Morphismes lisses et étales

Sauf mention explicite du contraire, on ne supposera pas que la valuation dekest non triviale dans ce paragraphe.

Definition 1.1.41 — Soient X une k-variété rigide etxun point fermé de X (ou plus généralement un point deP(X)). On dit que X est régulière en xsi l’anneau local OX,p est régulier. On dit que X est lisse en x si, pour toute extension finiek⊂k⁰,X⊗ˆkk⁰ est régulière en tout pointx⁰ au-dessus dex.

On dit que X est lisse (resp. régulière) si elle est lisse (resp. régulière) en tous ses points fermés. On note SmRig/k⊂VarRig/k etSmAfnd/k⊂Afnd/k les sous-catégories pleines desk-variétés rigides lisses.

Si X = Spm(A) est un k-affinoïde régulier, alors l’anneau A est régulier au sens algébrique. En effet pour x ∈ Spm(A), on aAˆx'OˆX,x (où l’on désigne parˆ†le complété formel d’un anneau local†en son idéal maximal).

Comme en géométrie algébrique, la notion de lissité est intimement liée à celle des différentielles. Étant donné un morphisme f : Y // X de k-variétés rigides, on note Ω_f le OY-module cohérent I∆/I∆² avec I∆ l’idéal de l’immersion localement fermée∆ :Y // Y׈_XY. On dispose d’un morphisme de faisceaux abéliensd :OY // Ω_f qui est localement donné pardf =f⊗1−1⊗f. Le morphismedest une dérivation. SiY =X{T1, . . . , Tn}, alorsΩf

est unOY-module libre ayant pour base(dT1, . . . ,dTn). Étant donné un triangle commutatif dek-variétés rigides Z ^s //

g '' Y

f

X

avecsune immersion fermée d’idéalIset de faisceau normalNs=Is/Is², on dispose d’une suite exacte de faisceaux deOZ-modules

(1.19) Ns // s^∗Ωf // Ωg // 0.

On a le théorème suivant.

Theoreme 1.1.42 — SoitX = Spm(A) un k-affinoïde de dimension den un point fermé x deX. Soient p: k{T1, . . . , Tn} //// Aune présentation deAetf1, . . . , fmune famille de générateurs de l’idéalp⁻¹(0). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. X est lisse en x, 2. dim_k(x) Ω_X/k⊗Ak(x)

=d, 3. dim_k(x) Ω_X/k⊗Ak(x)

≤d,

4. rang_k(x)

∂(f₁, . . . , f_m)

∂(T1, . . . , Tn)(x)

=n−d,

5. rang_k(x)

∂(f1, . . . , fm)

∂(T1, . . . , Tn)(x)

≥n−d.

Demonstration NotonsI =p⁻¹(0)de sorte que le faisceau normal de Spm(p)soit associé au A-moduleI/I². On notem_x l’idéal maximal dek{T₁, . . . , T_n} définissant le pointx.

On peut bien sûr supposer que xest un point rationnel quitte à remplacerkpark(x). Dans ce cas,X est lisse en xsi et seulement si il est régulier en xou encore si et seulement si l’image de l’application linéaire

(1.20) I/I²⊗Ak(x) // mx/m²_x

est un sousk(x)-espace vectoriel de dimension supérieure ou égale àn−d(en fait, forcément égale àn−d).

La suite exacte (1.19) appliquée aux immersions x⊂Spm(A)⊂Spm(k{T1, . . . , Tn})fournit un diagramme com-mutatif

A·f1⊕ · · · ⊕A·fm

_∂fj

∂Ti

i,j

((

I/I² //

A·dT1⊕ · · · ⊕A·dTn //

Ω_A/k //

0

0 //mx/m²_x ^∼ //k(x)·dT1⊕ · · · ⊕k(x)·dTn //Ω_k(x)/k= 0.

Il vient que l’image de (1.20) est de dimension≥ n−d si et seulement si la matrice jacobienne ∂f_j

∂Ti

(x)

ij

est de rang≥n−d, ce qui est vrai si et seulement si la dimension deΩ_A/k⊗Ak(x)est≤d. c.q.f.d.

On obtient alors les corollaires suivants.

Corollaire 1.1.43 — Si lak-variété rigideX est lisse au pointx, il existe un voisinage ouvertU dexqui est lisse (i.e., la lissité est une propriété ouverte).

Demonstration En effet, comme X est régulier en x, il existe un voisinage affinoïde U = Spm(A) de x avec A normal. En particulier, on peut supposer queX est partout de dimensiond. Pour conclure, il suffit de remarquer que

la propriétédim_k(x)(Ω_X/k⊗x)≤dest ouverte. c.q.f.d.

Corollaire 1.1.44 — Soit X une k-variété rigide partout de dimension d. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. X est lisse,

2. Ω_X/k est localement libre de dimensiond.

