La fibre générique de Raynaud et les modèles formels

Dans ce paragraphe, on supposera que la valuation de kest non triviale et on fixe un élément non nulπ∈k^∨. Une k^◦-algèbre est dite topologiquement de type fini si elle est complète pour la topologie π-adique (i.e., A ' LimnA/πⁿA) et admet une présentationp:k^◦{T1, . . . , Tn} //// A. Si de plus, on peut choisirpde noyau un idéal de type fini,A sera dite topologiquement de présentation finie. Elle sera diteessentielle lorsque πn’est pas un diviseur de zéro dansA, i.e., le morphismeA // A[1/π]est injectif. C’est un fait non trivial (voir [BL93a, Proposition 1.1]

où « essentielle » est remplacé par « admissible ») que toutek^◦-algèbre topologiquement de type fini et essentielle est topologiquement de présentation finie. Étant donnée unek^◦-algèbre topologiquement de type finiA, on notera A^es l’image deA // A[1/π]. C’est unek^◦-algèbre essentielle (et donc topologiquement de présentation finie).

Ces notions s’étendent trivialement au cas des schémas formels. Un k^◦-schéma formelde type fini (resp.de pré-sentation finie) est un schéma formelXquasi-compact et qui est localement donné par le spectre formelSpf(A)d’une k^◦-algèbre topologiquement de type fini (resp. de présentation finie) A. On dira queXest essentiel si lesk^◦-algèbres Ale sont, i.e., s’il est plat surk^◦. On dispose d’une immersion fermée maximaleX^es,→Xtelle queX^es est essentiel.

Soit A une k-algèbre affinoïde munie d’une présentation p : k{T1, . . . , T_n} //// A. La k^◦-algèbre A^◦ = {a ∈ A;|a|_p ≤ 1} est un quotient de k^◦{T₁, . . . , T_n} (ce qui découle de [BGR84, Corollary 5.2.7/8]). C’est donc une k^◦-algèbre topologiquement de type fini. Il est clair que A^◦ est essentielle et donc topologiquement de présentation finie. On peut lui associer le k^◦-schéma formel affine Spf(A^◦). Réciproquement, étant donné un k^◦-schéma formel affine et de type finiX, la k-algèbreΓ(X,O_X)⊗k^◦k est une k-algèbre affinoïde et on peut lui associer lek-affinoïde Spm(Γ(X,O_X)⊗k^◦k)que l’on noteraXη. Il est facile de voir que siUest un ouvert Zariski deX,Uη est un domaine deXη. En recollant, on peut donc étendre cette construction pour obtenir le foncteur de passage à lafibre générique de Raynaud (voir [Ray72])

(1.6) (−)η: SchF^tf/k^◦ // VarRig/k,

qui à unk^◦-schéma formel de type finiXassocie unek-variété rigide quasi-compacte et quasi-séparéeXη. Si Xest un k^◦-schéma formel, on notera|X|l’espace topologique sous-jacent. On dispose alors d’une applicationred :Xη // |X| qui à un point x∈ Xη associe l’image du morphisme de schéma formelsSpf(k^◦(x)) // X. Lorsque Xest essentiel, cette application induit une surjection deXη sur le sous-ensemble des points fermés de|X|.

Definition 1.1.22 — Soit X une k-variété rigide (quasi-compacte et quasi-séparée). On appelle modèle de X, un k^◦-schéma formel de type fini X muni d’un isomorphisme de k-variétés rigides X 'Xη. On note Mdl(X) la catégorie des modèles de X et Mdles(X)sa sous-catégorie pleine formée des modèles essentiels.

Nous dirons qu’un modèle X⁰ ∈ Mdl(X) est plus fin que le modèle X s’il existe un morphisme X⁰ // X dans Mdl(X).

Il est clair que l’inclusion Mdles(X) ,→ Mdl(X) est cofinale. De plus, Mdles(X) est équivalente à un ensemble ordonné. On a la proposition suivante (voir [BL93a]).

Proposition 1.1.23 — SoitXun modèle essentiel d’unek-variété rigideX. Tout éclatementX⁰ // Xen un idéal ouvert et de type fini (dit éclatement admissible) est naturellement un modèle de Xqui de plus est essentiel.

