Correspondances finies et préfaisceaux avec transferts sur SmAfnd/k

s⁰ //(Y, K)

f

(X⁰, L) ^s //(X, K)

avec f fini et surjectif,Y intègre, et X et X⁰ normaux et connexes. On note {Y_i⁰, i∈I} l’ensemble des composantes irréductibles deY⁰, et f_i⁰ et s⁰_i les restrictions de f⁰ ets⁰ à Y_i⁰. Il existe alors une unique famille (ni)_i∈I ∈(Z[1/p])^I telle que, pour tout faisceauf hde groupes abéliensF sur Afnd//k, on a

p^rF(s)◦Trf =X

i∈I

(p^rni)Tr_f⁰

i◦F(s⁰_i) avec r∈Nle plus petit entier tel que lesp^rn_i sont tous dansZ.

Le nombre n_i est appelé la multiplicité galoisienne de la composante Y_i⁰ et on le notera n(Y_i⁰) (ou n_{Y /X}(Y_i⁰)).

Ces multiplicités galoisiennes vérifient une formule d’associativité comme dans le corollaire 2.2.13. De plus, siX est régulier, lesn_i sont des entiers naturels qui sont donnés par la formule de Serre comme dans la proposition 2.2.14.

Demonstration La preuve du théorème 2.2.11 se transporte sans modifications au cas des faisceauxf hsurAfnd//k.

Il en est de même de la preuve du corollaire 2.2.13 et de la proposition 2.2.14. c.q.f.d.

2.2.2 Correspondances finies et préfaisceaux avec transferts sur SmAfnd/k

Soit V une k-variété rigide. Étant donné unk-affinoïde normal et connexe X, on noteZtr(V)(X) ⊂Zf h(V)(X) le sous-groupe engendré par les éléments de la forme Trf(a)avec f :X⁰ // X un morphisme fini surjectif, X⁰ un k-affinoïde intègre eta∈homk(X⁰, V). LorsqueX est normal mais non nécessairement connexe, on poseZtr(V)(X) = L

i∈IZtr(V)(Xi)où (Xi)_i∈I est la famille des composantes connexes deX. Notons Z(f, a) l’image dansX׈kV du morphisme fini (f, a) :X⁰ // X׈kV. Par la définition du morphisme trace (voir la proposition 2.2.9) et modulo l’identification fournie par la proposition 2.2.7, on a

Trf(a) = [k(X⁰) :k(Z(f, a))][k(Z(f, a)) :k(X)]ispZ(f, a).

Il s’ensuit queZtr(V)(X)⊗_ZZ[1/p] =Zf h(V)(X)⊗_ZZ[1/p]avecpl’exposant caractéristique dek. On en déduit aussi le résultat suivant.

Lemme 2.2.16 — Soit X un k-affinoïde normal. Le groupeZtr(V)(X) est librement engendré par les éléments Tr_X⁰_/X(a)avec X⁰ une sous-variété fermée deX׈kV, intègre, finie et surjective sur une composante connexe deX, eta:X⁰ // V la restriction àX⁰ de la projectionpr₂:X׈kV // V.

SoitY // X un morphisme de k-affinoïdes avecX lisse. Par la proposition 2.2.14, le morphisme de restriction Zf h(V)(X) // Zf h(V)(Y)envoieZtr(V)(X)dansZtr(V)(Y). On obtient ainsi un préfaisceauZtr(V)sur la catégorie SmAfnd/k qui est un sous-préfaisceau de la restriction deZf h(V)àSmAfnd/k.

Remarque 2.2.17 — Par la proposition 2.2.7 et le lemme 2.2.16, les groupes Z^{f h}(V)(X) et Z^tr(V)(X) sont abstraitement isomorphes puisqu’ils admettent des bases en bijection. Toutefois, si la caractéristique de k est non nulle, cet isomorphisme est différent de l’inclusion évidente et il n’est pas fonctoriel enX lisse.

On considère la catégorieShv_{f h}(Afnd/k,Z)des faisceauxf hdeZ-modules. On noteZf h(Afnd/k)la sous-catégorie pleine deShv_{f h}(Afnd/k,Z)ayant pour objets lesZf h(X)pourX unk-affinoïde.

Lemme 2.2.18 —On obtient une sous-catégorie deZf h(Afnd/k)en prenant pour objets les Zf h(X)avec X des k-affinoïdes lisses et pour flèches de Zf h(X)versZf h(Y)les éléments du sous-groupeZtr(Y)(X)⊂Zf h(Y)(X).

