Exemples de préfaisceaux avec transferts, surconvergents et B 1 -invariants

Nous avons vu que les préfaisceaux avec transferts faiblement surconvergents et B¹-invariants se comportent bien par rapport à la topologie des recouvrements admissibles. Ils sont pour cela les analogues rigides des préfaisceaux avec transfertsA¹-invariants, objets fondamentaux dans la théorie des motifs triangulés à la Voevodsky.

Pour obtenir des exemples de préfaisceaux avec transferts faiblement surconvergents et B¹-invariants, il suffit d’appliquer le foncteurh^B₀¹ à des préfaisceaux avec transferts faiblement surconvergents. Malheureusement, il n’est pas facile de construire des préfaisceaux faiblement surconvergents sur SmAfnd/k; en effet, étant donnée une k-variété rigide lisse X, le préfaisceau Ztr(X) n’est jamais faiblement surconvergent à moins que la dimension de X ne soit nulle.¹⁵Dans ce paragraphe, on démontre le théorème suivant qui fournit beaucoup d’exemples de préfaisceaux avec transferts faiblement surconvergents etB¹-invariants.

Theoreme 2.4.13 — Soit B un k-affinoïde lisse et soit X un B-schéma lisse de type fini. Alors, le préfais-ceau d’homologie HnSing^B1(Ztr(X^an)) est un préfaisceau avec transferts sur SmAfnd/B faiblement surconvergent et invariant par homotopie.

L’assertion que le préfaisceau avec transferts HnSing^B1(Ztr(X^an))est B¹-invariant est mise pour mémoire (voir en effet la proposition 2.2.52). On doit seulement démontrer que ce préfaisceau est faiblement surconvergent. Pour ce faire, on aura besoin d’un résultat d’approximation dont la preuve utilise les mêmes techniques que celle du théorème 2.2.58 ; il s’agit du théorème 2.4.16 ci-dessous. Introduisons d’abord quelques notations.

Notation 2.4.14 —SoitB = Spm(A)unk-affinoïde lisse. On suppose donné un sous-anneauA0⊂Avérifiant les conditions suivantes :

— le sous-anneauA₀⊂Aest dense (lorsqu’on munitA de la norme infinie) ;

— l’anneauA₀est noethérien et régulier ;

— laA₀-algèbreAest régulière.

En particulier, d’après le théorème de Popescu [Pop85, Pop86], Aest une colimite filtrante de A₀-algèbres de type fini et lisses.

On poseB0 = Spec(A0)et on noteV(B/B0)la catégorie des voisinages étales affines deB dansB0, i.e., desB0 -schémas étales affines munis d’un point à valeurs dans laA0-algèbreA. L’opposé de l’ensemble ordonné (par l’inclusion) des sous-A0-algèbres étales deAs’identifie à une sous-catégorie pleine et cofinale deV(B/B0)via le foncteur « spectre associé ». On considèreraV(B/B0)comme un pro-B0-schéma étale de la manière évidente.

Plus généralement, pourn∈N, on note

A⁽ⁿ⁾₀ = A0[t0, . . . , tn] (1−Pn

i=0t_i) et A⁽ⁿ⁾= A{t0, . . . , tn} (1−Pn

i=0t_i).

15. Pour voir cela, on peut supposer que X admet un point rationnel x dans une composante connexe de dimensionn > 0 (quitte à remplacer k par une extension finie séparable). Comme X est lisse, le pointx possède un voisinage ouvert isomorphe à Bⁿ_k. Soient f1, . . . , fn∈Γ(Bⁿ_k,O) =k{t1, . . . , tn}des séries convergentes telles que :

— |f_i|∞<1,

— fi=P

ν=(ν₁,...,ν_n)∈Nⁿa⁽ⁱ⁾ν t^νavec(λ^{ν1+···+νn}|a⁽ⁱ⁾ν |)ν∈Nⁿnon bornée pour toutλ >1.

Considérons alors le morphismeφ:Bⁿk // X égal à la composition de

Bⁿk

(f₁,...,fn) // _Bⁿ_k,→X.

Alors,φ∈Ztr(X)(Bⁿk)ne s’étend à aucune boule de rayon strictement plus grand que1. En effet, supposons qu’il existe une extension φ⁰ :Bⁿ_k(o, λ) // X deφavecλ >1 dansp

|k^×|. Quitte à remplacerλ par un scalaire plus proche de1, on peut supposer queφ⁰ se factorise parBⁿ_k (car l’image de φest contenue dans l’intérieur deBⁿ_k). Il est facile de voir queφ⁰ est forcément un morphisme (et pas seulement une correspondance finie). L’existence deφ⁰implique quefi∈Γ(Bⁿ_k(o, λ),O)ce qui contredit la seconde condition sur lesfi.

