Points en géométrie rigide

Comme dans le paragraphe précédent, la valuation de ksera supposée non triviale etπdésignera un élément non nul dek^∨. Étant donné unk^◦-schéma formelX, on noteraXσ le˜k-schémaX/k^∨.

Les points fermés d’unek-variété rigide ne suffisent pas pour décrire les propriétés locales. Il est naturel d’introduire (suivant [FP04, Chapter 7]) la notion suivante.

Definition 1.1.32 — SoitX unek-variété rigide quasi-compacte et séparée. On poseP(X) = Lim_X∈Mdl(X)Xσ

où la limite est prise dans la catégorie des espaces topologiques. On notered :X // P(X)l’application évidente. Les éléments deP(X)sont appelés les points rigides (ou simplement les points) deX.

Étant donnés p, q ∈ P(X), on écrit p ≺ q si p appartient à l’adhérence {q} du point q. L’ensemble des points maximaux pour cette relation est notéM(X). Les éléments deM(X)seront appelés les points maximauxdeP(X).

LorsqueU est un ouvert quasi-compact d’unek-variété rigide quasi-compacte et séparéeX, le morphisme évident P(U) // P(X)est l’inclusion d’un ouvert de P(X). Ceci est une conséquence directe du théorème 1.1.30. On peut alors définir par recollement un espace topologiqueP(X)pour toutek-variété rigide. Comme avant, on noteM(X)⊂ P(X) le sous-ensemble des points maximaux. Remarquons que si Y ⊂ X est une sous-variété fermée, P(Y) est naturellement une partie fermée deP(X).

Proposition 1.1.33 — 1-Si xest un point fermé deX, alors red(x)est un point maximal deP(X).

2- SoientY ⊂X une sous-variété fermée etp∈P(X). Sip /∈P(Y), alors {p} ∩P(Y) =∅.

3- Un point p ∈ P(X) est contenu dans l’adhérence d’un unique point maximal m(p). On obtient ainsi une applicationm:P(X) // M(X)qui est une rétraction à l’inclusion évidente.

Demonstration Le premier point découle facilement du second. Soit p∈ P(X)tel que {p} ∩P(Y) 6=∅. Pour un modèle Xde X, on notep_X l’image de p dans Xσ et Z_X son adhérence. On note aussi YX l’adhérence schématique deY dans X. On a donc (YX)σ∩Z_X6=∅pour tout modèle X. Sip6∈P(Y), il existe un modèleXtel que l’inclusion (YX)_σ ∩Z_X ⊂ Z_X est stricte. Quitte à remplacer X par un voisinage affine de p_X, on peut se ramener au cas où X = Spm(A) est unk-affinoïde etX= Spf(A^◦) un schéma formel affine (une norme résiduelle étant choisie surA).

On a dansSpec(A^◦)deux sous-schémas fermésZ_XetSpec(A^◦/I)avecI l’idéal du sous-schéma formelYX. Ce dernier étant essentiel,Iest de type fini. SoitJ ⊂A^◦un idéal de type fini ayantZ_Xpour lieu d’annulation. On peut supposer que J est ouvert de sorte que I+J est le centre d’un éclatement admissible X⁰ de X. Les transformés purs Y_X⁰ et Z_X⁰ dansX⁰ sont disjoints par le lemme 1.1.34 ci-dessous. Orp_X⁰ est forcément le point générique deZ_X⁰ . Ceci est une contradiction.

La dernière partie se démontre de la même manière. Soient en effet deux pointsp1 etp2 deP(X)tels que {p1} ∩ {p2} 6=∅. Nous allons montrer quep1≺p2 oup2≺p1. En effet, si ce n’était pas le cas, il existe un modèleXde X tel que (Z1)_X∩(Z2)_X est un sous-schéma strict de (Zi)_X pour i ∈ {1,2} (où l’on a noté (Zi)_X l’adhérence Zariski de (pi)_X). On choisit un idéal ouvert et de type fini Ii ⊂OX ayant pour lieu d’annulation la partie fermée (Zi)_X. En éclatant l’idéalI1+I2 on obtient (par le lemme 1.1.34 ci-dessous) un modèleX⁰ avec(Z1)_X⁰∩(Z2)_X⁰ =∅. Ceci

contredit l’hypothèse{p1} ∩ {p2} 6=∅. c.q.f.d.

Lemme 1.1.34 — SoientX un schéma etI1,I2⊂OX deux idéaux quasi-cohérents de type fini. SoitX⁰ l’éclaté deI =I1+I2 dans X. On note Ii⁰ = (Ii·OX⁰)·(I ·OX⁰)⁻¹ le transformé faible de Ii pour i∈ {1,2}. On a alorsI1⁰+I2⁰=OX⁰. En particulier, les transformés purs des fermésX/I1 etX/I2 sont disjoints dansX⁰.