Supposons queX = Spm(A) est unk-affinoïde muni d’une présentationp:k{T1, . . . , Tn} //// A de noyaup⁻¹(0) = (f1, . . . , fm). Alors, les deux conditions précédentes sont également équivalentes à :

3. la matrice jacobienne ∂(f₁, . . . , f_m)

∂(T1, . . . , Tn) est de rangn−ddansA.

Demonstration On peut bien sûr supposer que X = Spm(A) est un k-affinoïde. Si ΩA est un module projectif de rangd, alorsSpm(A) est lisse en tous ses points fermés par le théorème 1.1.42. Toujours par le théorème 1.1.42, la matrice jacobienne ∂(f₁, . . . , f_m)

∂(T1, . . . , Tn) est de rang n−d. Enfin, si l’on suppose que la matrice jacobienne est de rang n−d, son image est alors un module projectif de dimensionn−det son conoyau est projectif de dimensiond. Par le diagramme de la preuve du théorème 1.1.42, ce conoyau est canoniquement isomorphe àΩ_A/k. c.q.f.d.

Corollaire 1.1.45 — Soits:Y // X une immersion fermée entre deuxk-variétés rigides lisses. On a alors une suite exacte courte

0 // Ns // s^∗Ω_X/k // Ω_{Y /k} // 0.

En particulier,Ns est localement libre et la suite exacte est localement scindée.

Demonstration On peut supposer que Y = Spm(B) et X = Spm(A) sont des k-affinoïdes lisses de dimensions puresd_Y et d_X. L’immersionsest alors donnée par un morphisme surjectife:A //// B. NotonsI le noyau dee. On a une suite exacte

I/I^{2 θ} // Ω_A/k⊗AB // Ω_B/k // 0.

Il s’agit de montrer l’exactitude à gauche pour cette suite. Il existe un recouvrement admissible (Xi = Spm(Ai))i

de X tel que ker(ΩA_i/k⊗AiBi → ΩB_i/k) est libre (avec Bi =B⊗ˆAAi). On peut donc supposer dans la suite que ker(Ω_A/k⊗AB →Ω_B/k)est libre de base(a₁, . . . , a_r)avecr=d_X−d_Y. Soientf₁, . . . , f_r∈I tels queθ(f_i) =a_i et notonsI₁l’idéal(f₁, . . . , f_r). Il suffira de montrer queI₁=I au voisinage deY.

Notons B₁ = A/I₁ et Y₁ = Spm(B₁). On a un morphisme surjectif B₁ //// B induisant une immersion fermée Y ,→Y₁. La suite exacte

I₁/I₁² // Ω_A/k⊗_AB₁ // Ω_B1/k // 0

montre queΩ_B1/k⊗B₁B'Ω_B/k. Ainsi, en tout point ferméy∈Y, lak-variété rigideY1est lisse puisquedimy(Y1)≥ dimy(Y)≥dim_k(y)(Ω_{Y /k}⊗_OYk(y)). Il vient aussi queY1est de dimensiondY eny. Ceci montre que l’inclusionY ,→Y1

est un isomorphisme au voisinage dey. On a donc montré que Y1 est une somme disjointeY1 =Y`

Z. Le résultat

est maintenant clair. c.q.f.d.

Il est utile de définir une version relative de la lissité. On commence par rappeler la notion de platitude.

Definition 1.1.46 — Soit f : Y // X un morphisme de k-variétés rigides. On dit que f est plat s’il est localement isomorphe àSpm(u)avec uun morphisme plat de k-algèbres affinoïdes.

On montre que f est plat si et seulement si pour tout point fermé y ∈ Y le morphisme d’anneaux locaux OX,f(y) // OY,y (ou encore OˆX,f(y) // OˆY,y) est plat. On en déduit facilement que la platitude est stable par changement de base. Notons enfin que sif : Spm(B) // Spm(A)est un morphisme dek-affinoïdes, alorsf est plat si et seulement si laA-algèbreB est plate.

Definition 1.1.47 — Un morphismef : Y // X de k-variétés rigides est lisse s’il est plat et si pour tout x∈X, la fibre f⁻¹(x)est lisse surk(x). On dit quef est étalesi de plus les fibres def sont de dimension nulle.

SiX est unek-variété rigide, on noteSmRig/X⊂VarRig/X la sous-catégorie pleine desX-variétés rigides lisses (i.e., des morphismes lisses de butX). On note aussiEt/X ⊂SmRig/Xla sous-catégorie pleine desX-variétés rigides étales (i.e., des morphismes étales de butX).

On peut généraliser le corollaire 1.1.45 aux morphismes lisses.

Lemme 1.1.48 — 1- Soit f un morphisme lisse de k-variétés rigides. Le faisceau cohérent Ω_f est localement libre.

2- Soit un triangle commutatif dek-variétés rigides Y ^s //

g ((

X

f

T

avec sune immersion fermée, et f etg des morphismes lisses. On a alors une suite exacte courte deOY-modules

(1.21) 0 // Ns // s^∗Ωf // Ωg // 0.

