Groupe de Picard relatif et correspondances finies à homotopie près

Soit B un k-affinoïde. Dans la suite, l’expression « B-schéma » sera synonyme de «Spec(Γ(B,O))-schéma ». Si X est un B-schéma et si B⁰ // B est un morphisme de k-affinoïdes, on note X ×B B⁰ le B⁰-schéma donné par X×_{Spec(Γ(B,O))}Spec(Γ(B⁰,O)). Nous aurons besoin d’introduire la propriété suivante.

Definition 2.3.1 — SoientB unk-affinoïde etX unB-schéma de type fini. SoitU ⊂X^an un ouvert affinoïde.

On dit que U est un ouvert presque rationnel s’il existe un ouvert Zariski affine X0 ⊂X tel que X₀^an contient U et Γ(X0,O) // Γ(U,O)est d’image dense.

Le lemme suivant fournit quelques propriétés de permanence des domaines presque rationnels.

Lemme 2.3.2 — Soient B un k-affinoïde, X un B-schéma de type fini (séparé) et U, U⁰ ⊂ X^an deux ouverts affinoïdes presque rationnels. AlorsU∩U⁰ est également presque rationnel. De même, siB⁰ // B est un morphisme dek-affinoïdes,U׈BB⁰ est un ouvert presque rationnel de(X×BB⁰)^an=X^an׈BB⁰.

Demonstration SiX0, X₀⁰ ⊂X sont des ouverts Zariski vérifiant les propriétés requises pourU etU⁰, alorsX0∩X₀⁰ vérifie les propriétés requises pourU∩U⁰. La seconde assertion est tout aussi facile. c.q.f.d.

Étant donné un schéma noethérien S, on appelle S-courbe un S-schéma plat dont les fibres sont des schémas partout de dimension 1. De même, étant donnée une k-variété rigide B, on appelle B-courbe rigide une B-variété rigide plate dont les fibres sont partout de dimension1.

Definition 2.3.3 — Soient B un k-affinoïde lisse et X une B-courbe affinoïde lisse (surB). Une immersion ouvertej:X // X¯^an avec X¯ unB-schéma projectif et réduit est une bonne compactificationdeX si l’image dej est dense pour la topologie de Zariski (i.e., il n’existe pas de sous-schémas fermés stricts deX¯ dont l’analytifié contient l’image dej) et s’il existe un ouvert affinoïde presque rationnelU deX¯^an tel queX¯^an=j(X)∪U. On dira aussi, par abus de langage, queX¯ est une bonne compactification deX.

On pensera à l’ouvertU de la définition précédente comme étant un voisinage affinoïde deX¯^an−j(X)(munie de sa structure de sous-variété rigide ouverte deX¯^an). On a le lemme suivant.

Lemme 2.3.4 —SoientB unk-affinoïde lisse,X une B-courbe lisse et X¯ une bonne compactification deX. 1- Soit b ∈ B un point fermé. Alors X¯b est partout de dimension 1 et Ub ⊂X¯_b^an est dense pour la topologie de Zariski.

2- Supposons donné un morphisme de k-affinoïdes B⁰ // B avec B⁰ lisse sur k. Alors, le B⁰-schéma projectif X¯⁰ = ( ¯X×BB⁰)red est une bonne compactification de laB⁰-courbe lisseX⁰=X׈BB⁰.

Demonstration La variété rigideX¯_b^anest recouverte par deux ouverts affinoïdes X_b et U_b. SoitP une composante irréductible deX¯_b. CommeX est Zariski dense dansX¯^an, leB-schémaX¯ est génériquement une courbe. Par la semi-continuité de la dimension des fibres (et plus précisément [EGA IV.3, Lemme 13.1.1]),P est de dimension supérieure ou égale à1. Il s’ensuit queP^an∩Xb6=∅. (En effet, dans le cas contraire, on auraitP^an⊂Ub ce qui entraînerait que P^an est un k(b)-affinoïde. Or, ceci est impossible puisque P est projectif de dimension non nulle.) De plus, comme Xb∩P^an est un ouvert affinoïde non vide deP^an, il s’ensuit que Xb∩P^an est Zariski dense dansP qui est alors de dimension1. Ceci démontre la première partie du lemme.