Ainsi, Spec(A⁽ⁿ⁾₀ ) = ∆ⁿ_B

0 et Spm(A⁽ⁿ⁾) = ∆ⁿ_rig,B. On note aussi Vⁿ(B/B₀) = V(∆ⁿ_rig,B/∆ⁿ_B

0) la catégorie des voisinages étales affines de∆ⁿ_rig,Bdans∆ⁿ_B

0. Comme ci-dessus, on considèreraVⁿ(B/B0)tantôt comme une catégorie filtrante, tantôt comme un pro-B0-schéma lisse. En faisant variern, on obtient un objet cosimplicialV^•(B/B0)dans la catégorie des pro-B0-schémas lisses.

Ce groupe simplicial s’identifie naturellement à Cor_B(B, X^an) avec X = X0⊗A₀ A. On dispose d’un morphisme évident de groupes simpliciaux

Theoreme 2.4.16 — Le morphisme de complexes (2.66)est un quasi-isomorphisme.

Demonstration D’après le lemme 2.2.62, la A⁽ⁿ⁾₀ -algèbreA⁽ⁿ⁾ est régulière. Par le théorème de Popescu [Pop85, Pop86], A⁽ⁿ⁾est une colimite filtrante deA⁽ⁿ⁾₀ -algèbres lisses et de type fini.

La preuve est divisée en deux parties. On y montre respectivement que (2.66) induit des surjections et des injections sur les groupes d’homologie.

Partie 1 : surjectivité.Soitα∈CorB₀(Spec(A⁽ⁿ⁾), X0)une correspondance finie définissant un cycle dans le complexe normalisé associé au groupe simplicialCor_B0(B, X0), i.e., α◦dn,i= 0, pour 0≤i≤n, avec

dn,i: Spec(A⁽ⁿ⁻¹⁾) // Spec(A⁽ⁿ⁾)

la face correspondante à l’équation t_i = 0. Par le théorème de Popescu [Pop85, Pop86] (et puisque X₀ est unB₀ -schéma de type fini), il existe uneA⁽ⁿ⁾₀ -algèbre lisse et de type fini E₀, un morphisme de A⁽ⁿ⁾₀ -algèbres E₀ // A⁽ⁿ⁾ possible puisque l’anneauA⁽ⁿ⁾₀ est dense dansA⁽ⁿ⁾. Formons un carré cartésien

U

AlorsU est étale surSpec(A⁽ⁿ⁾₀ ). Nous affirmons que, pour suffisamment petit,U est naturellement un voisinage étale de∆ⁿ_rig,B dans∆ⁿ_B, i.e., définit un objet deVⁿ(B/B₀).

Pour un tel, on peut former le triangle commutatif

Spec(E⁰)^an

Spm(A⁽ⁿ⁾) ^(f

1,...,f_r)

//

u◦(f₁,...,f_r) 22

(Spec(A⁽ⁿ⁾[s₁, . . . , s_r]))^an. Le morphismeu◦(f₁, . . . , f_r)ci-dessus fournit une section au morphisme étaleU×_Spec(A(n)

0 )Spec(A⁽ⁿ⁾) // Spec(A⁽ⁿ⁾).

Cette section équivaut à la donnée d’un morphisme deSpec(A⁽ⁿ⁾₀ )-schémasSpec(A⁽ⁿ⁾) // U. Ainsi, comme affirmé ci-dessus,U est naturellement un voisinage étale affine de ∆ⁿ_rig,B= Spm(A⁽ⁿ⁾)dans∆ⁿ_B

0 = Spec(A⁽ⁿ⁾₀ ).

Notons maintenantα=α⁰⁰◦(U→Spec(E₀⁰)). La classe deαdansCor_B0(V(B/B0), X0)nest, par construction, un cycle dans le complexe normalisé associé au groupe simplicialCor_B0(V(B/B0), X0). Pour terminer, il reste à voir que l’image deαdansCor_B0(B, X0), qu’on noteraα⁰⁰⁰, est homologue àα. Pour cela, il sera utile de noter que (2.67) α^an= (α⁰⁰)^an◦u◦(f1, . . . , fr) et (α⁰⁰⁰)^an= (α⁰⁰)^an◦u◦(f₁, . . . , f_r).