Demonstration Pour la première partie du lemme, on peut supposer quef provient d’un morphisme dek-algèbres affinoïdesA // B. On choisit une présentationp:C=A{T1, . . . , Tn} //// B de noyau I. On a une suite exacte de B-modules

(1.22) I/I² // B·dT₁⊕ · · · ⊕B·dT_n // Ω_B/A // 0.

Comme B est une algèbre plate, le morphisme I⊗_Ak(x) // C⊗_Ak(x) est injectif pour tout x ∈ Spm(A). Il s’ensuit que le morphisme évidentI⊗Ak(x) // I(C⊗Ak(x))est inversible. De plus, l’image de la composition de I²⊗Ak(x) // I⊗Ak(x) // I(C⊗Ak(x))s’identifie àI²(C⊗Ak(x)). On a donc un isomorphisme naturel

(I/I²)⊗Ak(x) ^∼ // I(C⊗Ak(x))/I²(C⊗Ak(x)).

Par ailleurs, le morphisme évidentΩ_B/A⊗Ak(x) // Ω_{B⊗Ak(x)/k(x)}est inversible. Ainsi, si on applique− ⊗Ak(x)à la suite (1.22), on obtient (à isomorphisme près) la suite

0 // I(C⊗Ak(x))/I²(C⊗Ak(x)) // (B⊗Ak(x))·dT1⊕ · · · ⊕(B⊗Ak(x))·dTn // Ω_{B⊗Ak(x)/k(x)} // 0 qui est une suite exacte courte de modules localement libres par le corollaire 1.1.45. Autrement dit, pour touty ∈ Spm(B), la suite déduite de (1.22) par application de− ⊗Bk(y)est une suite exacte courte.

Appelons maintenantN= ker((I/I²)→ ⊕ⁿ_i=1B·dTi)etK= coker(N →(I/I²))de sorte qu’on a une suite exacte courte deB-modules

(1.23) 0 // K // B·dT₁⊕ · · · ⊕B·dT_n // Ω_B/A // 0.

Étant donné que(I/I²)⊗Bk(y) // K⊗Bk(y)est surjectif, on voit que (1.23) est encore une suite exacte courte après application de− ⊗Bk(y)pour touty∈Spm(B). Comme ⊕ⁿ_i=1B·dTi est libre, on déduit queTor¹_B(ΩB/A, k(y)) = 0 pour tout point ferméydeSpec(B). CommeΩB/A est de type fini, il est projectif.

Pour la seconde partie du lemme, on appelleE le noyau deNs // s^∗Ωf etK =Ns/E. On a alors deux suites exactes courtes

0 // K // s^∗Ω_f // Ω_g // 0 et 0 // E // Ns // K // 0.

De la discussion ci-dessus, on déduit que K est localement libre et queNs⊗_OY k(y)'K ⊗_OY k(y). Étant donné queTor¹_OY(K, k(y)) = 0, on a forcémentE ⊗_OY k(y) = 0. Ceci étant vrai pour touty∈Y, on déduit queE = 0. Le

lemme est prouvé. c.q.f.d.

On a le résultat suivant concernant les morphismes étales.

Theoreme 1.1.49 — Soit f : Y // X un morphisme de k-variétés rigides. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) f est étale,

(ii) f est plat etΩf = 0,

(iii) f est plat etY // Y ׈XY est une immersion ouverte,

(iv) pour tout y ∈ Y,V = Spm(B) un voisinage affinoïde de y et U = Spm(A)un voisinage affinoïde de f(V), la A-algèbre B est isomorphe àA{T1, . . . , Tn}/(f1, . . . , fn)avec ∂(f1, . . . , fn)

∂(T₁, . . . , T_n) de rangn (i.e., inversible) dansB.

Demonstration Si f est étale, on a pour x∈ X, (Ω_f)⊗_OX k(x) = Ω_f−1(x) = 0. Ceci prouve que Ω_f = 0. D’où l’implication (i)⇒(ii).

Montrons que (ii) ⇒ (iii). Si I∆ est l’idéal de l’inclusion Y ,→ Y׈_XY alors I∆² = I∆. Ainsi, en tout point e∈Y׈XY, l’idéalI∆⊗_O

Y׈X Y OY׈XY,e est soit nul, soit égal àOY׈XY,e. Le résultat est alors clair. L’implication (iii)⇒(ii) est immédiate.

Montrons que (iv)⇒(i). On peut supposer queX = Spm(A)etY = Spm(B). Pour montrer quef est étale eny, il suffit de la faire après une extension finie dek. On peut donc supposer quek(y) =k(x) =k. Il suffira de montrer que le morphismeAˆx // Bˆy est étale. On verra même que c’est un isomorphisme. On peut supposer queyest envoyée sur l’origine deSpm(A{T1, . . . , Tn})parSpm(p). En d’autres termes, fi(0, . . . ,0) = 0pour 1≤i≤n. La Aˆx-algèbreBˆy

est donc donnée parA[[T1, . . . , Tn]]/(f1, . . . , fn). Il est alors clair que l’endomorphismeTi fiest un automorphisme deA[[T1, . . . , Tn]]. D’où le résultat.

