïde X dans V et tout f0, f1, . . . , fn engendrant Γ(X,O) comme idéal, le morphisme évident

(2.60) Colim

λ∈√

|k^×|, λ>1

F(DX(λf0|f1, . . . , fn)) // F(DX(f0|f1, . . . , fn))

est inversible. En d’autres termes, un préfaisceau faiblement surconvergent surV est simplement un préfaisceau dont les restrictions aux petits sitesOuv^af(X)des ouverts affinoïdes deX, pourX∈Ob(V), sont des préfaisceaux faiblement surconvergents (au sens de la définition 2.1.22).

Dans ce paragraphe, on fixe une sous-catégorie pleineV ⊂SmAfnd/kstable par produits et coproduits directs finis ainsi que par passage aux ouverts affinoïdes. On suppose aussi queV contient la boule unité de Tate et les spectres des extensions finies et séparables dek. Rappelons queCor(V)désigne la sous-catégorie pleine de RigCor(k) telle queOb(Cor(V)) = Ob(V). Le lecteur ne perdra rien à supposer queV est égale àSmAfnd/kouSmAfnd^[/k(voir la notation 2.2.67). Le but de ce paragraphe est d’établir le résultat suivant.

Theoreme 2.4.2 — SoitF un préfaisceau avec transferts, faiblement surconvergent et invariant par homotopie sur V. On suppose que l’une des deux hypothèses suivantes est satisfaite :

(A) k est d’égale caractéristique nulle,

(B) F est un préfaisceau deQ-espaces vectoriels.

Alors, la restriction deF au petit site des ouverts quasi-compacts¹³ de(A¹k)^an est un faisceau acyclique. En d’autres termes, pourX un ouvert quasi-compact de (A¹k)^an, on aH⁰_ad(X, F) =F(X) etHⁱ_ad(X, F) = 0 pouri >0.

La preuve de ce théorème occupera tout le paragraphe. La condition (B) sera utilisée via le lemme suivant.

Lemme 2.4.3 — SoitF un préfaisceau avec transferts sur V à valeurs dans la catégorie desQ-espaces vectoriels.

Soitl/k une extension finie galoisienne de groupe de GaloisG. Pour tout X∈Ob(V), le morphisme évident

(2.61) F(X) // F(X⊗ˆkl)^G

est inversible.

Demonstration Notons p:X⊗ˆkl // X et r= [(p,id) :X⊗ˆkl ,→X׈k(X⊗ˆkl)]la transposée du graphe de p vue comme une correspondance finie deX dansX⊗ˆkl. On a alorsp◦r=|G| ·id_X etr◦p=P

g∈Gg(avecGagissant sur X⊗ˆkl via son action sur l). Notons a la restriction de F(r) : F(X⊗ˆkl) // F(X) à F(X⊗ˆkl)^G. D’après la discussion précédente, il est clair que

1

|G|·a:F(X⊗ˆkl)^G // F(X)

est un inverse à droite et à gauche de (2.61). c.q.f.d.

Nous allons démontrer le théorème 2.4.2 en appliquant le théorème 2.1.12 à la restriction de F à Ouv^qc((A¹k)^an).

La condition (a) du théorème 2.1.12 étant clairement satisfaite, il reste à montrer que cette restriction est acyclique pour les recouvrements du type I et II, et qu’elle satisfait l’invariance combinatoire (au sens de la définition 2.1.11).

Nous allons d’abord nous occuper de l’invariance combinatoire.