La seconde partie du lemme est maintenant claire. En effet,X⁰⊂X¯^0anest Zariski dense, puisqu’il est Zariski dense dans les fibres. Soit U un voisinage affinoïde presque rationnel de X¯^an−X. Alors U⁰ =U׈BB⁰ est un voisinage affinoïde deX¯^0an−X⁰. Il est aussi presque rationnel par la deuxième assertion du lemme 2.3.2. c.q.f.d.

Definition 2.3.5 — SoientBunk-affinoïde lisse,XuneB-courbe affinoïde lisse etX¯ une bonne compactification de X. On définit un groupoïde PICX¯(X) de la manière suivante. Les objets de PICX¯(X) sont les triplets (L, U, t) avec L un OX^¯-module inversible,U ⊂X¯^anun voisinage affinoïde presque rationnel de X¯^an−X ett:OU

∼ // L|U

une trivialisation. Une flèche (L, U, t) // (L⁰, U⁰, t⁰) est un isomorphisme L ^∼ // L⁰ tel que, pour un voisinage presque rationnel suffisamment petitU⁰⁰ deX¯^an−X contenu dansU ∩U⁰, le carré de modules cohérents

OU⁰⁰ t_|U00

∼ //L|U⁰⁰

∼

OU⁰⁰

t⁰_|U00

∼ //L_|U^{0 00}

commute. La catégorie PICX¯(X)est naturellement une catégorie monoïdale symmétrique et unitaire pour le produit tensoriel

(2.46) (L, U, t)⊗(L⁰, U⁰, t⁰) = (L ⊗L⁰, U∩U⁰, t_|U∩U⁰⊗t⁰_|U∩U0).

Le triplet(OX^¯, U,id), avec U n’importe quel voisinage affinoïde presque rationnel deX¯^an−X, est un objet unité pour ce produit tensoriel. On appelleraPICX¯(X)le groupoïde de Picard relatif(àX¯) deX.

Definition 2.3.6 — Gardons les hypothèses de la définition précédente. On appelle PicX¯(X) l’ensemble des composantes connexes (ou encore des classes d’isomorphismes) du groupoïde PICX¯(X). Le produit tensoriel (2.46) définit une structure de groupe commutatif surPicX¯(X). Le groupe ainsi obtenu est appelé le groupe de Picard relatif (àX) de¯ X.

Nous aurons besoin de dégager quelques propriétés de fonctorialité des groupes de Picard relatifs.

Supposons donné un morphisme dek-affinoïdese:B⁰ // BavecB⁰lisse. LaB⁰-courbe lisseX⁰=X׈BB⁰admet une bonne compactification donnée parX¯⁰ = ( ¯X×BB⁰)red. On définit un foncteure^∗: PICX¯(X) // PICX¯⁰(X⁰)en associant à(L, U, t)le triplet

(L⁰=L ⊗_OX¯ OX^¯0, U⁰= (U׈BB⁰)red, t⁰=t_|U⁰).

Ce foncteur est monoïdal symmétrique et unitaire. Il induit donc un morphisme de groupes abéliens e^∗: PicX¯(X) // PicX¯⁰(X⁰).

On vérifie immédiatement que l’associationB⁰ PicX¯⁰(X⁰)définit un foncteur contravariant (i.e., un préfaisceau) sur la catégorie desB-affinoïdes lisses surk.

D’autre part, soitY ⊂X¯^anun ouvert affinoïde lisse surBet contenantX. On notej:X ,→Y l’inclusion évidente.

Alors, Y est aussi une B-courbe affinoïde lisse et X¯ est une bonne compactification de Y. Tout objet (L, U, t) de PICX¯(X)est aussi un objet dePICX¯(Y). On déduit alors un morphisme évident

j∗: PicX¯(X) // PicX¯(Y).