Pour finir, il reste à voir que (ii)⇒(iv). On se donne une présentation p:A{T1, . . . , T_n} //// B avecI=p⁻¹(0).

La suite exacte (voir le lemme 1.1.48)

0 // I/I^{2 θ} // B·dT₁⊕ · · · ⊕B·dT_n // Ω_f // 0

montre que le morphisme θ est inversible. Soient des éléments f1, . . . , fn ∈ I tels que θ(fi) = dTi et notons I1 = (f1, . . . , fn). Le morphismeI1/I₁² // I/I² est surjectif. Il vient queI=I1+I². Comme l’anneauA{T1, . . . , Tn} est noethérien, on a forcémentI=I1au voisinage deSpec(B), i.e., il existeg∈A{T1, . . . , Tn}tel que l’image deg dans B est inversible et Ig = (I1)g. Quitte à multiplierg par un élément deA{T1, . . . , Tn}, on peut supposer que l’image deg dansB est égale à1. On considère la présentationp⁰ :A{T1, . . . , Tn, S} //// B qui étend pet qui envoieS sur 1. Il est alors facile de voir que le noyau dep⁰ est l’idéal(f₁, . . . , f_n, gS−1). De plus, l’image de ∂(f₁, . . . , f_n, gS−1)

∂(T1, . . . , Tn, S) dansB est une matrice triangulaire supérieure avec des1 sur la diagonale. c.q.f.d.

Corollaire 1.1.50 — Soit un triangle commutatif dek-variétés rigides Y ^f //

h '' X

g

T.

Sihetg sont étales, il en est de même de f.

Demonstration Considérons le diagramme commutatif

Y //

id×f ^(c)

X

∆

Y ׈TX //

pr2 **

X׈TX

pr₂

X

où le carré(c)est cartésien. Par le théorème 1.1.49, ∆ est une immersion ouverte. Il vient queid×f est également une immersion ouverte. Le résultat découle alors du fait quepr2 est étale et quef =pr2◦(id×f). c.q.f.d.

Corollaire 1.1.51 — Soit f : Y // X un morphisme de k-variétés rigides. Les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1. f est lisse.

2. Il existe des recouvrements admissibles (Yi)i∈I et(Xi)i∈I deY etX tels que :

— Yi⊂f⁻¹(Xi),

— le morphismefi :Yi // Xi se factorise de la manière suivante : Y_i ^e //Bⁿk׈_kX_i ^pr2 //X_i avece un morphisme étale.

Demonstration La seconde condition est clairement suffisante. Montrons qu’elle est nécessaire. On peut supposer que X = Spm(A) et Y = Spm(B) sont affinoïdes. Soit p: A{T1, . . . , T_n} //// B une présentation de B. On note I=p⁻¹(0). On a la suite exacte courte deB-modules

0 // I/I^{2 α} // B·dT1⊕ · · · ⊕B·dTn // Ωf // 0.

CommeΩf est projectif, on déduit queI/I² est aussi projectif.

On peut trouver un recouvrement admissible (Yi = Spm(Bi))i de Y par des domaines rationnels tels que pour chaquei, le sous-module α(I/I²)⊗BBi ⊂Bi·dT1⊕ · · · ⊕Bi·dTn soit libre et admet un supplémentaire librement engendré par une partie de{dT1, . . . ,dT_n}. Fixons l’indiceiet supposons que cette partie est{dT1, . . . ,dT_r}pour un certainr≤n. Le morphisme

(B_i·dT₁⊕ · · · ⊕B_i·dT_r)⊕((I/I²)⊗_BB_i) // B_i·dT₁⊕ · · · ⊕B_i·dT_n

est donc inversible. Choisissons des éléments f_r+1ⁱ , . . . , f_nⁱ ∈I engendrant librement (I/I²)⊗B Bi. Soit enfin, Di = Spm(A{T1, . . . , Tn}hh0|h1, . . . , hmi)un domaine rationnel contenantYi comme une partie fermée. On obtient alors la présentation suivante de laA-algèbreBi :

Bi'A{T1, . . . , Tr}{Tr+1, . . . , Tn, S1, . . . , Sm}/(f_r+1ⁱ , . . . , f_nⁱ, h0S1−h1, . . . , h0Sm−hm).

On vérifie facilement que la matrice jacobienne∂(f_r+1ⁱ , . . . , f_nⁱ, h0S1−h1, . . . , h0Sm−hm)

∂(Tr+1, . . . , Tn, S1, . . . , Sm) est bien inversible dansB_i. Ceci montre queBi est uneA{T1, . . . , Tr}-algèbre étale. Le corollaire est prouvé. c.q.f.d.