Demonstration Il s’agit de montrer que le morphisme évidentX⁰η // Xηest inversible. On peut pour cela supposer queX= Spf(A^◦)est affine et queX⁰est l’éclaté d’un idéalI^◦= (f1, . . . , fn)⊂A^◦. Comme cet idéal est supposé ouvert, il contient une puissance deπ.

Rappelons que l’éclatéX⁰ est le complété formel deProj(L

r∈N(I^◦)^r). Il admet donc le recouvrement standard par les

Ui= Spf Gr⁰

M

r∈N

(I^◦)^r

!1 f_i

! //(π)

!

où l’élément « f_i » inversé est celui placé en degré 1 et Gr^r désigne le sous-A^◦-module des éléments de degré r.

(Rappelons que (−)//(π) = Lim_n∈N(−)/(πⁿ) désigne la complétion formelle le long de l’idéal engendré par π.) On dispose d’un morphisme surjectif évident

Bi=A^◦[T1, . . . ,Tˆi, . . . , Tn]/(fiT1−f1, . . . ,fi\Ti−fi, . . . , fiTn−fn) //// Ci= Gr⁰

M

r∈N

(I^◦)^r

! [1/fi]

! ,

qui associe fj/fi à Tj pour j 6= i. Notons Ji ⊂ Bi le noyau de ce morphisme. Le noyau de Bi//(π) // Ci//(π) est alors donné par Ki = Ji//(π). Supposons un instant que tout élément de Ki est annihilé par une puissance de π et expliquons comment conclure. Cette propriété entraîne que (Bi//(π))^es ' Ci//(π). Ceci montre que (Ui)η est canoniquement isomorphe à

Spm(A{T1, . . . ,Tˆi, . . . , Tn}/(fiT1−f1, . . . ,fi\Ti−fi, . . . , fiTn−fn)) = D(fi|f1, . . . ,fˆi, . . . , fn).

De plus,(Ui∩Uj)ηcorrespond à l’intersection des domaines rationnelsD(fi|f1, . . . ,fˆi, . . . , fn)etD(fj|f1, . . . ,fˆj, . . . , fn).

Étant donné que lesD(fi|f1, . . . ,fˆi, . . . , fn)recouvrentX, le résultat est maintenant clair.

Vérifions à présent que tout élément de K_i est annihilé par une puissance deπ. Remarquons d’abord qu’il en est ainsi de tout élément deJ_i. En effet, le morphismeB_i[1/π] // C_i[1/π]est un isomorphisme puisqueI^◦contient une puissance deπ. Par ailleurs, on dispose d’un carré commutatif à flèches horizontales surjectives

A^◦{T1, . . . ,Tˆi, . . . , Tn}

////Bi//(π) A{T₁, . . . ,ˆT_i, . . . , T_n} ////(B_i//(π))[1/π].

Soith=P

r∈Nar·hr un élément deKi avecar∈k^◦,hr∈Ji etLimr|ar|= 0. Nous cherchons à démontrer quehest annihilé par une puissance deπ. Ceci revient à dire que l’image dehdans(Bi//(π))[1/π]est nulle.

Pour r∈N, choisissons un polynômeH_r∈A^◦[T₁, . . . ,Tˆ_i, . . . , T_n]qui s’envoie surh_r par le morphisme évident A^◦[T₁, . . . ,Tˆ_i, . . . , T_n] //// B_i.

La sérieH =P

r∈Na_r·H_r définit un élément deA^◦{T1, . . . ,Tˆ_i, . . . , T_n}. Il suffit de montrer que l’image deH par le morphisme

A{T1, . . . ,Tˆi, . . . , Tn} //// (Bi//(π))[1/π]

est nulle. Or, le noyau de ce morphisme est un idéal fermé. Il est donc suffisant de montrer que l’image de chaque Hr est nulle dans (Bi//(π))[1/π]. Vu le carré commutatif ci-dessus, cette image coïncide avec l’image de hr par le morphisme

B_i//(π) // (B_i//(π))[1/π]

qui est bien nulle puisque l’élémenthr∈Ji est annihilé par une puissance deπ. c.q.f.d.

Remarque 1.1.24 —L’argument ci-dessus montre que tout recouvrement standard d’unk-affinoïdeX correspond par le foncteur de Raynaud au recouvrement standard affine d’un éclaté admissible d’un modèle affine de X (voir [Ray72]).