Demonstration Il s’agit de montrer que les sous-groupes Ztr(Y)(X)⊂Zf h(Y)(X) = hom(Zf h(X),Zf h(Y))sont stables par composition. On prend trois k-affinoïdes lisses et connexes X, Y et Z. On considère un diagramme de k-affinoïdes

X⁰

a !!

f

Y⁰

g

^b

X Y Z

avecX⁰ et Y⁰ intègres, etf et g finis et surjectifs. Il s’agit de montrer que Trg(b)◦Trf(a)est dans Ztr(Z)(X). On peut pour cela supposer queX⁰ etY⁰ sont normaux.

On aTrg(b)◦Trf(a) = Trf(a^∗Trg(b)), oùa^∗désigne le morphisme de restriction suivantasur les préfaisceaux. Par le théorème 2.2.11 et la proposition 2.2.14,a^∗Trg(b)est une combinaison linéaire à coefficients entiers deTrg_i(b◦ai) où(Ti)i∈I est la famille des composantes irréductibles deX⁰׈Y Y⁰,gi la projection deTi surX⁰ etai celle deTi sur Y⁰. Le résultat découle maintenant de la formuleTrf◦Trgi = Trf◦gi qui est facile à vérifier. c.q.f.d.

Definition 2.2.19 — On note AfndCor(k) la sous-catégorie (non pleine si la caractéristique de k est non nulle) de Z^{f h}(Afnd/k) ayant pour objets les Z^{f h}(X) avec X des k-affinoïdes lisses et pour flèches de Z^{f h}(X) vers Zf h(Y)les éléments du sous-groupeZtr(Y)(X)⊂Zf h(Y)(X). PourX un k-affinoïde lisse, on noteraZtr(X)(au lieu deZf h(X)) l’objet correspondant dansAfndCor(k).

La catégorieAfndCor(k)est clairement additive. La somme directe est donnée parZtr(X)⊕Ztr(Y) =Ztr(X` Y).

C’est aussi une catégorie monoïdale symétrique et unitaire pour le produit tensoriel défini par Ztr(X)⊗Ztr(Y) = Ztr(X׈kY).

Étant donnée une catégorie abélienne A, on noteraAfndPST(k,A) la catégorie des foncteurs additifs contrava-riants de AfndCor(k) à valeurs dansA. Les objets de cette catégorie seront appelés des préfaisceaux avec transfers surSmAfnd/k à valeurs dansA. Lorsque Aest la catégorie des groupes abéliens on écrit simplement AfndPST(k).

Notation 2.2.20 —Soient X unk-affinoïde lisse et V une k-variété rigide. À partir de maintenant, on utilisera le lemme 2.2.16 pour identifier le groupeZ^tr(V)(X)avec le groupeCor(X, V)librement engendré par l’ensemble des sous-variétés intègres deX׈kV finies et surjectives sur une composante connexe de X. Les éléments de Cor(X, V) sont appelés lescorrespondances finies deX dansV.

SoitZ ⊂X׈kV une sous-variété fermée réduite telle que toute composante irréductible deZest finie et surjective sur une composante connexe deX. Alors Z définit une correspondance finie [Z]∈Cor(X, V) égale à la somme des composantes irréductibles deZ.

Une correspondance finie élémentaire de X dans V est un élément [Z] ∈ Cor(X, V) comme ci-dessus avec Z irréductible. Les correspondances finies élémentaires forment une base duZ-moduleCor(X, V). Une correspondance finie est dite effective si elle peut s’écrire comme une combinaison linéaire à coefficients dans Nde correspondances finies élémentaires. On noteCor⁺(X, V)le monoïde des correspondances finies effectives deX dansV.

Remarque 2.2.21 — La catégorie AfndCor(k) admet la description plus concrète suivante. Les objets de AfndCor(k) sont les k-affinoïdes lisses X qu’on notera Ztr(X), et même simplement X si le contexte s’y prête.

Pour X et Y deuxk-affinoïdes lisses, le groupe de morphismeshom_AfndCor(k)(Ztr(X),Ztr(Y))est le groupe abélien Cor(X, Y) librement engendré par les sous-affinoïdes intègres deX׈kY qui sont finis et surjectifs sur une compo-sante connexe deX. La composition est donnée par la formule de Serre. La construction deAfndCor(k)comme une sous-catégorie deZf h(Afnd/k)nous dispense de la vérification de l’associativité de la composition.