13. On rappelle qu’un ouvert quasi-compact de(A¹_k)^anest automatiquement affinoïde.

Proposition 2.4.4 — On reprend les hypothèses du théorème 2.4.2. Alors, la restriction deF àOuv^qc((A¹k)^an) satisfait l’invariance combinatoire. Autrement dit, étant donnés deux ouverts quasi-compacts connexes X ⊂ X⁰ ⊂ (A¹k)^an, le morphismeF(X⁰) // F(X)est un isomorphisme s’il existe une extension finie séparablel/k telle que

Demonstration Sik⁰/kdésigne le corps des constantes deX⁰, on peut considérerX etX⁰comme des ouverts quasi-compacts de(A¹k⁰)^an. Quitte à remplacer k park⁰ etF par sa restriction aux k⁰-affinoïdes qui sont dansV, on peut supposer queX⁰est géométriquement connexe (i.e., reste connexe après tout changement de base suivant une extension finie séparable dek). L’ensembleIest alors un singleton, ce qui entraîne queXest également géométriquement connexe.

Dans ce cas, on peut écrire

Grâce à la proposition 2.1.5 (sikest d’égale caractéristique nulle) et au lemme 2.4.3 (si la caractéristique résiduelle dekest non nulle), on peut supposer queoest un pointk-rationnel et que le groupeGstabilise l’ensemble{zβ;β ∈J}.

Sous l’hypothèse (A), on supposera plus précisément quek=lde sorte queG={1}. On noteraZ⊂A¹kle sous-schéma fermé tel queZ⊗kl={zβ;β ∈J}.

sont inversibles. Il est donc suffisant de montrer que les morphismes F(X⁰(λ)) // F(X(λ)) sont inversibles pour λ >1. Or, ces morphismes sont du même type que ceux considérés dans l’énoncé. Ainsi, on peut remplacerX etX⁰ parX(λ)et X⁰(λ), et supposer querβ < R, pourβ ∈J, et que |zβ−zβ⁰|>max(rβ, rβ⁰), pourβ 6=β⁰. Dans ce cas, nous allons montrer que l’inclusionX ,→X⁰ induit un isomorphisme dansπ₀RigCor(k); ceci permettra de conclure puisqueF est invariant par homotopie.

Pour montrer que l’inclusionX ,→X⁰ induit un isomorphisme dansπ₀RigCor(k)nous appliquerons la proposition 2.3.17 à deux reprises. Plus précisément, nous raisonnons de la manière suivante. SiJ =∅, il n’y a rien à démontrer puisque les boules de TateB¹k(o, R)etB¹k(o, R⁰)sont isomorphes àSpm(k)dansπ₀RigCor(k). On peut donc supposer queJ6=∅.

On noteB1 etB₁^◦ (resp.B₁⁰ etB₁^0◦) les complémentaires dans(P¹k)^andeB¹k(o, R)^◦ etB¹k(o, R)(resp.B¹k(o, R⁰)^◦ et B¹k(o, R⁰)). Alors,W1=X∪B1 est un ouvert quasi-compact strict de(P¹k)^an. (Le fait queW est strict découle du fait queJ6=∅.) Les conditions d’application de la proposition 2.3.17 sont satisfaites pour

{∞} ⊂B₁⁰ ⊂B1⊂W1. disjointe.) Les conditions d’application de la proposition 2.3.17 sont satisfaites pour

Z⊂B₂⁰ ⊂B2⊂B¹k(o, R).

(La conditionB2bB¹k(o, R)découle du fait querβ < Rpour toutβ ∈J.) Il s’ensuit que l’inclusionX =B¹k(o, R)− B₂^◦,→X⁰ =B¹k(o, R)−B₂^0◦induit un isomorphisme dansπ0RigCor(k)comme souhaité. c.q.f.d.

Pour terminer la preuve du théorème 2.4.2, il reste à traiter l’acyclicité pour les recouvrements du type I et II.

Ceci fera l’objet des lemmes 2.4.5 et 2.4.6 ci-dessous.

Lemme 2.4.5 — On reprend les hypothèses du théorème 2.4.2. Alors, la restriction de F à Ouv^qc((A¹k)^an) est acyclique pour les recouvrements du type I.