On a le lemme important suivant.

Lemme 1.1.52 — Soit e : Spm(B) // Spm(A) un morphisme étale de k-affinoïdes. On peut trouver une présentation

A{T1, . . . , Tn}/(P1, . . . , Pn) ^∼ // B avec Pi ∈A[T1, . . . , Tn] des polynômes et ∂(P1, . . . , Pn)

∂(T₁, . . . , T_n) inversible dansB. De plus, il existe >0 tel que pour tout n-uplet(f1, . . . , fn)∈A{T1, . . . , Tn}ⁿ avec |fi−Pi| ≤, laA-algèbreA{T1, . . . , Tn}/(f1, . . . , fn) est isomorphe àB.

Demonstration Lorsque la valuation de k est triviale, il n’y a rien à montrer. On suppose donc que la valuation dek est non triviale et on fixe une norme de Banach surA. La preuve du lemme est une application de la méthode d’approximation de Newton (voir aussi la preuve de la proposition 1.1.35). On commence par une discussion générale.

Étape 1 : SoitC =A{T₁, . . . , T_n}/(f₁, . . . , f_n)une A-algèbre affinoïde. On noteraf = (f₁, . . . , f_n), T= (T₁, . . . , T_n) etS= (S₁, . . . , S_n)(un deuxième système d’indéterminées) que l’on considère comme des vecteurs. On peut écrire

(1.24) f(T+S) =f(T) + [Jf(T)](S) + X

1≤i≤j≤n

Si·Sj·D^i,j_f (T,S),

avecJ_f = ∂(f1, . . . , fn)

∂(T₁, . . . , T_n) la matrice jacobienne et D^i,j_f des vecteurs à coefficients de séries strictement convergentes, i.e.,D^i,j_f ∈A{T1, . . . , Tn, Sj, . . . , Sn}ⁿ. Supposons queJf soit inversible dansC (doncC est étale surA). Ceci revient à dire qu’il existe des séries strictement convergentesg, w1, . . . , wn∈k{T1, . . . , Tn}telles que

(1.25) det(Jf(T))·g(T) = 1 +

n

X

i=1

fi(T)·wi(T).

SoientRune A-algèbre affinoïde réduite (que l’on munit d’une norme résiduelle arbitraire pour laquelleA // R est contractant) ett₀= (t₁₀, . . . , t_n0)∈(R^◦)ⁿ. On définit un système récurrent (de Newton) par la formule

(1.26) tr+1=tr−[Jf(tr)⁻¹](f(tr)).

On fixe un réelM >1 tel que :

1. les normes de Gauss des séries strictement convergenteswi sont inférieures ou égales àM, 2. les normes de Gauss des coefficients des vecteursD^i,j_f sont inférieures ou égales à M,

3. les normes de Gauss deg et des coefficients de la comatrice de Jf(T)sont inférieures ou égales à√ M. Supposons que|fi(t0)| ≤ 1

2M³ (pour1≤i≤n). Nous allons montrer par récurrence que :

(i) trest bien défini ettr∈(R^◦)ⁿ, (ii) |fi(tr)| ≤ 1

2^2rM³ pour1≤i≤n.

Lorsque r = 0, ces conditions sont clairement vérifiées. Supposons qu’elles le sont encore pour un entier r. Comme

|wi| ≤M, on voit que |wi(tr)·fi(tr)| <1. Ainsi,1 +Pn

i=1fi(tr)·wi(tr)est inversible dans R et la norme de son inverse est égale à 1. On déduit de (1.25) que det(J_f(t_r)) est inversible et que la norme de son inverse est égale à la norme de g qui est majorée par √

M. Ceci prouve que J_f(t_r) est inversible et que les normes des coefficients de J_f(t_r)⁻¹ sont majorées par M. Il vient donc que J_f(t_r)⁻¹(f(t_r)) = (e₁(t_r), . . . , e_n(t_r)) =e(t_r) est un vecteur dont tous les coefficients sont de normes inférieures ou égales à 1

2^2rM². Ceci montre en particulier que t_r+1 est défini et qu’il est à coefficients dansR^◦.

Il reste à montrer l’inégalité dans (ii). Pour cela, on utilise (1.24) pour obtenir f(t_r+1) =f(t_r−J_f(t_r)⁻¹f(t_r)) =f(t_r)−J_f(t_r)J_f(t_r)⁻¹f(t_r) + X

Ceci montre que les normes des coefficients def(tr+1)sont majorées par 1

(où la norme d’une matrice ou d’un vecteur est le supremum des normes des coefficients). Nous allons montrer que les A-algèbresC et C⁰ sont isomorphes.