Remarquons enfin, que pourB⁰ comme ci-dessus, on a un diagramme commutatif PicX¯(X) ^j∗ //

e^∗

PicX¯(Y)

e^∗

PicX¯⁰(X⁰) ^j

0

∗ //PicX¯⁰(Y⁰)

avecY⁰=Y׈BB⁰ etj⁰ le changement de base de jsuivante.

Definition 2.3.7 — SoientBunk-affinoïde lisse,XuneB-courbe affinoïde lisse etX¯ une bonne compactification deX. On définit le groupe Pic^BX¯¹(X)comme étant le coégalisateur de la double flèche

PicXׯ BB¹B(X׈BB¹B)

s^∗₁

//

s^∗₀

// Pic¯X(X),

avec s0 ets1 les sections nulle et unité de B¹B. Le groupePic^BX¯¹(X)est le groupe de Picard relatif renduB¹-invariant deX.

SoitY ⊂X¯^anun ouvert affinoïde lisse surB et contenantX, et notonsj :X ,→Y l’inclusion évidente. Il est clair que le morphismej_∗ sur les groupes de Picard relatifs induit un morphisme

j_∗: Pic^BX¯¹(X) // Pic^BX¯¹(Y)

sur les groupes de Picard relatifs rendusB¹-invariants. L’étape suivante consiste à établir un lien entre les groupes de Picard relatifs et les groupes de correspondances finies. On a la proposition suivante.

Proposition 2.3.8 — SoientB un k-affinoïde lisse, X uneB-courbe affinoïde lisse etX¯ une bonne compacti-fication deX. Il existe un unique morphisme de groupes abéliens

(2.47) c`:Cor_B(B, X) // PicX¯(X)

tel que, pour Z ⊂ X =B׈BX une correspondance finie élémentaire (i.e., un sous-affinoïde intègre, fermé, fini et surjectif sur une composante connexe deB),c`([Z])est la classe de (I, U, t)où :

1. U est un voisinage affinoïde presque rationnel de X¯^an−X ne rencontrant pasZ,

2. I ⊂OX^¯ est un idéal inversible vérifiantI|X=I(Z)(avecI(Z)l’idéal de définition deZ) etI|U =OU, 3. t est l’inverse de l’identificationI|U =OU (induite par l’inclusion de l’idéalI dansOX^¯).

Demonstration L’unicité de c` est claire. En effet, si (I⁰, U⁰, t⁰) est un autre triplet vérifiant les conditions de l’énoncé, alors I =I⁰ puisque ces deux idéaux coïncident sur les ouverts affinoïdesX et U ∩U⁰ qui forment un recouvrement admissible deX¯^an. De plus, les trivialisationst ett⁰ sont clairement égales surU∩U⁰.

Montrons l’existence d’un tel morphisme. Étant donné que CorB(B, X) est librement engendré par les corres-pondances finies élémentaires Z ⊂ X, il suffit de montrer l’existence d’un triplet (I, U, t) vérifiant les conditions de l’énoncé. Comme Z est fini sur B, c’est l’analytifié du B-schéma fini Z^alg = Spec(Γ(Z,O)). Il s’ensuit que la composition de

Z // X ^j // X¯^an

est l’analytifiée d’un unique morphisme deB-schémasZ^alg // X¯ (voir la proposition 1.1.21) ; ce morphisme est une immersion fermée. On identifiera alorsZ^alg à un sous-schéma fermé deX¯. NotonsI(Z^alg)⊂OX^¯ l’idéal de définition deZ^alg. Étant donné queZ^algest de codimension1et contenu dans le lieu régulier deX, on déduit que¯ I(Z^alg)⊂OX^¯

est un idéal inversible. On a clairement,I(Z^alg)_|X =I(Z). Pour terminer, il reste à construire un voisinage affinoïde presque rationnelU de X¯^an−X ne rencontrant pas Z. En effet, on prendra alors (I(Z^alg), U,1) avec 1 la section unité deΓ(U,I(Z^alg)) = Γ(U,O). On construira l’ouvertU dans la proposition ci-dessous. c.q.f.d.

