La construction des dérivateurs RigSH(−) et FSH(−)

On appelle Dia la catégorie des catégories essentiellement petites. On considèrera uniquement la structure de 1-catégorie sur Dia, i.e., on n’utilisera pas les transformations naturelles entre 1-morphismes de Dia. La définition suivante est l’analogue de [Ayo07a, Définition 2.4.4] pour les k^◦-schémas rigides (resp. formels).

Definition 1.4.7 — On appelle diagramme de k^◦-schémas rigides (resp. formels), un foncteur covariantF : I // SchRig/k^◦ (resp.F :I // SchF/k^◦) de source une catégorie essentiellement petite.

Un1-morphisme(G,J) // (F,I)(resp. (G,J) // (F,I)) entre diagrammes dek^◦-schémas rigides (resp.

dans la 2-catégorie des catégories. On appelle DiaSchRig/k^◦ (resp.DiaSchF/k^◦) la catégorie dont les objets sont les diagrammes dek^◦-schémas rigides (resp. formels) et les morphismes comme ci-dessus.

Remarque 1.4.8 —On peut définir les 2-morphismes entre 1-morphismes de diagrammes de k^◦-schémas rigides (resp. formels) comme dans [Ayo07a, Définition 2.4.4]. Toutefois, nous aurons à considérer uniquement les structures de1-catégorie sur les2-catégoriesDiaSchRig/k^◦ etDiaSchF/k^◦.

Étant donné un diagramme de k^◦-schémas rigides (resp. formels) (F,I) (resp. (F,I)), on note SmRig/(F,I) (resp.SmF/(F,I)) la catégorie dont les objets sont les couples (U , i)(resp.(U, i)) avec i∈Ob(I) etU (resp.U) un F(i)-schéma rigide lisse (resp. F(i)-schéma formel lisse). Lorsqu’il n’y a pas de confusion possible, on notera aussi SmRig/F (resp.SmF/F) cette catégorie.

On suppose donnée une catégorie cocomplète C. Soit (f, α)un morphisme de diagrammes de k^◦-schémas rigides (resp. formels) comme dans la définition 1.4.7. Ce morphisme se factorise en un morphisme « géométrique » suivi par un morphisme « catégorique » :

— f^∗ est le foncteur « image inverse » suivant le foncteur de changement de base donné par (U /F(α(j)), j) (U ×_F(α(j))G(j)/G(j), j), et

— α^∗ est le foncteur « image directe » suivant le foncteur de changement d’indice donné par(U /F(α(j)), j) (U /F(α(j)), α(j)).

(On fait de même dans le cas respé.) On a la proposition suivante qui se démontre de la même façon que [Ayo07b, Propositions 4.5.3 et 4.5.4].

Proposition 1.4.9 — 1- L’association (f, α) (f, α)^∗ s’étend naturellement en un 2-foncteur PreShv(SmRig/(−),C) : DiaSchRig/k^◦ // Cat.

Il en est de même dans le cas respé.

2- Si(f, α)est lisse argument par argument, le foncteur (f, α)^∗ admet un adjoint à gauche que l’on note (f, α)_]. Lorsque Cest complète,(f, α)^∗ admet un adjoint à droite que l’on note(f, α)_∗.

Soit F un diagramme de k^◦-schémas rigides. En appliquant le foncteur (−)//π, on déduit un diagramme de k^◦ -schémas formels F//π. Le foncteur(−)//π induit alors un foncteurcpl : SmRig/F // SmF/(F//π). D’autre part, on dispose d’un plongement pleinement fidèleP : SmF/(F//π) // SmRig/F qui consiste à regarder un k^◦-schéma formel comme un k^◦-schéma rigide de la manière évidente (voir l’exemple 1.4.3). On vérifie immédiatement qu’on obtient ainsi un couple de foncteurs adjoints(P,cpl).

On note (cpl^∗,cpl_∗) et (P^∗,P_∗) les couples de foncteurs adjoints « image inverse » et « image directe » sur les préfaisceaux induits parcpletP. On a alors une adjonction(P^∗,cpl^∗)et donc un isomorphisme canoniquecpl^∗'P_∗. Le lemme ci-dessous est facile et sa preuve sera laissée au lecteur.

Lemme 1.4.10 — Soit(f, α) : (G,J) // (F,I)un morphisme de diagrammes de k^◦-schémas rigides. On note ( ˆf , α) : (G//π,J) // (F//π,I)le morphisme obtenu en appliquant le foncteurcpl. On a alors un carré commutatif à un 2-isomorphisme près

PreShv(SmRig/(F,I),C) ^cpl

∗

P_∗ //

(f,α)^∗

PreShv(SmF/(F//π,I),C)

( ˆf ,α)^∗

PreShv(SmRig/(G,J),C) ^cpl

∗

P_∗ //PreShv(SmF/(G//π,J),C).