Montrons d’abord queSpm(C⁰)est étale sur Spm(A), i.e., que la matrice jacobienneJf⁰ est inversible dansC⁰. Il suffit bien entendu de montrer queg·det(Jf⁰)est inversible dansC⁰. Étant donné que

|g·det(Jf)−g·det(Jf⁰)|<1, Com(Jf⁰). De plus, par la discussion du début de la seconde étape, on peut écrire

det(Jf⁰)·g·(1 +)⁻¹= 1 +

n

X

i=1

f_i⁰(T)·wi(T)(1 +)⁻¹

avec||<1(on a plus précisément=g·det(Jf⁰)−g·det(Jf) +P

i(fi−f_i⁰)·wi). On en déduit alors un morphisme surjectif

(1.30) C⁰ =A{T1, . . . , Tn}

(f₁⁰, . . . , f_n⁰) //// C= A{T1, . . . , Tn} (f₁, . . . , f_n) .

Par le corollaire 1.1.50, le morphisme surjectif (1.28) identifie Spm(C⁰) à une composante connexe deSpm(C). De même, le morphisme (1.30) identifieSpm(C)à une composante connexe deSpm(C⁰). On en déduit que les compositions de

Spm(C) // Spm(C⁰) // Spm(C) et Spm(C⁰) // Spm(C) // Spm(C⁰) sont des isomorphismes. Il vient queC et C⁰ sont isomorphes en tant que A-algèbres.

Étape 3 : Revenons à l’énoncé du lemme. On peut supposer que notre A-algèbreB est égale àC. Étant donné que det(Jf), D^i,j_f et Com(Jf) dépendent continûment de f, il existe > 0, tel que les conditions (1.27) sont vérifiées dès que |f −f⁰| < . Le résultat découle alors du fait que l’on peut choisir de tels f_i⁰ dans le sous-anneau dense

A[T1, . . . , Tn]⊂A{T1, . . . , Tn}. c.q.f.d.

On appliquera le lemme précédent pour établir quelques propriétés importantes des morphismes étales entre k-variétés rigides quasi-compactes (voir [FP04, Proposition 8.1.2]).

Proposition 1.1.53 — On suppose que la valuation de k est non triviale. Soit f : Y // X un morphisme étale dek-variétés rigides.

1- Soitq∈P(Y) et notonsp∈P(X) son image par f. Si q est un point maximal, le morphismeOX,p // OY,q

est fini et étale. De plus, il existe un voisinage affinoïde V ∈Flt(q) qui est un revêtement étale (i.e., un morphisme fini et étale) sur un voisinage affinoïdeU ∈Flt(p).

2- Il existe un recouvrement admissible (X_i)_i∈I de X, des recouvrements admissibles (Y_ij)_j∈Ji de Y_i =Y׈_XX_i ainsi que des triangles commutatifs

Y_ij ^uij //'' Y¯_ij

f¯ij

Xi

avec u_ij des immersions ouvertes et f¯_ij des revêtements étales finis.

Demonstration Il suffit de traiter le cas où X= Spm(A)etY = Spm(B)avecB =A{T1, . . . , Tn}/(P1, . . . , Pn)où Pi sont des polynômes etJac(P1, . . . , Pn) = det

∂(P1, . . . , Pn)

∂(T1, . . . , Tn)

inversible dansB. Considérons laA-algèbre de type finie

E=A[T1, . . . , Tn, U]/(P1, . . . , Pn,Jac(P1, . . . , Pn)·U−1).

C’est uneA-algèbre étale. De plus,Spm(B)est un ouvert admissible deSpec(E)^an. Il existe un recouvrement Zariski (Spec(Ai))ideSpec(A)et des recouvrements Zariski(Spec(Eij))j deSpec(Ei) = Spec(E×AAi)tels queEij est une Ai-algèbre étale élémentaire, i.e., de la forme(Ai[T]/Pij(T))[1/P_ij⁰ (T)·Qij(T)]avecPij un polynôme unitaire etQij

un polynôme quelconque. Quitte à remplacer X et Y par les ouverts admissibles de recouvrements admissibles, on peut donc supposer queSpm(B)est un ouvert admissible deSpec(E)^anavecE= (A[T]/P(T))[1/P⁰(T)]uneA-algèbre étale élémentaire (avec P unitaire). Notons alors E¯ = A[T]/P(T). C’est une A-algèbre finie et donc une k-algèbre affinoïde. Il est clair queSpm(B)est un domaine deY¯ = Spm( ¯E). De plus, le lieu singulier de laA-variété rigide Y¯ est le ferméZ d’équation P⁰(T) = 0qui est disjoint deSpm(B).

Notonsf¯: Spm( ¯E) = ¯Y // Spm(A) =X. Nous allons montrer les deux assertions suivantes.

(i) Soient F une partie deP(X) et V un domaine de Y¯ tel que P(V) contient la partief¯⁻¹(F). Il existe alors un domaineU deX tel queF ⊂P(U)et f¯⁻¹(U)⊂V.

(ii) Soit p ∈ M(X) un point maximal. Notons f¯⁻¹(p) = {q1, . . . , qr}. Il existe des ouverts Vi ∈ Flt(qi) tels que Vi∩Vj =∅ sii6=j.