Demonstration On se donne un ouvert quasi-compact et connexe X ⊂ (A¹k)^an, et on cherche à montrer que F est acyclique pour tout recouvrement du premier type RX,x^I ₀, deX. Si k⁰/k désigne le corps des constantes de X, on peut considérer X comme un ouvert quasi-compact de (A¹k⁰)^an. De plus, le recouvrement RX,x^I 0, est encore un recouvrement du premier type deX considéré comme un ouvert quasi-compact de(A¹k⁰)^an. Ainsi, on peut remplacer kpark⁰ et F par sa restriction aux k⁰-affinoïdes qui sont dans V, et supposer queX est géométriquement connexe.

(Cette réduction n’est pas nécessaire dans la suite, mais permettra de simplifier légèrement les notations.) On fixe une extension galoisiennel/ksuffisamment grande de sorte que

X⊗ˆ_kl=B¹l(o, R)−a

β∈J

B¹l(z_β, r_β)^◦

avecrβ ≤R et |zβ−zβ⁰| ≥max(rβ, rβ⁰)pour β 6=β⁰. Soit x0 ∈X(l)un point l-rationnel et soit ∈p

|k^×|tel que <|x0−zβ|, pour toutβ ∈J, et <|x0−g·x0|, pour toutg∈Gavecx06=g·x0. On noteD1(x0, )etD2(x0, ) les ouverts quasi-compacts de(A¹k)^antels que

D₁(x₀, ) ˆ⊗kl= a

x∈G·x0

B¹l(x, ) et D₂(x₀, ) ˆ⊗kl=B¹l(o, R)− a

x∈G·x0

B¹l(x, )^◦.

Avec ces notations, on aRX,x^I ₀,= (D1(x0, ),→X, D2(x0, )∩X ,→X). PuisqueF est faiblement surconvergent, la suite de Mayer-Vietoris

0 // F(X) // F(D1(x0, ))⊕F(D2(x0, )∩X) // F(D1(x0, )∩D2(x0, )) // 0, associée au recouvrementRX,x^I 0,, coïncide avec la colimite, suivantλ∈p

|k^×|, avecλ >1, des suites de Mayer-Vietoris 0 // F(X) // F(D₁(x₀, λ))⊕F(D₂(x₀, λ⁻¹)∩X) // F(D₁(x₀, λ)∩D₂(x₀, λ⁻¹)) // 0,

associées aux recouvrements(D1(x0, λ),→ X, D2(x0, λ⁻¹)∩X ,→ X). Dans cette colimite, on se restreint auxλ suffisamment proches de 1 afin que les λsoient encore strictement inférieurs aux normes |x0−zβ|, pour β ∈ J et

|x0−g·x0|, pourg·x06=x0. Dans ce cas, il est clair que les conditions d’application du théorème 2.3.16 sont satisfaites avec X0 = D2(x0, λ⁻¹)∩X et Y = D1(x0, λ). Puisque F est invariant par homotopie, ceci permet de conclure.

c.q.f.d.

Lemme 2.4.6 — On reprend les hypothèses du théorème 2.4.2. Alors, la restriction de F à Ouv^qc((A¹k)^an) est acyclique pour les recouvrements du type II.

Demonstration On se donne un ouvert quasi-compact et connexe X ⊂ (A¹k)^an, et on cherche à montrer que F est acyclique pour tout recouvrement du deuxième type R_X,γ,λ^II deX. Sik⁰/k désigne le corps des constantes deX, on peut considérer X comme un ouvert quasi-compact de (A¹k⁰)^an. De plus, le recouvrement RX,γ,λ^II est encore un recouvrement du deuxième type deX considéré comme un ouvert quasi-compact de(A¹k⁰)^an. Ainsi, on peut remplacer kpark⁰ et F par sa restriction aux k⁰-affinoïdes qui sont dans V, et supposer queX est géométriquement connexe.

