Préfaisceaux avec transferts sur SmRig/k et compléments

D’après la remarque 2.2.24, le préfaisceau Ztr(Y), pour Y une k-variété rigide, admet une extension naturelle à SmRig/k. Le résultat suivant donne une interprétation du groupe des sections de Ztr(Y) au-dessus d’une k-variété rigide lisse (non nécessairement affinoïde).

Proposition 2.2.28 —Soient X et Y deux k-variétés rigides, et supposons que X est lisse. Alors le groupe Ztr(Y)(X)s’identifie au groupe hom_AfndPST(k)(Ztr(X),Ztr(Y)).

Demonstration LorsqueXest unk-affinoïde, l’assertion découle du lemme de Yoneda. Soit(Xi)i∈Iun recouvrement deX par des ouverts affinoïdes. CommeX est supposée séparée (c’est par convention le cas pour toutes nosk-variétés rigides),Xi∩Xj est un ouvert affinoïde pour tout(i, j)∈I². Par la proposition 2.2.25,Ztr(X)s’identifie au conoyau de

M

i,j∈I

Ztr(X_i∩X_j) // M

i∈I

Ztr(X_i)

dans la catégorie des faisceaux Nisnevich avec transferts. Par la proposition 2.2.23,Ztr(Y)est un faisceau Nisnevich avec transferts. Le groupehom_AfndPST(k)(Ztr(X),Ztr(Y))s’identifie alors à l’égalisateur de la double flèche

Y

i∈I

hom_AfndPST(k)(Ztr(Xi),Ztr(Y)) //// Y

i,j∈I

hom_AfndPST(k)(Ztr(Xi∩Xj),Ztr(Y)).

Cette double flèche n’est autre que Y

i∈I

Ztr(Y)(Xi) //// Y

i,j∈I

Ztr(Y)(Xi∩Xj).

Il suffit d’utiliser une deuxième fois la proposition 2.2.23 pour conclure. c.q.f.d.

Definition 2.2.29 — La catégorieRigCor(k)est la sous-catégorie pleine deAfndPST(k)dont les objets sont lesZtr(X)avecXunek-variété rigide lisse. PourX etY deuxk-variétés rigides lisses, les morphismes deZtr(X)dans Ztr(Y)sont les éléments du groupeZtr(Y)(X)qui sera aussi notéCor(X, Y). La catégorie RigCor(k)est additive et monoïdale symétrique. En fait, elle admet les sommes directs au plus dénombrables⁷et le produit tensoriel y commute.

Étant donnée une catégorie abélienneAadmettant les produits directs au plus dénombrables, on noteRigPST(k,A) la catégorie des foncteurs contravariants de RigCor(k) à valeurs dans A qui transforment les sommes directes au plus dénombrables en produits directs. Les objets de cette catégorie seront appelés des préfaisceaux avec transfers sur SmRig/k à valeurs dans A. Lorsque Aest la catégorie des groupes abéliens on écrit simplementRigPST(k).

Remarque 2.2.30 —SoitFun préfaisceau surSmRig/kà valeurs dans une catégorie admettant les produits directs au plus dénombrables. Dire queFtransforme les coproduits directs au plus dénombrables en produits directs revient à dire queF est un faisceau pour la topologie engendrée par les familles(Xj,→`

i∈IXi)j∈I, où(Xi)i∈I est une famille au plus dénombrable d’objets deSmRig/k. En particulier, on dispose d’un foncteur « faisceau associé » qui transforme un préfaisceau quelconque surSmRig/k en un préfaisceau transformant les coproduits directs au plus dénombrables en produits directs. En utilisant ceci, on montre facilement que la catégorieRigPST(k,A)est abélienne. De plus, elle est de Grothendieck siAl’est.

Remarque 2.2.31 — La sous-catégorie pleine de RigPST(k) formée des préfaisceaux avec transferts dont la restriction à SmRig/k est un faisceau pour la topologie de Nisnevich, est notée RigStr_Nis(k). Cette catégorie est équivalente àAfndStrNis(k). On a le diagramme de catégories

SmAfnd/k //

AfndCor(k) //

AfndPST(k)

//AfndStrNis(k)oo SmRig/k //RigCor(k) //RigPST(k)

OO //RigStr_Nis(k).oo

∼

OO

Lorsque X est un k-affinoïde lisse, le lemme 2.2.16 (voir aussi la notation 2.2.20) fournit une description des groupes de correspondances finiesCor(X, Y)en termes de sous-variétés fermées deX׈kY. Une description similaire est encore valable pour toutek-variété rigide lisse ayant un nombre fini de composantes connexes. C’est l’objet de la proposition 2.2.35 ci-dessous. Pour énoncer cette proposition, nous aurons besoin de la définition suivante.