Considérons la correspondance finieα˜ donnée par la composition de

∆ⁿ_rig,B׈kB^rk(o, )'B¹_A(n)(f1, ) ˆ⊗_A(n) · · ·⊗ˆ_A(n)B¹_A(n)(fr, ) ^u // Spec(E⁰)^{an (α}

00)^an// X^an.

On a les deux sectionso= (0, . . . ,0) et s= (f1−f₁, . . . , fr−f_r) à la projectionπ: ∆ⁿ_rig,B׈kB^rk(o, ) // ∆ⁿ_rig,B. Les égalités (2.67) se traduisent parα^an= ˜α◦oet(α⁰⁰⁰)^an= ˜α◦s. De plus,α˜ est un cycle dans le complexe normalisé associé au groupe simplicial Cor_B(B^rB(o, ), X^an). D’après la proposition 2.2.44, α˜ est homologue à α^an◦π. Soit β ∈ CorB(∆ⁿ⁺¹_rig,B׈kB^rk(o, ), X^an) une homologie entre α˜ et α^an◦π. Ainsi, β vérifie β ◦dn+1,0 = ˜α−α^an◦π et β◦dn+1,i= 0pour1≤i≤n+ 1.

Appelons

h: ∆ⁿ⁺¹_rig,B // ∆ⁿ⁺¹_rig,B׈kB^rk(o, )

le morphisme obtenu du morphisme de ∆ⁿ_rig,B-affinoïdes s : ∆ⁿ_rig,B // ∆ⁿ_rig,B׈kB^rk(o, ) par changement de base suivant le morphisme de dégénérescence∆ⁿ⁺¹_rig,B // ∆ⁿ_rig,B correspondant à

(t0, . . . , tn+1) (t0+t1, t2, . . . , tn+1).

On a donc un carré cartésien

∆ⁿ⁺¹_rig,B ^h //

∆ⁿ⁺¹_rig,B׈kB^rk(o, )

∆ⁿ_rig,B ^s //∆ⁿ_rig,B׈kB^rk(o, )

ethest un morphisme de∆ⁿ⁺¹_rig,B-affinoïdes. En particulier, pour tout0≤i≤n+ 1, on dispose de carrés cartésiens

∆ⁿ_rig,B ^hi //

dn+1,i

∆ⁿ_rig,B׈kB^rk(o, )

d_n+1,i

∆ⁿ⁺¹_rig,B ^h //∆ⁿ⁺¹_rig,B׈_kB^rk(o, ).

De plus,h0=sde sorte queh◦dn+1,0= dn+1,0◦s. (Cette égalité est aussi vraie pouri= 1, mais nous n’en aurons pas besoin.) Ainsi, la correspondance finieβ◦h∈CorB(∆ⁿ⁺¹_rig,B, X^an)vérifie les identités suivantes

β◦h◦dn+1,i=







˜

α◦s−α^an◦π◦s si i= 0, 0 si 1≤i≤n+ 1.

Puisque(α⁰⁰⁰)^an= ˜α◦set quesest une section àπ, la correspondance finie β◦hfournit une homologie entreα^an et (α⁰⁰⁰)^an. Ceci termine la preuve de la surjectivité (vu l’identification Cor_B0(B, X0)'Cor_B(B, X^an)).

Partie 2 : injectivité.On procède de la même manière que pour la surjectivité. Soit α∈CorB₀(U0, X0), avec U0 ∈ Vⁿ(B/B0), définissant un cycle dans le complexe normalisé associé au groupe simplicial Cor_B0(V(B/B0), X0). On suppose donnée une correspondance finieβ ∈Cor_B0(B, X0)n+1 telle que :

(a) β◦dn+1,i= 0 pour1≤i≤n+ 1, (b) β◦dn+1,0=α◦(Spec(A⁽ⁿ⁾)→U0).

On cherche à montrer que l’image deαdansCor_B0(V(B/B0), X0)est homologue à zéro.

Par le théorème de Popescu [Pop85,Pop86] (et puisqueX0 est unB0-schéma de type fini), il existe uneA⁽ⁿ⁺¹⁾₀ -algèbre lisse et de type fini E0, un morphisme de A⁽ⁿ⁺¹⁾₀ -algèbres E0 // A⁽ⁿ⁺¹⁾ et une correspondance finie β⁰ ∈ CorB₀(Spec(E0), X0) telle que β = β⁰ ◦(Spec(A⁽ⁿ⁺¹⁾) → Spec(E0)). Quitte à raffiner E0, on peut supposer que le morphisme E0/(t0) // A⁽ⁿ⁺¹⁾/(t0) ' A⁽ⁿ⁾ factorise le morphisme Γ(U0,O) // A⁽ⁿ⁾. Ainsi, on a un triangle commutatif deA⁽ⁿ⁾₀ -schémas

Spec(A⁽ⁿ⁾) // ++

Spec(E0/(t0))

U₀.