(Cette réduction n’est pas nécessaire dans la suite, mais permettra de simplifier légèrement les notations.) Dans ce cas, il existe une extension galoisiennel/k telle que

X⊗ˆkl=B¹l(o, R)−a

β∈J

B¹l(zβ, rβ)^◦

avecr_β ≤R et |z_β−z_β⁰| ≥max(r_β, r_β⁰)pour β 6=β⁰. On suppose queJ est non vide (car sinon, X n’admet pas de recouvrement du deuxième type). On fixeγ∈J et λ∈p

|k^×|tel querγ < λ < Ret |xγ−xβ| 6=λpour toutβ ∈J. On noteD1(γ, λ)et D2(γ, λ)les ouverts quasi-compacts de(A¹k)^antels que

D1(γ, λ) ˆ⊗kl= [

β∈G·γ

B¹l(zβ, λ) et D2(γ, λ) =B¹l(o, R)− [

β∈G·γ

B¹l(zβ, λ)^◦.

On doit montrer queF est acyclique pour le recouvrement RX,λ,γ^II = (X ∩Di(γ, λ),→X)i=1,2. Pour i ∈ {1,2}, on poseXi(γ, λ) =X∩Di(γ, λ).

On se donne des élémentsµ, λ⁰, µ⁰ ∈p

|k^×|tels que µ < λ < λ⁰< µ⁰ et µ⁰−µsuffisamment petit de sorte que les propriétés suivantes sont satisfaites :

— rγ < µet|xγ−xβ| 6∈ {µ, λ, λ⁰, µ⁰},

— |xγ−x_β|< µ⇔ |xγ−x_β|< µ⁰ pour toutβ ∈J.

Ces propriétés entraînent que les inclusionsX₁(γ, ρ) ,→ X₁(γ, ρ⁰)et X₂(γ, ρ⁰),→X₂(γ, ρ), pour ρ ≤ρ⁰ avecρ, ρ⁰ ∈ {µ, λ, λ⁰, µ⁰}, vérifient les mêmes conditions que les inclusions W ,→ W⁰ considérées dans la définition 2.1.11. Or, d’après la proposition 2.4.4, F satisfait l’invariance combinatoire. Les morphismes de restriction du préfaisceau F fournissent donc des isomorphismes théorème 2.3.16, on a donc une suite exacte scindée dansπ0RigCor(k):

0 // C(γ, µ, λ)⊕C(γ, λ⁰, µ⁰) ^A // C(γ, µ, µ⁰)⊕X1(γ, λ)⊕X2(γ, λ⁰) ^B // X // 0

où le symbole « ι » désigne les inclusions évidentes. Grâce aux isomorphismes (2.62) et (2.63), il s’ensuit que F transforme

0 // C(γ, µ, µ⁰)⊕C(γ, µ, µ⁰) ^A

0 // C(γ, µ, µ⁰)⊕X₁(γ, µ⁰)⊕X₂(γ, µ) ^B

0 // X // 0 en une suite exacte (de groupes abéliens). Ci-dessus, on a notéA⁰ et B⁰ les matrices

A⁰=

D’après la discussion précédente, on obtient un morphisme de suites exactes en appliquantF au diagramme ci-dessus.

Les flèchesEet E⁰ étant des épimorphismes scindés, il s’ensuit queF transforme la suite 0 // C(γ, µ, µ⁰) ^A

00 // X1(γ, µ⁰)⊕X2(γ, µ) ^B

00 // X // 0,

obtenue en prenant les noyaux des flèches verticales dans le diagramme ci-dessus, en une suite exacte (de groupes abéliens). Ci-dessus, on a notéA⁰⁰ etB⁰⁰ les matrices

A⁰⁰=

En utilisant une deuxième fois les isomorphismes (2.62) et (2.63), on déduit queF transforme 0 // C(γ, λ, λ) // X1(γ, λ)⊕X2(γ, λ) // X // 0

en une suite exacte (de groupes abéliens). c.q.f.d.