Proposition 2.3.9 — SoientB un k-affinoïde lisse, X uneB-courbe affinoïde lisse etX¯ une bonne compacti-fication deX. Soit Z⊂X =B׈BX une correspondance finie élémentaire de B dansX. Il existe alors un voisinage affinoïde presque rationnel U deX¯^an−X tel queU∩Z =∅.

Demonstration SoitV n’importe quel voisinage affinoïde presque rationnel deX¯^an−X; il en existe puisqueX¯ est une bonne compactification deX. NotonsA = Γ(V,O)et I ⊂A l’idéal de définition du fermé V ∩Z. L’idéalI est inversible carV∩Zest contenu dans le lieu lisse deV. Considérons laA-algèbre de type finiF =S

r∈NI^−r⊂Frac(A).

(Précisons queFrac(−)désigne la localisation d’un anneau par rapport à l’ensemble de ses éléments réguliers.) Il est clair queSpec(F) = Spec(A)−Spec(A/I)est un ouvert affine deSpec(A). De plus,Spec(F)^an=V−(V∩Z)contient

(Ci-dessus, la norme infinie est relativement àV.) On note Fαle complétion de F par rapport à la norme |·|α. Il est clair queFα est une k-algèbre affinoïde ; elle admet une présentationA{α⁻¹t1, . . . , α⁻¹tn} //// Fα qui envoieti sur ai. De plus, la norme|·|α sur Fα est simplement la norme résiduelle déduite de cette présentation (lorsqu’on munit A{α⁻¹t1, . . . , α⁻¹tn}de la norme de Gauss déduite de la norme infinie surA).

Étant donné queSpec(F)^an∩Z=∅, on a aussiSpm(F_α)∩Z =∅. Pour terminer, il reste à vérifier les deux points suivants.

1. Lek-affinoïdeSpm(F_α)est un domaine presque rationnel deX¯^an.

2. Pourαsuffisament grand,Spm(F_α)est un voisinage deX¯^an−X =V −(V ∩X).

Pour voir queSpm(F_α)est un domaine presque rationnel, on choisitY ⊂X¯ un ouvert Zariski affine tel queV ⊂Y^an et Γ(Y,O)dense dans Γ(V,O). Avec les notations de la preuve de la proposition 2.3.8, l’idéal J = Γ(Y,I(Z^alg))est inversible et JΓ(V,O) = I. On pose X0 = Spec(S∞

r=0J^−r); c’est un ouvert affine de Y dont l’analytifié contient Spm(Fα). De plus, il est clair queS∞

r=0J^−r est dense dansS∞

r=0I^−r qui, à son tour, est dense dansFα.

Pour vérifier la deuxième propriété, à savoir que Spm(Fα) contient V −(V ∩X) pour α suffisamment grand, on peut raisonner localement sur V. Autrement dit, il suffit de montrer que Spm(Fα)∩W contient W −(W ∩X) (pourαsuffisamment grand) pour des ouverts affinoïdesW ⊂V formant un recouvrement admissible deV. On peut supposer que l’idéal I est principal au-dessus de l’ouvert W. On dispose donc d’un générateur c ∈ I⁻¹Γ(W,O) de l’idéal fractionnaireI⁻¹Γ(W,O). Soientbi∈Γ(W,O)les éléments tels queai=bic. LesbiengendrentΓ(W,O)comme (2.48) avec la seule différence que le minimum est pris sur sur toutes les représentations de xcomme polynôme en (a₁, . . . , a_n)à coefficients dansA⁰ (au lieu deA). Par construction, la complétionF_α⁰ deF⁰par rapport à la norme|·|_α