Proposition 2.2.22 — Soitl/kune extension de corps valués complets. Le foncteur « image inverse » suivant le morphisme de sites(Afnd/l, f h) // (Afnd/k, f h)fournit un foncteurZf h(Afnd/k) // Zf h(Afnd/l)qui se restreint en un foncteur

(2.27) AfndCor(k) // AfndCor(l).

De plus, si l’extensionl/k est algébrique et purement inséparable et si les degrés surk des éléments del sont unifor-mément bornés, alors le foncteur (2.27) induit une équivalence de catégories

AfndCor(k)[1/p] ^∼ // AfndCor(l)[1/p]

avec pl’exposant caractéristique de k.

Demonstration Cette proposition est un cas particulier de la proposition 2.2.37. Ici, on démontre seulement la première partie de l’énoncé qui servira à justifier la première partie de la proposition 2.2.37. La seconde partie de l’énoncé sera démontrée, dans un cas plus général, dans la preuve de la proposition 2.2.37.

Il est clair que le foncteur « image inverse » envoie les objets deAfndCor(k)dans ceux deAfndCor(l); en effet le foncteur−⊗ˆklpréserve la lissité. Considérons maintenant une flècheTrf(a)dansAfndCor(k)avecf :X⁰ // X

fini surjectif, X⁰ intègre et a : X⁰ // Y. Soient Z une composante connexe de X⊗ˆkl et Z⁰ = Z⊗ˆXX⁰. Notons {Z_i⁰; i∈I}l’ensemble des composantes irréductibles deZ⁰. Par le théorème 2.2.15, l’image de Tr_f(a)dans

hom_{Zf h(Afnd/l)}(Zf h(Z),Zf h(Y⊗ˆ_kl)) = hom_{Zf h(Afnd//k)}(Zf h(Z, l),Zf h(Y, k)) est donnée par P

i∈In_X0/X(Z_i⁰)·Tr_Z⁰

i/Z(a◦(Z_i⁰ → X⁰)). Comme X est régulier, les n_X0/X(Z_i⁰) sont des entiers. La

proposition est démontrée. c.q.f.d.

Proposition 2.2.23 — SoitV unek-variété rigide. Le préfaisceauZtr(V), défini surSmAfnd/k, est un faisceau pour la topologie étale.

Demonstration Rappelons que la topologie étale surSmAfnd/kest engendrée par la prétopologie formée des familles finies de morphismes étales de k-affinoïdes (fi :Ui // X)_i∈I telles que∪ifi :`

i∈IUi // X est surjectif (sur les points fermés). On procède en plusieurs étapes.

Étape 1 : Ici on montre que le préfaisceau Ztr(V)est séparé pour la topologie étale. Puisque Ztr(V)transforme les coproduits finis en sommes directes, il suffit de montrer que le morphismeZtr(V)(X) // Ztr(V)(U)est injectif pour tout morphisme étaleu:U // X entrek-affinoïdes lisses et connexes. (On ne demande pas que usoit surjectif ; la connexité deUetXentraîne queuest dominant, ce qui sera suffisant pour l’injectivité deZtr(V)(X) // Ztr(V)(U).) Soita∈Ztr(V)(X) =Cor(X, V)une correspondance finie. Écrivonsa=a+−a−aveca+eta−des correspondances finies effectives de supportZ+ et Z− n’ayant aucune composante irréductible en commun. (Rappelons que le support d’une correspondance finie est l’union des sous-variétés fermées intègres deX׈kV qui apparaissent avec des coefficients non nuls lorsqu’on écrit cette correspondance finie dans la base des correspondances finies élémentaires.)

Supposons que la correspondance finie a est non nulle et montrons que a◦uest non nulle. Pour fixer les idées, supposons quea₊ est non nulle, i.e., queZ₊est non vide. Puisqueu:U // X est dominant et étale, la sous-variété fermée(u×id_V)⁻¹(Z₊)⊂U׈_kV, qui est isomorphe auk-affinoïdeU׈_XZ₊, est non vide et n’a aucune composante irréductible en commun avec la sous-variété fermée(u×idV)⁻¹(Z₋)⊂U׈kV. Comme(u×idV)⁻¹(Z_±)est le support dea_±◦u, on voit quea+◦u6=a₋◦u, ce qui permet de conclure.

Étape 2 : Soitu: U // X un morphisme étale surjectif entre k-affinoïdes lisses. On se donne une correspondance finie b ∈ Cor(U, V) telle que b◦pr1 = b◦pr2 où pri : U׈XU // U, pour i ∈ {1,2}, sont les deux projections évidentes. On cherche à montrer qu’il existe une correspondance finiea∈Cor(X, V)telle queb=a◦u.