Étant donné un modèle essentielXdeX, on considère un modèleY¯_X deY¯, fini et plat surX. Par le théorème de platification de Raynaud-Gruson (voir [GR71]) et le fait queEest uneA-algèbre libre, on peut choisirXetY¯_Xaussi fins que l’on veut. On peut donc supposer queV est la fibre générique d’un ouvert ZariskiVdu schéma formel¯Y_X. Notons F_Xl’image deFdansXσ. Alors, l’image def¯⁻¹(F)dans(¯Y_X)σcoïncide avec(¯Y_X→X)⁻¹(F_X). En effet, siX⁰ ∈Mdl(X) est un modèle essentiel et plus fin queX, etY¯X⁰ choisi plus fin queY¯X, la platitude duX-schéma formelY¯Xentraîne que le morphismeY¯X⁰ // ¯YX׈_XX⁰ est surjectif. Il s’ensuit que l’application (¯YX⁰ →X⁰)⁻¹(p_X⁰) // (¯YX →X)⁻¹(p_X) est surjective pour toutp∈P(X). Or,f¯⁻¹(p)est la limite projective des(¯YX⁰ →X⁰)⁻¹(p_X⁰)ce qui entraîne la propriété recherchée. On déduit de ce qui précède que (¯YX →X)⁻¹(F_X)⊂Vσ. L’image de (¯YX)σ−Vσ parYX // Xest un

ferméT deXdisjoint deF_X. L’ouvertU = (X−T)η convient clairement pour (i). La propriété (ii) découle du corollaire 1.1.38 et du fait que lesq_i sont maximaux.

Soitp∈M(X)un point maximal. On déduit des propriétés (i) et (ii) des isomorphismes

OY ,q^¯ ₁× · · · ×OY ,q^¯ _r 'Colim_{V1∈Flt(q1),...,Vr∈Flt(qr)}Γ(V₁∪ · · · ∪V_r,O)'Colim_U∈Flt(p)Γ(U׈_XY ,¯ O)'OX,p⊗_AE.¯ En particulier,OY ,q^¯ iest uneOX,p-algèbre finie. Cette algèbre est étale siq_i∈M( ¯Y−Z)et en particulier siq_i ∈M(Y).

Ceci montre que pour tout q∈M(Y), il existe V ∈Flt(q)et U ∈Flt(f(q))tel queV est un revêtement étale deU. On a ainsi montré la première partie de l’énoncé.

Montrons la deuxième partie. Soit p∈ M(X) un point maximal et notons comme tout à l’heure {q1, . . . , qr} la fibre dep. Par la proposition 1.1.33, siqi∈P( ¯Y −Z)on a{qi} ⊂P( ¯Y −Z). Il existe donc deux ouverts affinoïdesVe

etVsdeY¯ tels que :

1. Ve∩Vs=∅, Vs∩Y =∅ etVe∩Z=∅, 2. siq_i∈P( ¯Y −Z), alorsV_econtient{qi}, 3. siq_i∈P(Z), alorsV_scontient{q_i}.

Par la discussion ci-dessus, on peut trouver un voisinageU depdansX tel queU׈XY¯ est contenu dansVe∪Vs. On a donc une décomposition en somme disjointeU׈XY¯ =We`

Ws avecWe⊂Ve et Ws ⊂Vs. Par construction, U×XY est un ouvert admissible deWe. CommeU ×XY¯ est fini sur U, on déduit queWe est aussi fini sur U. De plus, il est étale. Pour conclure, il suffit d’utiliser le fait queP(X)est quasi-compact, i.e., si(Ui)i∈I est une famille de domaines deX telle que∪i∈IP(Ui) =P(X), il existe une partie finieI0⊂I, telle que∪i∈I₀P(Ui) =P(X). c.q.f.d.

Remarque 1.1.54 — La preuve de la proposition 1.1.53 est inspirée de la preuve de [FP04, Proposition 8.1.2].

Toutefois, l’argument présenté ici est plus complexe puisque nous nous sommes efforcés d’éviter un point qui nous a paru obscur dans loc. cit. Il semble en effet qu’un “cercle vicieux” s’est introduit dans la preuve proposée dans [FP04] : la démonstration du point (1) de 8.1.2 utilise le lemme 8.1.3 qui lui repose implicitement sur le point (3) de 8.1.2 affirmant que l’image d’un domaine rationnel par un morphisme étale est une réunion de domaines rationnels.

Malheureusement, la preuve de 8.1.2(3) utilise 8.1.2(1).