Quitte à raffinerE0 d’avantage, on peut supposer que

(a⁰) β⁰◦(Spec(E0/(ti)),→Spec(E0)) = 0pour 1≤i≤n+ 1, (b⁰) β⁰◦(Spec(E0/(t0)),→Spec(E0)) =α◦(Spec(E0/(t0))→U0).

Par le lemme 2.4.17 ci-dessous, il existe uneE₀-algèbre lisseE₀⁰ munie d’un morphisme deE₀-algèbresE₀⁰ // A⁽ⁿ⁺¹⁾ et d’un morphisme étale de A⁽ⁿ⁺¹⁾₀ -algèbres A⁽ⁿ⁺¹⁾₀ [s₁, . . . , s_r] // E₀⁰. On poseβ⁰⁰ =β⁰◦(Spec(E₀⁰)→ Spec(E₀)).

On a par construction :

(a⁰⁰) β⁰⁰◦(Spec(E₀⁰/(ti)),→Spec(E₀⁰)) = 0pour1≤i≤n+ 1, (b⁰⁰) β⁰⁰◦(Spec(E₀⁰/(t0)),→Spec(E₀⁰)) =α◦(Spec(E₀⁰/(t0))→U0).

Notons f_i l’image de s_i par la composition de A⁽ⁿ⁺¹⁾₀ [s₁, . . . , s_n] // E₀⁰ // A⁽ⁿ⁺¹⁾. Pour > 0, on choisit f_i ∈ A⁽ⁿ⁺¹⁾₀ avec |fi−f_i|∞ ≤ (la norme infinie étant celle de la k-algèbre affinoïde A⁽ⁿ⁺¹⁾). On forme un carré cartésien

V

//Spec(E⁰₀)

Spec(A⁽ⁿ⁺¹⁾₀ ) ^(f

1,...,f_r)

//Spec(A⁽ⁿ⁺¹⁾₀ [s1, . . . , sr]).

Comme dans la première partie de la preuve, on sait que, pour suffisamment petit, il existe un morphisme de Spec(A⁽ⁿ⁺¹⁾₀ )-schémasSpec(A⁽ⁿ⁺¹⁾) // V qui fait deV un objet deVⁿ⁺¹(B/B₀). On affirme que le diagramme

(2.68) Spec(A⁽ⁿ⁺¹⁾/(t₀)) //

∼

V/(t₀) //Spec(E₀⁰/(t₀))

Spec(A⁽ⁿ⁾) //U₀

est commutatif. En effet, sif¯_j (resp.f¯_j) désigne l’image def_j (resp.f_j) dansA⁽ⁿ⁺¹⁾/(t₀)'A⁽ⁿ⁾(resp.A⁽ⁿ⁺¹⁾₀ /(t₀)' A⁽ⁿ⁾₀ ), l’analytifié de la composition de

Spec(A⁽ⁿ⁾)'Spec(A⁽ⁿ⁺¹⁾/(t₀)) // V/(t₀) // Spec(E₀⁰/(t₀)) // U₀ est égal à la composition de

(2.69) Spm(A⁽ⁿ⁾) ^{( ¯f}

1,...,f¯_r) // B¹_A(n)( ¯f1, ) ˆ×_A(n) · · ·×ˆ_A(n)B¹_A(n)( ¯fr, ) ^v/(t0)// Spec(E⁰/(t0))^an // U^an, avecE⁰ =E⁰₀⊗_A(n+1)

0

A⁽ⁿ⁺¹⁾,U =U0×_Spec(A(n)

0 )Spec(A⁽ⁿ⁾)et

v:B¹A⁽ⁿ⁺¹⁾(f₁, ) ˆ×_A(n+1) · · · ׈_A(n+1)B¹A⁽ⁿ⁺¹⁾(f_r, ) // Spec(E⁰)^an

le morphisme deSpm(A⁽ⁿ⁺¹⁾)-variétés rigides fourni par le corollaire 1.1.56 (voir la première partie de la preuve). Or, la composition de

B¹_A(n)( ¯f1, ) ˆ×_A(n) · · ·×ˆ_A(n)B¹_A(n)( ¯fr, ) ^v/(t0)// Spec(E⁰/(t0))^an // U^an

est un morphisme deSpm(A⁽ⁿ⁾)-variétés rigides de source géométriquement connexe et de but étale ; elle se factorise donc par la projection

B¹A⁽ⁿ⁾( ¯f₁, ) ˆ×_A(n) · · · ׈_A(n)B¹A⁽ⁿ⁾( ¯f_r, ) // Spm(A⁽ⁿ⁾).