7. On rappelle que, par convention, nosk-variétés rigides admettent des recouvrements admissibles au plus dénombrables par des ouverts affinoïdes. Ceci n’exclut pas les variétés rigides possédant un nombre infini dénombrable de composantes connexes.

Definition 2.2.32 —Soitf :Z // X un morphisme fini dek-variétés rigides. On dit que f est équidimen-sionnel(de dimension relative nulle), ou queZ est équidimensionnellesurX, si pour tout morphismeU // X, avec U un k-affinoïde intègre, toute composante irréductible duk-affinoïde Z׈XU est surjective sur U.

Remarque 2.2.33 —Lorsque lak-variété rigideX est normale et affinoïde, on sait (grâce au lemme 2.2.3) qu’un morphisme finif :Y // Xest équidimensionnel si et seulement si chaque composante irréductible deY est surjective sur une composante connexe deX. Il est plausible que ceci reste vrai pour toutek-variété rigide normale, mais nous n’avons pas tenté de le prouver.

Lemme 2.2.34 — SoientX et Y deux k-variétés rigides, et supposons queX est lisse. Soit α∈Cor(X, Y)une correspondance finie. Il existe alors une unique sous-variété fermée et réduiteZ⊂X׈kY telle que, pour tout ouvert affinoïdeU ⊂X, le support de la correspondance finieα◦(U ,→X)est égal àZ׈XU. De plus, la sous-variété Z est finie et équidimensionnelle surX; elle est appelée le support deα.

Demonstration Pour chaque ouvert affinoïdeU ⊂X, notonsZ_U ⊂U׈kY le support de la correspondance finie α◦(U ,→X). Il est clair que Z_U∩V =Z_U ∩Z_V. Les sous-variétés réduites Z_U se recollent donc en une sous-variété fermée et réduiteZ⊂X׈_kY qui est clairement finie surX.

Pour montrer que Z est équidimensionnel au-dessus de X, on se donne un morphisme W // X, avec W un k-affinoïde intègre, et on cherche à montrer que toutes les composantes irréductibles deZ׈XW sont surjectives sur W. La question est locale (pour la topologie des récouvrements admissibles) sur W. On peut donc supposer que W se factorise par un ouvert affinoïdeU ⊂X. Ceci permet de remplacer X parU et αpar α◦(U ,→X). Le résultat

recherché est alors clair (voir la remarque 2.2.33). c.q.f.d.

Pour la notion d’irréductibilité pour les k-variétés rigides non nécessairement affinoïdes, on renvoie le lecteur à [Con99].

Proposition 2.2.35 — Soient X et Y deux k-variétés rigides, et supposons que X est lisse et admet un nombre fini de composantes connexes. Alors Cor(X, Y) = Ztr(Y)(X) est canoniquement isomorphe au Z-module librement engendré par les sous-variétés rigides fermées, réduites et irréductibles Z ⊂ X׈kY, qui sont finies et équidimensionnelles sur X.

Demonstration Fixons lak-variété rigide lisseX et considérons le préfaisceau F surOuv(X)défini de la manière suivante. PourU ⊂X un ouvert admissible connexe, F(U)est leZ-module librement engendré par les sous-variétés rigides fermées, réduites et irréductibles Z ⊂U׈kY, qui sont finies et équidimensionnelles sur U. Pour U ⊂X un ouvert admissible non nécessairement connexe,F(U)est le produit direct Q

i∈IF(Ui), où (Ui)_i∈I est la famille des composantes connexes deU. Si V ⊂U ⊂X sont des ouverts admissibles connexes, le morphisme F(U) // F(V) envoie le générateurZ ⊂U׈kY sur la somme des composantes irréductibles deZ׈UV ⊂V ׈kY. (Ceci a un sens car la variété rigideZ׈UV possède un nombre fini de composantes irréductibles ; ce nombre est en effet majoré par le degré générique du morphisme fini et surjectifZ // U.) Il est immédiat de voir que ceci définit bien un préfaisceau surOuv(X). De plus, il est clair que la restriction deF à Ouv^af(X) coïncide avec la restriction deCor(−, Y). Par l’unicité de l’extension à(Ouv(X),ad)d’un faisceau sur (Ouv^af(X),ad), il est donc suffisant de vérifier queF est un faisceau pour la topologie des recouvrements admissibles. La preuve de cela repose sur les mêmes arguments utilisés dans la preuve de la proposition 2.2.23. On laisse les détails au lecteur. c.q.f.d.