Soit (B⁰,K) un diagramme de k^◦-schémas formels affines. On note (B,K) le diagramme de k^◦-schémas donné par l ∈ K Spec(Γ(B⁰(l),O)). Soit (F,I) un diagramme de k^◦-schémas muni d’un morphisme de diagrammes (p, γ) : (F,I) // (B,K)tel quep(i)est de type fini pour touti∈Ob(I). On dira simplement que(F,I)est de type fini sur(B,K)(ou encore sur(B⁰,K)).

En appliquant le foncteur d’analytification, on obtient un diagramme de k^◦-schémas rigides (F^an,I) et un fonc-teur Rig : Sm/F // SmRig/F^an. On note Rig^∗ le foncteur « image inverse » sur les préfaisceaux suivant ce foncteur. En appliquant le foncteur de complétion formelle, on obtient un diagramme (F//π,I) et un foncteur cpl : Sm/F // SmF/(F//π). On note cpl^∗ le foncteur « image inverse » sur les préfaisceaux suivant ce fonc-teur. On a un isomorphisme canoniquecpl 'cpl◦Rig induisant les isomorphismes cpl^∗ 'cpl^∗◦Rig^∗ 'P∗◦Rig^∗. Notons le lemme suivant dont la preuve est laissée au lecteur.

Lemme 1.4.11 — Soit(f, α) : (G,J) // (F,I)un morphisme de diagrammes de schémas de type fini au-dessus de(B,K). On note (f^an, α) : (G^an,J) // (F^an,I) le morphisme obtenu en appliquant le foncteur Rig. On a alors un carré commutatif à un2-isomorphisme près

PreShv(Sm/(F,I),C) ^Rig

∗ //

(f,α)^∗

PreShv(SmRig/(F^an,I),C)

(f^an,α)^∗

PreShv(Sm/(G,J),C) ^Rig

∗ //PreShv(SmRig/(G^an,J),C).

On peut munir la catégorie PreShv(SmRig/F,M) (resp.PreShv(SmF/F,M)) de trois structures de modèles (voir [Ayo07b, Définitions 4.4.15 et 4.5.8]) :

(i) la structure projective(W,Cof_proj,Fib_proj), où les fibrations sont données argument par argument, (ii) la structure injective(W,Cofinj,Fibinj), où les cofibrations sont données argument par argument,

(iii) la structure semi-projective(W,Cofs-pr,Fibs-pr), où les cofibrations sont les flèches qui deviennent des cofibra-tions projectives après restriction àSmRig/F(i)(resp.SmF/F(i)) pour tout i∈Ob(I).

Munissons la catégorieSmRig/F (resp.SmF/F) de sa topologie de Nisnevich. On peut localiser les trois structures de modèles ci-dessus relativement aux équivalencesNis-locales (voir [Ayo07b, Définition 4.4.33]). On obtient alors les trois structuresNis-locales :

(i) la structure projectiveNis-locale(W_Nis,Cof_proj,Fib_proj−Nis), (ii) la structure injectiveNis-locale(WNis,Cofinj,Fib_inj−Nis),

(iii) la structure semi-projectiveNis-locale(WNis,Cofs-pr,Fib_s-pr−Nis).

Notons B¹k^◦ lek^◦-schéma rigide(Spm(k{t}),Spf(k^◦{t}))et B¹_X =B¹k^◦׈k^◦X pour tout k^◦-schéma rigideX. La gé-néralisation évidente de la proposition 1.3.1, montre qu’on peut localiser ces trois structures suivant la classe Bdes morphismes (B¹_U, i)⊗Acst // (U , i)⊗Acst (resp. (B¹_U, i)⊗Acst // (U, i)⊗Acst) avec i ∈ Ob(I), U (resp. U) unF(i)-schéma rigide lisse (resp. F(i)-schéma formel lisse) etA ∈Ob(M). On obtient ainsi les trois structures de modèles :

(i) la structure projectiveB¹-locale(W_B1,Cof_proj,Fib_proj−B1), (ii) la structure injectiveB¹-locale(W_B1,Cofinj,Fib_inj−B1),

(iii) la structure semi-projectiveB¹-locale(W_B1,Cofs-pr,Fib_s-pr−B1).

Definition 1.4.12 — La catégorie homotopique des trois structuresB¹-locales ci-dessus, sera notéeRigSH^eff_M(F) (resp.FSH^eff_M(F)). C’est lacatégorie homotopique effective des schémas rigides(resp.formels)au-dessus deF (resp.

F) à coefficients dans M. Voici les cas les plus importants :

— Lorsque M est la catégorie des spectres symétriques, on notera simplementRigSH^eff(F)(resp. FSH^eff(F)) la catégorie ainsi définie.

— Lorsque Mest la catégorie des complexes deΛ-modules pour un anneau Λ, on notera RigDA^eff(F,Λ) (resp.