Il s’ensuit aussitôt que la composition de (2.69) coïncide avec celle de Spm(A⁽ⁿ⁾) ^{( ¯f1,...,}

f¯_r)

// B¹A⁽ⁿ⁾( ¯f1, ) ˆ×_A(n) · · · ˆ×_A(n)B¹A⁽ⁿ⁾( ¯fr, ) ^v/(t0)// Spec(E⁰/(t0))^an // U^an, qui n’est autre que l’analytifié du morphismeSpec(A⁽ⁿ⁾) // U0. Ceci montre bien que (2.68) est commutatif.

Il est maintenant aisé de conclure. En effet, en considérantVcomme un objet deVⁿ⁺¹(B/B0), la correspondance finie β⁰⁰◦(V → Spec(E₀⁰))∈ CorB₀(V, X0) définit un élément β⁰⁰⁰ ∈ Cor_B0(V(B/B0), X0)n+1. D’une part, on a β⁰⁰⁰◦dn+1,i= 0, pour1 ≤i≤n+ 1. D’autre part, l’élémentβ⁰⁰⁰◦dn+1,0∈Cor_B0(V(B/B0), X0)n est l’image de la correspondance finieα◦(V/(t0)→U0)∈CorB₀(V/(t0), X0). Vu la commutation du diagramme (2.68), il s’ensuit que l’élément β⁰⁰⁰◦dn+1,0 est aussi égal à l’image de la correspondance finie α∈ CorB0(U0, X0). Ceci montre que

l’image deαest homologue à zéro comme souhaité. c.q.f.d.

Le lemme suivant est tiré de [Pop86] ; voir aussi le lemme 2.2.64. Pour la commodité du lecteur, nous reproduisons la preuve.

Lemme 2.4.17 — On suppose donné un triangle commutatif dek-algèbres E //A

A0

OO GG

avecA₀unek-algèbre noethérienne,EuneA₀-algèbre lisse de type fini,Aunek-algèbre affinoïde réduite etA₀ // A un morphisme injectif d’image dense (lorsqu’on munit A de la norme infinie). Il existe alors une E-algèbre lisse de type finiE⁰ et un diagramme commutatif

E⁰

A₀[s₁, . . . , s_r]

e

44

E //

OO

A

A0

OO GG

``

avec eun morphisme étale.

Demonstration En remplaçant E par l’algèbre symétrique d’un E-module projectif, on se ramène au cas où le E-module des différentielles relativesΩE/A₀ est libre de rangr. On se donne une présentationp:A0[t1, . . . , tn] //// E et on noteI=p⁻¹(0)son noyau. On obtient alors une suite exacte courte deE-modules

0 // I/I² // Mⁿ

i=1

E·dti

θ // ΩE/A₀ // 0.

Puisque Ω_E/A0 est libre, il existe une matrice (f_ij)1≤i≤n; 1≤j≤r ∈E^n×r telle que(θ(Pn

i=1f_ijdt_i))_1≤j≤r est une base deΩ_E/A0. On poseω_j =Pn

i=1f_ijdt_i. Pour tout réel >0, on choisit une matrice (f_ij)1≤i≤n; 1≤j≤r ∈(A₀)^n×r telle que|f_ij −f_ij|_∞≤(où la norme infinie est celle de lak-algèbre affinoïdeAet où on a encore notéf_ij son image par le morphismeE // A). On poseω_j=Pn

i=1f_ijdti. SoitM∈Matr×r(E)la matrice carrée telle que

Mθ(ωj) =θ(ω_j) pour 1≤j≤r.

L’image de la matrice M dans Mat_r×r(A)tend vers la matrice identité quand tend vers zéro. Ainsi, pour suf-fisamment petit, l’image de la matrice M dans Mat_r×r(A)est inversible. Pour un tel , le morphismeE // A se factorise par laA0-algèbre lisseE[det(M)⁻¹]. On peut donc remplacerE parE[det(M)⁻¹]et supposer que M est inversible. Autrement dit,(θ(ω_j))1≤j≤r est alors une base deΩE/A₀.