Dans le reste du paragraphe, nous allons étendre au cas relatif une partie des notions introduites au paragraphe 2.2.2. Soit B une k-variété rigide, et soient X et Y deux B-variétés rigides. On suppose que X et Y sont lisses sur k. On note CorB(X, Y) le sous-groupe de Cor(X, Y) formé des correspondances finies α dont le support est contenu dans X׈BY (qui est un fermé de X׈kY). Étant donnée une troisième B-variété rigide Z lisse sur k, la composition des correspondances finies Cor(X, Y)⊗Cor(Y, Z) // Cor(X, Z) envoie Cor_B(X, Y)⊗Cor_B(Y, Z) dans Cor_B(X, Z). En effet, étant données deux correspondances finies α : X // Y et β : Y // Z de support T ⊂X׈BY etS⊂Y׈BZ, le support deβ◦αest contenu dans l’image deT׈Y S dansX׈kZ. Or, le morphisme T׈_Y S // X׈_kZ se factorise comme suit :

T׈YS // (X׈BY) ˆ×Y(Y ׈BZ)'X׈BY ׈BZ // X׈BZ ,→X׈kZ.

On peut donc faire la définition suivante.

Definition 2.2.36 — Soit B une k-variété rigide. On note RigCor⁰(B) (resp. AfndCor⁰(B)) la catégorie ayant pour objets lesB-variétés rigides (resp. les B-affinoïdes⁸) qui sont lisses surket où les groupes de morphismes sont donnés parCor_B(−,−). Lorsque B est lisse, on note aussiRigCor(B) (resp. AfndCor(B)) la sous-catégorie pleine deRigCor⁰(B)(resp.AfndCor⁰(B)) formée des B-variétés rigides lisses.

8. Par «B-affinoïde » on entend unk-affinoïdeXmuni d’un morphisme dek-variétés rigidesf:X // B. À ne pas confondre avec la notion (moins restrictive sous l’hypothèse queBest séparée) de morphisme affinoïde qui demande plutôt quef⁻¹(U)soit un ouvert affinoïde pour tout ouvert affinoïdeU⊂B.

Pour une référence future, on note le résultat suivant (qu’on n’a pas cherché à énoncer dans une généralité maxi-male).

Proposition 2.2.37 — Soitl/kune extension de corps valués complets. Soite: (D, l) // (B, k)un morphisme dansAfnd//k avec B etD des affinoïdes lisses surk etl. Alors, il existe un foncteur

(2.30) D׈B−:AfndCor(B) // AfndCor(D)

rendant commutatif le carré

SmAfnd/B ^D

׈_B− //

SmAfnd/D

AfndCor(B) ^D׈B−//AfndCor(D).

De plus, si l’extensionl/kest algébrique et purement inséparable, si les degrés surkdes éléments delsont uniformément bornés, et si le morphismee:D // B⊗ˆkl est fini, surjectif et radiciel, alors le foncteur

(2.31) D׈B−:AfndCor(B)[1/p] // AfndCor(D)[1/p]

est une équivalence de catégories (avec pl’exposant caractéristique de k).

Demonstration Notons B⁰=B⊗ˆkl. Le foncteur en question se factorise : AfndCor(B) ^−⊗ˆkl // AfndCor(B⁰) ⁻

⊗ˆ_B0D// AfndCor(D).

Le premier foncteur est celui défini dans la proposition 2.2.22. (Plus précisément, il s’agit de la variante relative de ce foncteur qui s’en déduit facilement). Le second foncteur envoie une correspondance finiea∈CorB⁰(X, Y), avecX et Y desB⁰-affinoïdes lisses, sur la correspondance finiea◦(D׈B⁰X→X)modulo l’identification

CorD(D׈B⁰X, D׈B⁰Y)'CorB⁰(D׈B⁰X, Y).