Le but de cette étape est de se ramener au cas où tous les coefficients non nuls qui apparaissent dans l’écriture de bdans la base des correspondances finies élémentaires sont égaux à 1. En effet, on peut écrire

b= X

n∈Z−{0}A_n un ensemble fini d’indices,T_α⊂U׈kV des sous-variétés fermées, intègres, finies et surjectives sur une composante connexe deU et tel queT_α6=T_β pourα6=β dansA.

Pouri∈ {1,2}, notons(T_α,sⁱ )_s∈Si

αla famille des composantes irréductibles de l’image inverse deT_αpar le morphisme étale

(En effet, les multiplicités galoisiennesn(T_α,sⁱ )sont égales à1 car le morphismepr_i est étale.) Ceci entraîne que X

pour toutn∈Z− {0}. Autrement dit, les correspondances finiesbn=P

α∈An[Tα] vérifient aussibn◦pr1=bn◦pr2. Ceci permet d’obtenir la réduction souhaitée.

Étape 3 : On suppose maintenant que la correspondance finie b est réduite, i.e., qu’elle s’écrit b =P

α∈A[Tα] avec T_α 6= T_β si α 6= β dans A. Notons T le support de b, i.e., T = S

α∈AT_α, que l’on munit de sa structure de sous-variété fermée réduite de U׈kV; ainsi b est la correspondance finie [T] associée à la sous-variété fermée réduite T. Puisque le morphisme pri×idV est étale, la k-variété rigide T׈U, pr_i(U׈XU) est aussi réduite. De plus, elle s’identifie canoniquement à la sous-variété fermée réduite(pri×idV)⁻¹(T)de(U׈XU) ˆ×kV qui est aussi le support de la correspondance finie b◦pri. Ainsi, l’égalité b◦pr1 = b◦pr2 entraîne l’égalité des sous-variétés fermées de (U׈XU) ˆ×kV :

T׈U, pr₁(U׈XU) =T׈U, pr₂(U׈XU).

Par la descente fidèlement plate en géométrie rigide [BG98, Theorem 3.1] (appliquée à l’idéal de définition de la sous-variété fermée T ⊂ U׈kV), il existe une sous-variété fermée Z ⊂ X׈kV telle que Z׈XU = T. Puisque le morphismeuest étale et surjectif,Z est réduite et toutes ses composantes irréductibles sont finies et surjectives sur une composante connexe deX. Clairement, la correspondance finiea= [Z]vérifieb=a◦u. c.q.f.d.

Remarque 2.2.24 — On a une équivalence de catégories Shvét(SmRig/k) ' Shvét(SmAfnd/k). Grâce à la proposition 2.2.23, on peut donc prolonger d’une manière uniqueZtr(V)en un faisceau étale sur SmRig/k. On note encoreZtr(V)ce prolongement.

L’énoncé ci-dessous devient faux si on y remplace la topologie de Nisnevich par la topologie des recouvrements admissibles.⁶

Proposition 2.2.25 — Soient V une k-variété rigide et (Vi // V)_i∈I un recouvrement Nisnevich deV par des morphismes étales. Alors, le complexe de Čech

· · · // M

(i₁,...,i_n)∈Iⁿ

Ztr(Vi1׈V · · ·×ˆV Vin) // · · · // M

i∈I

Ztr(Vi) // Ztr(V) // 0

est acyclique en tant que complexe de faisceaux pour la topologie de Nisnevich (i.e., en tant que complexe dans la catégorie abélienneShv_Nis(SmAfnd/k)).

Demonstration Puisque Ztr(−)transforme un coproduit de k-variétés rigides en une somme directe de faisceaux Nisnevich, il suffit de traiter le cas d’un recouvrement Nisnevich constitué par un seul morphisme étale V⁰ // V. Dans ce cas, le complexe qui nous intéresse s’écrit plus simplement

· · · // Ztr(ˆ"

n

V V⁰) // · · · // Ztr(V⁰) // Ztr(V) // 0.