Soit X une k-variété rigide. Étant donné un point p ∈P(X), on note Flt(p) l’ensemble des ouverts admissibles U de X tel que p ∈ P(U). C’est un ensemble ordonné cofiltrant. De plus, le sous-ensemble de Flt⁰(p) ⊂ Flt(p) formé des ouverts affinoïdes est cofinal. On pose OX,p = Colim_U∈Flt(p)Γ(U,O), OX,p^◦ = ColimU∈Flt(p)Γ(U,O)^◦ et OX,p^∨ = Colim_U∈Flt(p)Γ(U,O)^∨ (voir la notation 1.1.13). L’anneauOX,ppossède une semi-norme définie par

(1.8) kfkp= inf{|f⁰|∞; f⁰∈Γ(U,O), U ∈Flt(p) etf = (Γ(U,O)→OX,p)(f⁰)}.

On notem_p ⊂OX,p l’idéal des f aveckfk_p = 0. On a clairement m_p ⊂OX,p^∨ ⊂OX,p^◦ . On a le résultat suivant (voir [FP04, Proposition 7.1.8]).

Proposition 1.1.35 — L’anneau OX,p est local hensélien d’idéal maximal mp et la fonction k·kp définit une valuation sur le corps résiduel k(p) = OX,p/mp. De plus, si k(p)ˆ désigne le complété de k(p) pour la valuationk·kp, alorsk(p)est séparablement clos dans ˆk(p).

Demonstration On divise la preuve en deux parties.

Partie A : Montrons quem_p est l’unique idéal maximal de OX,p. Soitf ∈OX,p et supposons quekfk_p >0. On sait que |f⁰|_∞ ≥ kfkp pour tout relèvement f⁰ ∈ Γ(U,O) de f à U ∈ Flt(p). Soit λ ∈ |k| tel que 0 < λ < kfkp. On peut écrireU comme la réunion admissible de deux ouvertsD(f⁰|λ)∪D(λ|f⁰). Étant donné que la norme infinie de la restriction def⁰ à D(λ|f⁰)est strictement inférieure àkfkp, on déduit queD(λ|f⁰)∈/ Flt(p). On a donc forcément D(f⁰|λ)∈Flt(p). Mais la restriction def⁰ à D(f⁰|λ)est inversible. Ceci montre quef est inversible.

Pour voir quek·kpdéfinit une valuation surk(p)il suffit de montrer l’égalitékakp· ka⁻¹kp= 1poura∈k(p)− {0}.

Soit g ∈ Γ(U,O) un relèvement de a à U ∈ Flt(p). Soient λ1 et λ2 dans p

|k^×| tels que 0 < λ1 < kakp < λ2. Alors, D(λ1|g) 6∈ Flt(p) et D(g|λ2) 6∈ Flt(p). On a donc forcément D(λ2|g|λ1) = D(λ2|g)∩D(g|λ1) ∈ Flt(p). Mais

|g_|D(λ2|g|λ1)|∞≤λ₂ et|g⁻¹_|D(λ

2|g|λ1)|∞≤λ⁻¹₁ . Ceci montre quekakp· ka⁻¹kp≤λ₂λ⁻¹₁ . En faisant tendreλ₁ et λ₂ vers kakp, on obtient l’inégalité kakp· ka⁻¹kp ≤1. Or,kakp· ka⁻¹kp ≥ k1kp = 1 car k · kp est une semi-norme. D’où le résultat recherché.

Partie B :Dans cette partie on montre simultanément queOX,pest hensélien et quek(p)est séparablement clos dans ˆk(p). On peut pour cela supposer X réduit quitte à le remplacer parXred. Soit P ∈OX,p[T] et f¯∈k(p)ˆ une racine

séparable de la réduction P¯ ∈ k(p)[T] ⊂ˆk(p)[T] de P. Il suffit de montrer que P admet une racine dans OX,p. On

Soit M ≥ 1 un réel qui majore strictement les normes des coefficients de P(T) et R(S, T). (Remarquons que cela entraîne queM majore strictement les normes des coefficients de ∂R

∂T(S, T).) On fixef0∈OX,ptel quekf0(p)−f¯kp <

3. les normes infinies des coefficients deR˜ sont majorées parM, 4. |P˜( ˜f₀)|_∞≤ λ²

2M.

Quitte à raffinerU une deuxième fois (afin de se débarasser des composantes irréductibles ne contenant pasp), on a également la relation

(1.10) P(S˜ +T) = ˜P(S) + ˜P⁰(S)T+ ˜R(S, T)T². On considère alors la suite récurrente (de Newton)( ˜fn)_n∈Ndéfinie par

(1.11) f˜n+1= ˜fn− P˜( ˜fn)

P˜⁰( ˜f_n).