Lemme 1.1.25 — SoientX et Ydeux modèles d’une k-variété rigide quasi-compacte et séparéeX. Il existe un modèleZ qui est plus fin queXetY.

Demonstration On se donne des recouvrements affines(Ui= Spf(A^◦_i))iet(Vj = Spf(B_j^◦))j deXetY. On en déduit un recouvrement(Ui׈k^◦Vj= Spf(A^◦_i⊗ˆk^◦B_j^◦))i,j deX׈k^◦Y.

Pour tout i et j, considérons l’idéal Iij de Ai⊗ˆkBj correspondant au sous-affinoïde fermé (Ui׈k^◦Vj)η ∩∆(X) avec∆(X)la diagonale de X׈kX. (C’est ici qu’on utilise l’hypothèse que X est séparé.) On note alors I_ij^◦ l’image inverse deIij dans A^◦_i⊗ˆk^◦B_j^◦. Il est immédiat de voir que les I_ij^◦ définissent un idéal cohérent sur le schéma formel X׈k^◦Ycorrespondant à un sous-schéma formel ferméZtel que Zη'X. c.q.f.d.

On montre facilement que la construction utilisée dans la preuve du lemme précédent est indépendante du choix des recouvrements. On noteraX∧Ylek^◦-schéma formelZ. On peut penser àX∧Ycomme étant l’adhérence schématique dansX׈k^◦YdeX plongé diagonalement dansX׈kX '(X׈k^◦Y)_η.

Corollaire 1.1.26 — SoitX unek-variété rigide séparée. La catégorieMdl(X)est cofiltrante lorsqu’elle n’est pas vide.

Proposition 1.1.27 — SoitX = Spm(A)unk-affinoïde. On suppose fixée une norme résiduelle surA. SoitX un modèle deX. Il existe alors un idéal ouvert et de type fini deA^◦ dont l’éclaté dansSpf(A^◦)est un modèle plus fin queX.

Demonstration SoitUα= Spf(B_α^◦)un recouvrement Zariski deXpar desk^◦-schémas formels affines. Le recouvre-ment(Uα)_η peut se raffiner par un recouvrement rationnel standard associé àg₁, . . . , g_n ∈A^◦. NotonsY l’éclaté de Spf(A^◦)en l’idéal admissible(g1, . . . , gn)et considéronsZ=X∧Y. On voit facilement que lek^◦-schéma formelZest affine surY. On conclut alors par le lemme ci-dessous et le fait que la composition de deux éclatements admissibles

est encore un éclatement admissible. c.q.f.d.

Lemme 1.1.28 — Soit f :Y // X un morphisme affine dek^◦-schémas formels essentiels. On suppose que fη

est inversible. Alors,f est fini et il existe un idéalI ⊂O_X ouvert et de type fini dont l’éclaté est un modèle deXη

qui est plus fin queY.

Demonstration On montre d’abord que f est fini. La question étant locale, on peut supposer que X = Spf(A^◦) et Y= Spf(B^◦)avec A^◦ et B^◦ deux k^◦-algèbres topologiques essentielles. On notee : A^◦ // B^◦ le morphisme de k^◦-algèbres induit parf.

Soit une présentation p: A^◦{T1, . . . , Tn} //// B^◦. Comme A^◦ et B^◦ sont topologiquement de présentation finie, l’idéalI=p⁻¹(0)est de type fini. CommeA=A^◦[1/π]'B =B^◦[1/π], l’idéalI[1/π]est de la forme(T1−a1, . . . , Tn− a_n)avec a_i ∈A. Considérons le sous-schéma fermé Z dePⁿA^◦ = Proj(A^◦[T₀, . . . , T_n]) obtenu en prenant l’adhérence schématique de la section[1 :a₁:· · ·:a_n]définie au-dessus deA. On dispose d’une factorisation deSpf(e):

Spf(B^◦) ^w //Z//(π) // Spf(A^◦)

et plus précisément,Spf(B^◦)s’identifie viawà l’intersection deZ//(π)avec l’ouvert standardSpf(A^◦{T1, . . . , T_n})de PⁿA^◦//(π). Il suffira de montrer quew est un isomorphisme. En effet, si c’est le cas,Spf(B^◦)sera unSpf(A^◦)-schéma formel projectif et affine, donc forcément fini.