On considère à présent le morphisme deA0-algèbresA0[s1, . . . , sr] // A0[t1, . . . , tn]donné par l’associationsj

Pn

i=1f_ijt_i, pour 1≤j≤r. D’après ce qui précède, la composition de

A0[s1, . . . , sr] // A0[t1, . . . , tn] // E

envoie (dsj)1≤j≤r sur une base de ΩE/A₀. Cette composition est donc un morphisme étale d’après [EGA IV.4,

Corollaire 17.11.3]. Ceci termine la preuve du lemme. c.q.f.d.

On termine le paragraphe en montrant comment déduire le théorème 2.4.13 du théorème 2.4.16. Soit U un B-affinoïde lisse et soientf0, f1, . . . , fn des générateurs deΓ(U,O)en tant qu’idéal. Il s’agit de montrer que le morphisme

Colim

λ∈√

|k^×|, λ>1

HnSing^B1(Z^tr(X^an))(DU(λf0|f1, . . . , fn)) // HnSing^B1(Z^tr(X^an))(DU(f0|f1, . . . , fn)) est inversible.

On peut remplacerBparUetXparX×BU, et supposer queU =B. Pourλ≥1, notonsBλ= DB(λf0|f1, . . . , fn) et Aλ = Γ(Bλ,O). Lorsque λ est suffisamment proche de 1, toute composante connexe de Bλ rencontre B1 et Aλ

s’identifie à une sous-algèbre dense deA1. Fixons un telλ0>1, et posonsA0=Aλ₀ et B0= Spm(A0). Dans la suite, on prendra toujours1≤λ≤λ0.

Par le théorème 2.4.16, on a des quasi-isomorphismes Cor_B

0(V(B_λ/B₀), X×BB₀) ^q.-i. // Cor_B

λ(B_λ, X^an׈BB_λ) =Sing^B•¹(Ztr(X^an))(B_λ).

(Pour plus de conformité avec les notations 2.4.14, on aurait dû écrireV(B_λ/Spec(A₀))au lieu deV(B_λ/B₀).) Il suffit donc de montrer que le morphisme

(2.70) Colim

λ∈√

|k^×|, λ>1

Cor_B

0(V(B_λ/B₀), X×_BB₀) // Cor_B

0(V(B₁/B₀), X×_BB₀)

est un quasi-isomorphisme. Le lemme ci-dessous montre que (2.70) est même un isomorphisme de groupes simpliciaux.

Lemme 2.4.18 — On garde les notations ci-dessus. SoitE unB0-schéma étale. Supposons donné un morphisme deB0-variétés rigidesB1 // E^an. Pour1< λ≤λ0, suffisamment proche de1, il existe un morphisme deB0-variétés rigidesBλ // E^an faisant commuter le triangle

B1 ''//

Bλ

E^an.

Demonstration On peut supposer que E = Spec(A0[t1, . . . , tn]/(P1, . . . , Pn)) avec Pi ∈ A0[t1, . . . , tn] tel que Jac(P1, . . . , Pn)est inversible sur E. Par hypothèse, on dispose d’un morphisme deA0-algèbres

θ:A0[t1, . . . , tn]/(P1, . . . , Pn) // A1.

Nous allons montrer que si λest suffisamment proche de 1, alors θ(ti) ∈Aλ pour tout 1 ≤i≤n. Ceci prouvera le lemme.

Quitte à remplacer lesti par des multiples bien choisis, on peut supposer que|θ(ti)|_∞<1(la norme infinie étant celle deA1). Pour tout >0, on peut trouverλ >1 et a_i ∈ (Aλ)^◦, pour 1 ≤i≤n, tels que|θ(ti)−a_i|_∞ ≤ (les normes infinies étant celle deB1).

En prenant suffisamment petit et λ suffisamment proche de 1, on peut rendre les normes |Pi(a₁, . . . , a_n)|∞, pour 1 ≤i ≤n, arbitrairement petites (la norme infinie étant celle de B_λ). Par la première partie de la preuve du lemme 1.1.52, la suite récurrente de Newton appliquée à(a₁, . . . , a_n)converge dansB_λ vers une solution du système d’équations (P_i(t₁, . . . , t_n) = 0)_1≤i≤n. L’image de cette solution dans B₁ coïncide nécessairement avec la solution (θ(t1), . . . , θ(tn)). On en déduit que θ(ti)∈Bλ, pour 1≤i≤n, comme souhaité. c.q.f.d.

Dans le document Motifs des variétés analytiques rigides (Page 189-194)