D’après la proposition 1.2.15, il s’agit de montrer que le complexe de groupes abéliens (2.28)

· · · // Colim

(U,u)∈FltNis(x)Ztr(ˆ"

n

VV⁰)(U) // · · · // Colim

(U,u)∈FltNis(x)Ztr(V⁰)(U) // Colim

(U,u)∈FltNis(x)Ztr(V)(U) // 0 est acyclique pour toutk-affinoïde lisseX et tout pointx∈P(X). On rappelle queFltNis(x)est la catégorie dont les objets sont les couples(U, u)oùU est dans(Et/X)br et u∈P(U)est un point au-dessus de xtel que le morphisme k^◦(x),→k^◦(u)induit un isomorphisme˜k(x)'k(u)˜ (voir la définition 1.2.14). On divise la preuve en trois parties.

Partie A : Soit (U, u)∈FltNis(x). Étant donnés unek-variété rigideW et un point w∈P(W), on note Z^wtr(W)(U) le sous-groupe de Ztr(W)(U) engendré par les sous-variétés (d, g) : T ,→ U׈kW intègres, finies et surjectives sur une composante connexe de U et telles que, pour tout t ∈d⁻¹(u), on ag(t) =w. Lorsque U est connexe, on a une inclusionL

w∈P(W)Z^wtr(W)(U)⊂Ztr(W)(U). Dans cette partie on montre qu’en passant à la colimite on obtient un isomorphisme

(2.29) M

w∈P(W)

Colim

(U,u)∈FltNis(x)Z^wtr(W)(U)' Colim

(U,u)∈FltNis(x)Ztr(W)(U).

Les colimites filtrantes préservent les inclusions ; il reste donc à démontrer la surjectivité dans (2.29). On ne restreint pas la généralité en considérant seulement la classe (dans le membre de droite de (2.29)) d’une correspondance finie élémentaire [Z] ∈ Cor(X, W). (Bien entendu, (c, f) : Z ,→ X׈kW est une sous-variété intègre, finie et surjective au-dessus d’une composante connexe deX.)

Notons c⁻¹(x) ={zj;j ∈J} l’ensemble des points deP(Z) au-dessus dex. C’est un ensemble fini : son cardinal est majoré par le degré générique dec:Z // X (car lek-affinoïdeX est lisse et donc normal). L’anneau

Q= Colim

(U,u)∈FltNis(x)

Γ(U,O^◦)

est local hensélien. (En effet, il coïncide aussi avec la colimite des hensélisés deΓ(U,O^◦) en l’idéal premier égal au noyau du morphismeΓ(U,O^◦) // k(u).) De plus, l’anneau˜

R= Colim

(U,u)∈FltNis(x)

Γ(U׈_XZ,O^◦)

6. L’énoncé en question reste vrai si on y remplace la topologie de Nisnevich par la topologie étale. On ne démontrera pas cette variante car on n’en aura pas besoin. Toutefois, notons à l’intention du lecteur intéressé qu’il est possible d’adapter la preuve de la propositon 2.2.25 au cas de la topologie étale.

est entier sur Q. Il se décompose donc en un produit direct fini d’anneaux locaux henséliens R =Q

j∈JRj tel que, pourj∈J, il existe un triangle commutatif

Γ(Z,O^◦) //

˜k(zj).

R_j

??

Il s’ensuit que pour (U, u) suffisamment fin dans FltNis(x), T = Z׈XU se décompose en une somme disjointe T =`

Partie B : Gardons les notations de la partie A. Pour (W⁰, w⁰)∈ FltNis(w), on dispose d’un morphisme canonique Z^w

0

tr(W⁰)(U) // Z^wtr(W)(U). Dans cette partie, on montre qu’en passant à la colimite on obtient un isomorphisme Colim

(U,u)∈FltNis(x)Z^w

0

tr(W⁰)(U)' Colim

(U,u)∈FltNis(x)Z^wtr(W)(U).

On ne restreint pas la généralité en remplaçantW etW⁰par des voisinages ouverts dewetw⁰. Ainsi, on peut supposer queW etW⁰ sont desk-affinoïdes. On fixe un morphisme étaleW⁰ // Wdek^◦-schémas formels essentiels induisant W⁰ // W. (Ceci est possible puisqueW⁰ est dans(Et/W)br.)