Si w était une immersion ouverte stricte, on peut trouver un point fermés de l’espace topologique sous-jacent à Z//(π)qui ne soit pas dans l’image dew. Le point sest aussi un point fermé du schémaZ. CommeZ[1/π]est dense dansZ, on peut trouver un point fermé xdeZ[1/π]tel que{x}contient s. Le pointxest alors forcément en dehors de l’image deSpm(B). Ceci est une contradiction avec le fait queYη'(Z//(π))η'Xη.

Passons à la seconde partie de l’énoncé. Soit(Ui)_i∈I un recouvrement Zariski deXet supposons queVi=Y׈_XUi

est moins fin qu’un éclatement admissible deUide centre un idéal ouvertIi⊂O_Ui de type fini. Par [EGA I⁰, 6.9.7], on peut construire des idéaux quasi-cohérentsJi ⊂O_X de type fini et ouverts tels que Ii = (Ji)_|Ui. Il suffit alors d’éclater successivement les idéauxJi pour obtenir un modèle plus fin que Y. Ceci montre que la seconde partie de l’énoncé est également locale. On peut donc supposer queX= Spf(A^◦)etY= Spf(B^◦)avecB^◦ uneA^◦-algèbre finie.

Soient b1, . . . , bn ∈B^◦ des générateurs de la A^◦-algèbre B^◦. Il existeN ∈N tel que π^Nbi est l’image d’un élément ai∈A^◦. L’idéal(a1, . . . , an, π^N)⊂A^◦est alors admissible et son éclaté est isomorphe àB^◦. Ceci achève la preuve du

lemme. c.q.f.d.

On en déduit immédiatement que tout morphisme de modèles essentiels est propre et surjectif.

Corollaire 1.1.29 — SoientX = Spm(A) unk-affinoïde etU un domaine deX. Pour tout modèleU0 deU, il existe un modèle XdeX et un ouvert Zariski U⊂Xtel queUη 'U etUplus fin queU0.

Demonstration Il suffit de traiter le cas où U = Spm(B) est un domaine rationnel. On fixe une norme résiduelle surA. On suppose queB=Ahf1|f2, . . . , f_niavecf_i ∈A^◦ engendrantA comme idéal. NotonsX1 l’éclaté deSpf(A^◦) en l’idéal(f₁, . . . , f_n)⊂A^◦. Le domaine rationnelU est la fibre générique de l’ouvert standardU1⊂X1correspondant àf₁.

Par la proposition 1.1.27, il suffit de considérer le cas où U0 est l’éclaté de Spf(B^◦) en un idéal admissible (g1, . . . , gn)⊂B^◦. Par [EGA I⁰, 6.9.7], il existe un idéal ouvert de type finiI ⊂O_X1 tel queΓ(U1,I) = (g1, . . . , gn).

Il suffit alors de prendre pourXl’éclaté deI. c.q.f.d.

Theoreme 1.1.30 — SoitX unek-variété rigide quasi-compacte et séparée.

(i) La catégorieMdl(X)est cofiltrante (en particulier non vide).

(ii) Si U ⊂ X est un ouvert quasi-compact et U0 un modèle de U, il existe un modèle X ∈ Mdl(X) et un ouvert ZariskiU⊂Xqui soit un modèle deU plus fin queU0.

Demonstration Le théorème est vrai dans le cas oùX est unk-affinoïde.

On suppose donné un recouvrement de X par deux ouverts quasi-compacts X₁ et X₂ avec X₂ = Spm(A) un k-affinoïde. On suppose que l’énoncé du théorème est vrai pourX₁. On va le déduire pourX.

Montrons d’abord que Mdl(X) est non vide. La première assertion découlera alors du corollaire 1.1.26. Notons U =X₁∩X₂. On suppose donnés un modèle X1 de X₁ ainsi qu’un ouvert Zariski U1 ⊂ X1 qui est un modèle de U ⊂X₁. On munitAd’une norme résiduelle pour laquelle U1 est naturellement unA^◦-schéma formel. (On laisse au lecteur le soin de vérifier que ceci est bien possible.)