FDA^eff(F,Λ)) la catégorie ainsi définie.

On a le théorème suivant dont la preuve est la même que celle de [Ayo07b, Théorème 4.5.14].

Theoreme 1.4.13 — Soit(f, α)un 1-morphisme de diagrammes de k^◦-schémas rigides (resp. formels).

1- On a, relativement aux trois structures semi-projectives, deux adjonctions de Quillen :

— ((f, α)^∗,(f, α)_∗),

— (f], f^∗)lorsquef est cartésien et lisse argument par argument.

2- On a, relativement aux trois structures projectives, trois adjonctions de Quillen :

— (f^∗, f_∗),

— (α_], α^∗),

— ((f, α)_],(f, α)^∗) lorsque(f, α)est lisse argument par argument.

3- Enfin,(α^∗, α∗)est une adjonction de Quillen relativement aux trois structures injectives.

Demonstration On commence par les structuresNis-locales. Le cas des structures projectives découle immédiate-ment de [Ayo07b, Théorème 4.4.60]. L’assertion concernant la structure injective est claire puisqueα^∗ préserve les cofibrations injectives et les cofibrations injectivesNis-triviales. On se concentre donc sur les structures semi-projectives.

Le foncteur(f, α)^∗préserve les cofibrations semi-projectives et les cofibrations semi-projectivesNis-triviales. En effet, il suffit de vérifier cela dans le cas où I et J sont la catégorie finale. Le résultat découle alors du cas projectif. Le même raisonnement s’applique au foncteur f_]. Pour plus de détails, le lecteur peut consulter la preuve de [Ayo07b, Théorème 4.5.10].

Pour terminer, il reste à vérifier que nos foncteurs de Quillen à gauche passent à la B¹-localisation, i.e., qu’ils envoient les flèches de B sur des équivalences B¹-locales. Ceci se démontre exactement comme dans la preuve de

[Ayo07b, Théorème 4.5.14]. c.q.f.d.

On a également le résultat ci-dessous dont la preuve est laissée au lecteur.

Proposition 1.4.14 — 1-SoitF un diagramme dek^◦-schémas rigides. Les foncteurs cpl^∗:PreShv(SmRig/F,M) // PreShv(SmF/(F//π),M)

P^∗:PreShv(SmF/(F//π),M) // PreShv(SmRig/F,M) sont de Quillen à gauche relativement aux trois structures projectives et semi-projectives.

2-SoitF un diagramme dek^◦-schémas de type fini au-dessus d’un diagramme dek^◦-schémas formels affines. Le foncteur

Rig^∗:PreShv(Sm/F,M) // PreShv(SmRig/F^an,M) est de Quillen à gauche relativement aux trois structures projectives et semi-projectives.

Dans le paragraphe 1.3.3, nous avons fixé un remplacement projectivement cofibrantT de A¹_Z⊗1^cst

(A¹_Z−o_Z)⊗1^cst dans PreShv(Sm/Z,M). On noteT^an(resp.T^for) l’image inverse deT par la composition des foncteurs images inverses

PreShv(Sm/Z,M) // PreShv(Sm/k^◦,M) ^Rig

∗// PreShv(SmRig/k^◦,M) // PreShv(SmRig/F,M) (resp.PreShv(Sm/Z,M) // PreShv(Sm/k^◦,M)^[−//π]

∗// PreShv(SmF/k^◦,M) // PreShv(SmF/F,M)).

Alors,T^an(resp.T^for) est un remplacement semi-projectivement cofibrant de (A¹k^◦)^an⊗1^cst (A¹k^◦−o_k^◦)^an⊗1cst

(resp. B¹k^◦⊗1^cst

∂B¹k^◦⊗1cst

).

En effet, A¹_Z⊗1cst

(A¹_Z−o_Z)⊗1^cst est faiblement équivalent à la cofibre homotopique de(A¹_Z−o_Z)⊗1cst // A¹_Z⊗1cstpuisque ce morphisme est une cofibration injective.

On pose, pour un diagramme dek^◦-schémas rigides (resp. formels)F (resp.F),

M(F) =Spect^Σ_Tan(PreShv(SmRig/F,M)) (resp.M(F) =Spect^Σ_Tfor(PreShv(SmF/F,M))).

Bien que l’objetT^an(resp.T^for) est seulement semi-projectivement cofibrant, le foncteurT^an⊗ −(resp.T^for⊗ −) est un foncteur de Quillen à gauche pour les structures projectives (voir [Ayo07b, Lemme 4.5.20]). On peut alors munir M(F) (resp. M(F)) de sa structure de modèles projective stable déduite de l’une de ses structures B¹-locales. On obtient ainsi trois structures de modèles surM(F)(resp.M(F)) :

(i) la structure projectiveB¹-locale stable(W_B1−st,Cof_proj,Fib_proj−B1−st), (ii) la structure injectiveB¹-locale stable(W_B1−st,Cofinj,Fib_inj−B1−st),

(iii) la structure semi-projectiveB¹-locale stable(W_B1−st,Cof_s-pr,Fib_s-pr−B1−st).