On se concentre maintenant sur la dernière partie de l’énoncé. Ainsi, dans la suite, l/k sera supposée purement inséparable, ete:D // B⁰sera supposé fini, surjectif et radiciel. On suppose aussi que les degrés surkdes éléments del sont uniformément bornés, i.e., qu’il existe une puissanceq de ptelle quea^q ∈k pour tout a∈l. Ceci entraîne quef^q ∈Γ(†,O)pour toutf ∈Γ(†⊗ˆkl,O)pour toutk-affinoïde†. (En effet, il suffit de vérifier cela pour une boule de Tate, ce qui est alors immédiat.) En particulier, le Spec(Γ(†,O))-schémaSpec(Γ(†⊗ˆ_kl,O))est entier, surjectif et radiciel.

Montrons d’abord que le foncteur (2.31) est pleinement fidèle. Il s’agit de montrer que le morphisme de groupes

(2.32) Cor_B(X, Y)[1/p] // Cor_D(Z, T)[1/p]

est un isomorphisme avecZ =X׈BD etT =Y ׈BD. Le morphisme de schémas Spec(Γ(Z׈DT,O)) // Spec(Γ(X׈BY,O))

est entier, surjectif et radiciel. Il induit donc une bijection entre les ensembles des fermés irréductibles finis et surjectifs sur les premiers facteurs dansZ׈DT etX׈BY. Les bases canoniques des deuxZ[1/p]-modulesCorB(X, Y)[1/p]et CorD(Z, T)[1/p], i.e., celles données par les correspondances finies élémentaires, sont donc en bijection. Dans ces bases, l’homomorphisme (2.32) est donné par une matrice diagonale (infinie) ; les entiers qui apparaissent sur la diagonale sont des multiplicités galoisiennes qui, dans le cas présent, sont des puissances dep. Ceci permet de conclure.

Il reste à voir que le foncteur (2.31) est essentiellement surjectif. Quitte à remplacerqpar une puissance plus grande dep, on peut supposer que leq-ième morphisme de Frobenius absolu deΓ(B,O)se factorise parΓ(B,O) // Γ(D,O).

Il existe donc un morphisme f : (B, k) // (D, l) dans Afnd//k tel que e◦f : (B, k) // (B, k) est le q-ième morphisme de Frobenius absolu, i.e., correspond à l’élévation à la puissanceq dansΓ(B,O) et k.⁹ D’après la pleine fidélité pour le foncteur induit parf : (B, k) // (D, l), il est suffisant de montrer que le foncteur

B׈Frobq, B−:AfndCor(B)[1/p] // AfndCor(B)[1/p],

induit parFrob_q: (B, k) // (B, k), est essentiellement surjectif. Or, pourX unB-affinoïde lisse, le Frobenius relatif X // B׈Frobq, BX est inversible dans AfndCor(B)[1/p]. Ceci permet de conclure. c.q.f.d.

9. On fera attention que le «k» dans le morphisme(B, k) // (D, l)désigne réellement l’extension dekdonnée parFrobq:k ,→k; pour que ceci soit une extension de corps valués complets, il faut remplacer la norme dans le secondkpar la racineq-ième de la norme orignelle dek. On laissera ce genre de subtilité aux soins du lecteur.

SoitB unek-variété rigide lisse. On fixe une sous-catégorie pleineV ⊂SmRig/Bstable par coproduits finis et par passage aux composantes connexes. On noteCor(V)la sous-catégorie pleine deRigCor(B)dont les objets sont ceux deV. C’est une sous-catégorie additive.

Definition 2.2.38 — Unpréfaisceau avec transfertsF surV à valeurs dans une catégorie abélienneAadmettant les produits directs pertinents est un foncteur

F :Cor(V)^op // A

qui transforme les coproduits directs de V en produits directs. (En particulier, un telF est additif.) La catégorie des préfaisceaux avec transferts sur V à valeurs dansA est notéePreStr(V,A). Lorsque Aest la catégorie des groupes abéliens, on notera simplementPreStr(V).

On reservera la notationRigPST(B,A) (resp.AfndPST(B,A)) pour la catégorie PreStr(SmRig/B,A)(resp.

PreStr(SmAfnd/B,A)). (Bien entendu, «A» sera omis de la notation lorsqueAest la catégorie des groupes abéliens.) On a le lemme facile suivant.

Lemme 2.2.39 — La catégoriePreStr(V,A)est abélienne. Elle est de Grothendieck lorsque Al’est.