Remarque 1.1.55 — La proposition 1.1.53 affirme que si f : Y // X est étale et y ∈ M(Y), le morphisme OX,f(y) // OY,y est fini et étale. On peut se demander si la généralisation suivante est vraie. Soitf :Y // X un morphisme dek-affinoïdes tel que pour toutx∈X, la fibref⁻¹(x) =Y×_Xxest finie. Comme en géométrie algébrique, on pourra appeler quasi-fini un tel morphisme. Soit y ∈ M(Y). Est-il vrai que le morphisme OX,f(y) // OY,y est fini ? Cette question semble liée à une hypothétique version rigide du théorème de Zariski affirmant qu’un morphisme quasi-fini de schémas peut se factoriser en une immersion ouverte suivie d’un morphisme fini.

Corollaire 1.1.56 — On suppose que la valuation de k est non triviale. Soit f : Y // X un morphisme étale et séparé de k-variétés rigides quasi-compactes, et soit Z ⊂X une sous-variété rigide fermée. On suppose que Y׈XZ // Z admet une sections. Il existe alors un voisinage ouvert quasi-compact Z⊂U ⊂X et un diagramme commutatif

Y

f

Z //

s 33

U

t

77//X.

Demonstration SoitU un ouvert connexe de X. Puisquef est étale et séparé, il existe au plus un X-morphisme U // Y qui étend leX-morphismes_|U∩Z :U∩Z // Y dès queU∩Z6=∅. Il suffit donc de construiretlocalement au voisinage deZ. Plus précisément, si(Xi)i∈I est un recouvrement admissible deX par des k-variétés rigides quasi-compactes, il suffit de traiter le cas des morphismes étales Y׈XXi // Xi et des fermésZ ∩Xi ⊂Xi. De même, soit(Yj)j∈J un recouvrement admissible de Y par desk-variétés rigides quasi-compactes. On poseZj =s⁻¹(Yj). On choisit un ouvert quasi-compactXj ⊂X tel queXj∩Z =Zj et on noteY_j⁰=Yj∩f⁻¹(Xj). Il suffit alors de prouver la conclusion du corollaire pour les morphismes étales Y_j⁰ // X_j et Z_j // Y_j⁰. Par la proposition 1.1.53, on peut donc supposer queX est un k-affinoïde et que Y est un ouvert quasi-compact d’un revêtement étale f¯: ¯Y // X. On peut même supposer quef est lui-meme un revêtement étale. En effet, si on trouve un diagramme commutatif

Y¯

f¯

Z //

¯ s

33

U¯

¯t

77//X,

on peut prendreU = ¯t⁻¹(Y)ett= ¯t_|U.

Il est maintenant aisé de démontrer le résultat recherché. En effet, posons T =Y ׈XZ ⊂Y. La sections fournit une décomposition en somme disjointeT =Z`T⁰. SoientV etW deux ouverts quasi-compacts deY tels queZ⊂V, T⁰ ⊂W et V ∩W =∅. Pour construire de tels ouverts, on procède de la manière suivante. On fixeZ ⊂V tel que V ∩T⁰ =∅. Soientf₁, . . . , f_n des générateurs de l’idéal de définition du sous-affinoïdeT⁰. Alors, les f_i ne s’annulent pas simultanément surV. CommeV est quasi-compact, il existe ∈ |k^×| tel que max_i=1,...,n(|f_i(v)|)> pour tout point fermév deV. Il suffit alors de prendreW =∩ⁿ_i=1D_X(|f_i).

Par la propriété (i) établie pendant la preuve de la proposition 1.1.53, il existe un ouvert quasi-compact U de X contenantZ et tel quef⁻¹(U)⊂V. On prendra un telU avec la propriété supplémentaire que toutes ses composantes connexes rencontrentZ. On a donc une décompositionf⁻¹(U) =E`F avecE =f⁻¹(U)∩V et F =f⁻¹(U)∩W. Alors,E est un revêtement étale deU. De plus, les fibres deE/U enz∈Z sont des singletons. Il vient que E/U est

partout de degré1. Ceci entraîne queE'U. c.q.f.d.

Voici une deuxième application du lemme 1.1.52.

Proposition 1.1.57 — Soitf :Y // X un morphisme lisse de k-variétés rigides. Il existe alors des recou-vrements admissibles(Yi = Spm(Bi))i et (Xi = Spm(Ai))i de Y et X avec f(Yi)⊂Xi ainsi que des modèles affines Yi= Spf(B_i^◦) // Xi= Spf(A^◦_i)tels queB^◦_i est le complété formel (π-adique) d’uneA^◦_i-algèbre de présentation finie.

Demonstration On écarte le cas trivial où k est muni de sa valuation triviale. Par le corollaire 1.1.51, on peut supposer que notre morphisme est la composition de

Y = Spm(B) ^e //Spm(A{T1, . . . , Tr}) ^p //Spm(A) =X aveceétale etpla projection canonique. LaA{T1, . . . , Tn}-algèbreB admet une présentation

Y = Spm(B) ^e //Spm(A{T1, . . . , Tr}) ^p //Spm(A) =X aveceétale etpla projection canonique. LaA{T1, . . . , Tn}-algèbreB admet une présentation

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