Par le corollaire 1.1.29, il existe un éclatement admissibleX2 de centreI ⊂A^◦ et un ouvertU2 deX2 qui est un modèle deU ⊂X2plus fin queU1. Le morphismee:U2 // U1est alors l’éclatement de l’idéalI·O_U1. Par [EGA I⁰, 6.9.7], il existe un idéal ouvert de type finiJ ⊂O_X1 tel que J ·O_U1 =I·O_U1. Ainsi, quitte à remplacer X1 par l’éclaté deJ, on peut supposer queU1'U2. Le schéma formel obtenu en recollantX1etX2le long de l’isomorphisme U1'U2est un modèle deX.

On montre la seconde assertion par la même méthode. Les détails sont laissés en exercice. Le théorème s’obtient alors par une récurrence facile sur le nombre dek-affinoïdes nécessaires pour couvrirX. c.q.f.d.

Nous aurons besoin de la proposition suivante.

Proposition 1.1.31 — SoientS= Spf(A^◦)unk^◦-schéma formel etX unA^◦-schéma séparé et de présentation finie. Il existe une immersion ouverte canonique deSη = Spm(A)-variétés rigides

(1.7) (X//(π))_η // (X[1/π])^an

qui est un isomorphisme si et seulement si toute composante irréductible de X qui est plate sur k^◦ est propre sur Spec(A^◦).

Demonstration L’hypothèse de séparation est probablement superflue. On construit d’abord l’immersion ouverte (1.7). Lorsque X est affine, cette flèche correspond au morphisme évident Γ(X,O)[1/π] // Γ(X//(π),O)[1/π]. On utilise ici la définition de(X[1/π])^ancomme représentant du foncteurh_an(X[1/π])(voir le lemme 1.1.19). Pour le cas général, on se donne un recouvrement(X_i)_i deX par des ouverts affines. Les flèches (X_i//(π))_η // (X_i[1/π])^an se recollent suivant((X_i∩X_j)//(π))_η // ((X_i∩X_j)[1/π])^anmodulo les identifications((X_i∩X_j)//(π))_η'(X_i//(π))_η∩ (X_j//(π))_η et((X_i∩X_j)[1/π])^an'(X_i[1/π])^an∩(X_j[1/π])^an.

Le fait que (1.7) est une immersion ouverte se vérifie localement. Il suffit alors de traiter le cas de X =A¹A^◦ qui est trivial. Il reste à montrer le critère d’isomorphisme pour (1.7).

Supposons d’abord que les composantes plates de X sont propres sur Spec(A^◦). Comme (1.7) est une immersion ouverte, il suffira de montrer qu’elle est surjective sur les points fermés. Soient l est une extension finie de k, et x: Spm(l)→(X[1/π])^anun point fermé. Ce point provient d’un morphisme deA-schémasx: Spec(l)→(X[1/π]). La composition deSpec(l) // X // Spec(A^◦)s’étend d’une manière unique en un morphismeSpec(l^◦) // Spec(A^◦).

Par le critère valuatif de propreté appliqué à la composante irréductible de X contenant x, le point x s’étend en x^◦ : Spec(l^◦)→ X. On en déduit un morphisme de schémas formels Spf(l^◦) // X//(π) qui par passage à la fibre générique nous donne un point x⁰ : Spm(l) →(X//(π))η. Le lecteur vérifiera facilement que x⁰ est envoyé sur x par (1.7). D’où le résultat.

Réciproquement, supposons que (1.7) soit inversible. On va prouver que les composantes k^◦-plates de X sont propres surSpec(A^◦). Par [Nag62], on peut trouver une compactificationj:X // X¯ avecX dense dansX¯ qui est propre surSpec(A^◦). NotonsZ = ¯X−X. Il suffit de montrer qu’aucun point fermé de Z n’est dans l’adhérence des composantes plates deX. Supposons le contraire. Soit un point ferméx₀ dans( ¯X−X)/k^∨ qui est dans l’adhérence d’une composante plate de X. Il existe donc un morphisme x^◦ : Spec(l^◦) // X¯ avecl une extension finie de k tel que :

— la fibre génériquex: Spec(l) // X¯ est contenue dansX,

— la fibre spécialeSpec(˜l),→Spec(l^◦) // X¯ coïncide avecx0. En particulier, elle n’est pas contenue dansX. Le pointxfournit alors un point fermé de (X[1/π])^an qui n’est pas dans l’image de (1.7). Ceci contredit l’hypothèse

que (1.7) est un isomorphisme. c.q.f.d.