Notons qu’à priori, cette suite est à valeurs dans les fonctions méromorphes sur U puisque f˜_n peut avoir des pôles.

Montrons par récurrence les trois propriétés suivantes : (i) f˜_n ∈Γ(U,O)et|f˜_n|∞≤1,

(ii) |P˜⁰( ˜fn)(x)| ≥λpour toutx∈U, (iii) |P˜( ˜f_n)|_∞≤ λ²

2²ⁿM.

Lorsque n = 0 les trois propriétés ci-dessus sont vraies. On suppose que ces propriétés sont prouvées pour n. Il vient quef˜_n+1∈Γ(U,O)puisqueP˜⁰( ˜f_n)est inversible. Comme |P˜⁰( ˜f_n)(x)| ≥λpour toutx∈U, on déduit que

De la formuleP˜⁰(S+T) =∂P˜ est un point maximal, alorsk^◦(p)coïncide avec l’anneau de valuation de la norme k·kp définie par (1.8). Il est donc de hauteur1 et son idéal maximal est k^∨(p) =O_X,p^∨ /m_p. deux des anneaux de valuation de hauteur1, ils sont forcément égaux.

Supposant toujours que p est maximal, le fait que k^◦(p) est de hauteur 1 montre que l’idéal maximal de k^◦(p) estp

k^∨(p)(puisquek^∨(p)est non nul). Mais par construction, k^◦(p)/k^∨(p)est isomorphe à la colimite des algèbres réduitesΓ(U,O^◦)/Γ(U,O^∨) pourU ∈Flt(p). Elle est donc elle même réduite. Ceci prouve quep

Demonstration On suppose queX= Spm(A)avecAunek-algèbre affinoïde munie d’une norme résiduelle. On peut supposer que fi ∈A^◦. On note X l’éclaté deSpf(A^◦)en l’idéal(f0, . . . , fn)⊂A^◦. Dire que p∈M(D(f0|f1, . . . , fn)) revient à dire qu’il existe une factorisation du morphisme évidentA^◦ // k^◦(p):

A^◦ //

k^◦(p)

A^◦[t₁, . . . , t_n]/(f₀t₁−f₁, . . . , f₀t_n−f_n).

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Notonsfi(p)l’image de fi dansk(p). Une telle factorisation existe si et seulement sif0(p)6= 0 etfi(p)/f0(p)∈k^◦(p) pour 1 ≤i ≤n. Par le lemme 1.1.36 et l’hypothèse que pest maximal, cela revient à dire que kf0kp ≥ kfikp pour 1≤i≤n. (Remarquer que cette condition entraîne que kf0kp6= 0.) c.q.f.d.

Corollaire 1.1.38 — Soient X une k-variété rigide, U ⊂X un ouvert quasi-compact et p∈M(X) un point maximal. On suppose quep6∈M(U). Alors, il existeV ∈Flt(p)tel queU∩V =∅.

Demonstration La question est locale en U et autour de p. On peut donc supposer que X = Spm(A) est un k-affinoïde et U = D(f0|f1, . . . , fn) est un domaine rationnel associé à des générateurs f0, f1, . . . , fn de A en tant qu’idéal. Par la propostion 1.1.37, la conditionp6∈M(U)entraîne l’existence d’un1≤i0≤n tel quekf0kp<kfi₀kp. Soientλ, λ⁰∈p

|k^×| tels quekf0kp< λ < λ⁰<kfi0kp. L’ouvertV = D(λ|f0)∩D(f_i0|λ⁰)convient alors. c.q.f.d.

Proposition 1.1.39 — Pour p∈M(X) un point maximal, l’anneauOX,p^◦ est local hensélien d’idéal maximal OX,p^∨ . Sik(p)˜ désigne le corps résiduel de l’anneau de valuationk^◦(p), on a des isomorphismes naturels

˜k(p) =OX,p^◦ /OX,p^∨ 'Colim_Xk(p˜ _X) avec p_X l’image de pdansXσ pourX∈Mdl(X).

Demonstration L’anneauOX,p^◦ est local d’idéal maximalOX,p^∨ . En effet, soitf ∈OX,p^◦ −OX,p^∨ et notonsf¯sa classe dans k^◦(p). Comme f 6∈ mp, il admet un inverse f⁻¹ dans OX,p. La classe f¯⁻¹ de f⁻¹ dans k(p) est l’inverse de f¯. Étant donné quef¯∈ k^◦(p)−k^∨(p), son inverse est dans k^◦(p) (on utilise ici le lemme 1.1.36). Ceci montre que f⁻¹∈OX,p^◦ (on utilise ici que OX,p^◦ est l’image inverse dek^◦(p)⊂k(p)par le morphismeOX,p //// k(p)).