On expliquera seulement comment construire l’image inverse de la classe d’une correspondance finie élémentaire [Z]∈Z^wtr(W)(X). (Comme dans la partie A de la preuve, (c, f) :Z ,→X׈kW est une sous-variété intègre, finie et

PuisqueΓ(W⁰,O)/(π)est étale surΓ(W,O)/(π), le morphisme ci-dessus s’étend d’une manière unique en un morphisme deΓ(W,O)-algèbres formelles D’après la partie A de la preuve, le complexe (2.28) s’identifie à L

v∈P(V)A•(V, v). Il suffit donc de montrer que

sont bijectives. De plus, pourw⁰ ∈P(ˆ"

est donc un isomorphisme. Ceci montre queA•(W, w)'A•(V, v)et il est donc suffisant de traiter le cas du morphisme W⁰ // W et du point w ∈ P(W). Or, en prenant (W, w) ∈ FltNis(v) suffisamment fin, on peut supposer que le morphismeW⁰ // W admet une section. L’acyclicité deA•(W, w)est immédiate dans ce cas. c.q.f.d.

Corollaire 2.2.26 — SoitF un préfaisceau avec transferts surSmAfnd/k (i.e., un objet deAfndPST(k)). Il existe alors une unique structure de préfaisceau avec transferts sur le faisceau NisnevichaNis(F)associé àF telle que le morphisme évidentF // aNis(F)est un morphisme de préfaisceaux avec transferts.

Demonstration L’unicité est facile et sera laissée au lecteur. SoitF un préfaisceau avec transferts surSmAfnd/k.

On note comme de coutumeFsep (resp.aNis(F)) le préfaisceau séparé (resp. le faisceau) associé àF relativement à la topologie de Nisnevich. Ces préfaisceaux sont additifs ; nous allons munir les sections deFsep etaNis(F)d’une action naturelle des correspondances finies. On divise la preuve en deux étapes.

Étape 1 :On montre d’abord queFsepadmet des transferts. Il suffit pour cela de montrer que le noyau deF // Fsep

est un sous-préfaisceau avec transferts deF, i.e., stable par l’action des correpondances finies.

Soientf :U // V une correspondance finie entre deuxk-affinoïdes lisses eta∈F(V)une section qui devient nulle dansFsep(a). Il s’agit de montrer que f^∗(a)est nulle dansFsep(U). Soit(Vj // V)_j∈J un recouvrement Nisnevich fini de V par des k-affinoïdes tel que a_|Vj = 0 pour tout j ∈ J. Par la proposition 2.2.25, il existe un recouvrement Nisnevich fini (Ui // U)_i∈I de U par des k-affinoïdes, et des correspondances finies fij : Ui // Vj telles que le

Étape 2 : On traite maintenant le cas qui nous intéresse, i.e., celui de aNis(F). Pour cela, nous allons donner une deuxième construction du faisceau associé àF qui sera automatiquement un préfaisceau avec transferts.

Soient U un k-affinoïde lisse et R= (Ui // U)i∈I un recouvrement Nisnevich de U par desk-affinoïdes. À un tel recouvrement, on associe un morphisme de préfaisceaux avec transferts :

a_R :S(R) = Coker

Étant donné un préfaisceau avec transfertsF, on noteΦ(F)le préfaisceau séparé associé à la somme amalgamée LR;S(R)→FS(R) //

LRa_R

F

LR;S(R)→FB(R).

On dipose d’un morphisme évident de préfaisceaux avec transfertsF // Φ(F). On note alorsΦ^∞(F)la colimite de laN-suite

F // Φ(F) // Φ²(F) // · · · // Φⁿ(F) // · · ·.

CommeS(R)est un préfaisceau avec transferts de présentation finie, le préfaisceau avec transferts Φ^∞(F)possède la propriété de relèvement à droite par rapport aux morphismes a_R. De plus, il est séparé puisqu’une colimite filtrante de préfaisceaux séparés est un préfaisceau séparé. On a donc montré que Φ(F) est un faisceau pour la topologie de Nisnevich. Pour voir queΦ(F)est bien le faisceau associé à F, il suffit de montrer quea_R induit des isomorphismes sur les faisceaux Nisnevich associés ce qui découle de la proposition 2.2.25. c.q.f.d.

Definition 2.2.27 — La sous-catégorie pleine deAfndPST(k)formée des préfaisceaux avec transfertsF dont la restriction àSmAfnd/k est un faisceau pour la topologie de Nisnevich sera notéeAfndStrNis(k). Les objets de cette catégorie seront appelés les faisceaux Nisnevich avec transferts.

LorsqueV est unek-variété rigide séparée, la proposition 2.2.23 montre queZtr(V)est un objet deAfndStrNis(k).

Le corollaire 2.2.26 montre que l’inclusion évidenteAfndStrNis(k),→AfndPST(k)possède un adjoint à gauche a^tr_Nis:AfndPST(k) // AfndStrNis(k).

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