Definition 1.4.15 — La catégorie homotopique des trois structures B¹-locales stables ci-dessus sera notée RigSH_M(F)(resp.FSH_M(F)). C’est lacatégorie homotopique stable des schémas rigides(resp.formels)au-dessus deF (resp.F) à coefficients dans M. Voici les cas les plus importants :

— Lorsque M est la catégorie des spectres symétriques, on notera simplement RigSH(F) (resp. FSH(F)) la catégorie ainsi définie.

— LorsqueMest la catégorie des complexes deΛ-modules pour un anneau commutatifΛ, on noteraRigDA(F,Λ) (resp.FDA(F,Λ)) la catégorie ainsi définie.

Le résultat ci-dessous découle du théorème 1.4.13 et de [Ayo07b, Lemme 4.3.34]. Notons toutefois que pour le cas des opérationsf_], on utilise la formule de projectionf_](f^∗T⊗ −)'T⊗f_]pour étendre le foncteur f_] aux catégories des spectres.

Theoreme 1.4.16 — Soit(f, α)un 1-morphisme de diagrammes de k^◦-schémas rigides (resp. formels).

1- On a, relativement aux structures projectives stables déduites des structures semi-projectivesB¹-locales sur les catégories de préfaisceaux, deux adjonctions de Quillen :

— ((f, α)^∗,(f, α)_∗),

— (f_], f^∗)lorsquef est cartésien et lisse argument par argument.

2- On a, relativement aux structures projectives stables déduites des structures semi-projectivesB¹-locales sur les catégories de préfaisceaux, trois adjonctions de Quillen :

— (f^∗, f_∗),

— (α], α^∗),

— ((f, α)],(f, α)^∗) lorsque(f, α)est lisse argument par argument.

3-Enfin, (α^∗, α_∗)est une adjonction de Quillen relativement aux structures projectives stables déduites des struc-tures injectivesB¹-locales sur les catégories de préfaisceaux.

La première partie de la proposition 1.4.9, montre queM(−)s’étend naturellement en un2-foncteur contravariant qui à(f, α)associe(f, α)^∗. Par le théorème 1.4.16, on obtient ainsi deux2-foncteurs contravariants

RigSH_M : DiaSchRig/k^◦ // TR et FSH_M: DiaSchF/k^◦ // TR.

De plus, pour tout morphisme de diagrammes dek^◦-schémas rigides (resp. formels)(f, α), le foncteur(f, α)^∗ possède un adjoint à droite (f, α)_∗. Lorsque f est lisse argument par argument, (f, α)^∗ possède aussi un adjoint à gauche (f, α)]. On déduit de la proposition 1.4.14 le résultat suivant.

Proposition 1.4.17 — 1-SoitF un diagramme dek^◦-schémas rigides. Les foncteurs

cpl^∗ :Spect^Σ_Tan(PreShv(SmRig/F,M)) // Spect^Σ_Tfor(PreShv(SmF/(F//π),M))

P^∗:Spect^Σ_Tfor(PreShv(SmF/(F//π),M)) // Spect^Σ_Tan(PreShv(SmRig/F,M))

sont de Quillen à gauche relativement aux structures projectives stables déduites des structures projectives et semi-projectivesB¹-locales.

2-SoitF un diagramme dek^◦-schémas de type fini au-dessus d’un diagramme dek^◦-schémas formels affines. Le foncteur

Rig^∗:Spect^Σ_T(PreShv(Sm/F,M)) // Spect^Σ_Tan(PreShv(SmRig/F^an,M))

est de Quillen à gauche relativement aux structures projectives stables déduites des structures projectives et semi-projectivesB¹-locales.

On déduit de la proposition précédente des foncteurs

(1.117) Rig^∗:SHM(F) // RigSH_M(F^an), cpl^∗:RigSH_M(F) // FSHM(F//π) et P^∗:FSHM(F//π) // RigSH_M(F).

On a encore un isomorphisme naturelcpl^∗'P_∗ et des carrés commutatifs à2-isomorphisme près (1.118) RigSH_M(F,I) ^cpl

∗ //

(f,α)^∗

FSHM(F//π,I)

( ˆf ,α)^∗

RigSH_M(G,J) ^cpl

∗ //FSHM(G//π,J)

SHM(F,I) ^Rig

∗ //

(f,α)^∗

RigSH_M(F^an,I)

(f^an,α)^∗

SH_M(G,J) ^Rig

∗ //RigSH_M(G^an,J).

Dans le document Motifs des variétés analytiques rigides (Page 85-89)