Montrons maintenant queOX,p^◦ est hensélien. SoitP ∈OX,p^◦ [T]un polynôme etf˜une racine simple de la réduction P˜ ∈ k(p)[T˜ ]. Grâce au lemme 1.1.36, la maximalité de p entraîne quek(p) = Colim˜ U∈Flt(p)Γ(U,O^◦)/Γ(U,O^∨). On peut donc supposer queP est l’image d’un polynômeQ∈Γ(U,O^◦)[T]et que la racinef˜provient d’une racineg˜deQà valeursΓ(U,O^◦)/Γ(U,O^∨). Comme(Γ(U,O^◦),Γ(U,O^∨))est un couple hensélien, du moins si l’ouvertU est affinoïde, on peut releverg˜en une racineg∈Γ(U,O^◦). L’imagef ∈OX,p^◦ deg est bien une racine deP.

Il reste à montrer la dernière assertion. On peut pour cela supposer queX est unk-affinoïde réduit. Montrons que sous cette condition, les deux morphismes évidents

Colim

X∈Mdl(X), p_X∈U⊂XΓ(U,O)/p

(π) ⁽¹⁾ // Colim

X∈Mdl(X), p_X∈U⊂XΓ(Uη,O)^◦/Γ(Uη,O)^{∨ (2)} // Colim

U∈Flt(p)Γ(U,O)^◦/Γ(U,O)^∨ sont inversibles. Pour le morphisme (2), on remarque que le foncteur qui associe à un couple (X, p_X ∈ U) l’ouvert admissible Uη ∈Flt(p)est cofinal par le théorème 1.1.30. Considérons maintenant le morphisme(1). Soit U⊂X un voisinage affine de p_X. La Γ(U,O)-algèbre Γ(Uη,O)^◦ est entière et complète pour la topologieπ-adique. Elle s’écrit donc comme une colimite filtrante de ses sous-Γ(U,O)-algèbres topologiquement de type fini et essentielles. Il vient queΓ(Uη,O)^◦'Colim_X⁰_∈Mdl(X)/XΓ(U׈_XX⁰,O)ce qui entraîne le résultat recherché.

Il est maintenant aisé de conclure. D’après la discussion précédente, on dispose d’un morphisme évident OX,p^◦ /OX,p^∨ ' Colim

X∈Mdl(X), p_X∈U⊂XΓ(U,O)/p

(π) // Colim

X∈Mdl(X)

k(p˜ _X),

qui est clairement surjectif. Or, d’après le lemme 1.1.36, le membre de gauche s’identifie à ˜k(p) qui est un corps.

Puisque le membre de droite est non nul, le morphisme ci-dessus est un isomorphisme. c.q.f.d.

On termine le paragraphe avec le résultat suivant.

Proposition 1.1.40 — Soient p ∈ P(X) et q = m(p) le point maximal tel que p ≺ q. Alors, il existe une inclusion naturelle isométriquek(p),→k(q)induisant un isomorphismeˆk(p)'k(q).ˆ

Demonstration Puisquep∈ {q}, on a l’implication(U ∈Flt(p))⇒(U ∈Flt(q)). On dispose alors d’un morphisme canoniqueOX,p // OX,qqui est contractant pour les normesk·k_petk·k_q. Ce morphisme est donc local et induit une inclusion sur les corps résiduelsk(p),→k(q). Cette inclusion est encore contractante ce qui entraîne aussitôt qu’elle est isométrique.

Il reste à montrer que k(p)est dense dans k(q). Pour ce faire, on se donne U ∈ Flt(q) et g ∈ Γ(U,O). On peut supposer queU = D(f0|f1, . . . , fn)est un domaine rationnel. D’après la proposition 1.1.37, on akf0kq ≥ kfikq pour tout1≤i≤n.

Soita∈k, avec|a|>1, et montrons queD(af0|f1, . . . , fn)∈Flt(p). En utilisant une deuxième fois la proposition 1.1.37, on trouve que q 6∈ P(D(fi|af0, f1, . . . , fn)) pour 1 ≤ i ≤ n. Étant donné que p ∈ {q}, on a également p6∈ P(D(fi|af0, f1, . . . , fn)). Or, D(af0|f1, . . . , fn) et les D(fi|af0, f1, . . . , fn), pour 1 ≤ i ≤n, recouvrent X. On a donc nécessairementp∈P(D(af0|f1, . . . , fn))comme souhaité.

Il est maintenant aisé de conclure. En effet, le morphismeO(D(af0|f1, . . . , fn)) // O(D(f0|f1, . . . , fn))est d’image dense, ce qui entraîne que la classe deg dansk(q)appartient à l’adhérence dek(p)dansk(q). c.q.f.d.