Il s’ensuit aussitôt que le minimum dans (2.48) est atteint sur le sous-ensemble des représentations de x comme polynôme ena1à coefficients dansA⁰. Autrement dit, on a

|x|_α= min

Rappelons que nous devons montrer queSpm(Fα)∩W contientW−(W∩X)pourαsuffisamment grand. D’après le calcul précédent, ceci équivaut à dire queD_W(f|α⁻¹)contientW−(W∩X). Vu queW = D_W(f|α⁻¹)∪D_W(α⁻¹|f), il est donc suffisant de montrer queD_W(α⁻¹|f)⊂W∩X pour αsuffisamment grand. Or, on aW/(f)⊂W∩X car W/(f) =W ∩Z et Z⊂X. On peut maintenant appliquer le lemme 2.3.10 ci-dessous pour conclure. c.q.f.d.

Lemme 2.3.10 — Soient X = Spm(A) un k-affinoïde, a ∈A et U ⊂Spm(A) un ouvert admissible contenant Z= Spm(A/(a)). Alors, pour∈ |k^×| suffisamment petit, on aDX(|a)⊂U.

Demonstration La question est locale surX dans le sens que, si(Xα)α∈I est un recouvrement admissible deX par des ouverts affinoïdes (avecIun ensemble fini), il suffit de démontrer le lemme pour lesUα=U∩XαetZα=Z∩Xα. En effet, si on trouve des_α∈ |k^×|tels queD_Xα(_α|a)⊂U_α, alors= min_α∈I(_α)convient pourX. Ce principe sera utilisé à plusieurs reprises dans la preuve.

Puisque Z est quasi-compact (car affinoïde), on ne restreint pas la généralité en supposant que l’ouvert U est quasi-compact. On peut alors écrireU comme une réunion finie de domaines rationnels deX

(2.49) U = deiest clair : en effet, on ne change par un domaine rationnel en répétant l’un des générateurs utilisés pour le définir.) On raisonnera par récurrence sur l’entiern. Il n’y a rien à démontrer lorsque n= 0car, dans ce cas,U =Z=∅. On peut donc supposer quen≥1. On divise l’argument en deux étapes.

Étape 1 :Le but de cette étape est de se ramener au cas où les domaines rationnels qui apparaissent dans (2.49) ont une forme très simple. Plus précisément, on se ramènera au cas oùm= 1et f₀⁽ⁱ⁾= 1pour tout1≤i≤n.

Soit η ∈ |k^×| tel que 0 < η < min_x∈X(max_0≤j≤m|f_j⁽¹⁾(x)|) et considérons le recouvrement admissible X = DX(η|f₀⁽¹⁾)∪DX(f₀⁽¹⁾|η). On a clairement DX(η|f₀⁽¹⁾)∩DX(f₀⁽¹⁾|f₁⁽¹⁾, . . . , fm⁽¹⁾) =∅. Il vient que DX(η|f₀⁽¹⁾)∩U est une réunion den−1 domaines rationnels. Grâce à l’hypothèse de récurrence il suffit de traiter le cas de DX(f₀⁽¹⁾|η).

Ainsi, en remplaçant X parDX(f₀⁽¹⁾|η), on peut supposer que f₀⁽¹⁾ est inversible. Le même raisonnement permet de supposer que tous lesf₀⁽ⁱ⁾sont inversibles. Posonsg_j⁽ⁱ⁾=f_j⁽ⁱ⁾/f₀⁽ⁱ⁾. On a alors

En effet, soitxun point fermé deX qui n’est pas dans l’ouvert à droite dans (2.50). Ceci revient à dire que pour tout 1≤i≤n, il existe un entier 1≤ei ≤m tel quex6∈DX(1|ge⁽ⁱ⁾i). On considère alors l’applicationτ0: [[1, n]]→[[1, m]]

donnée parτ0(i) =ei. Par construction,xn’est pas dansSn

i=1DX(1|g⁽ⁱ⁾_τ

0(i)). Il n’est donc pas non plus dans l’ouvert à gauche dans (2.50). Réciproquement, soit xun point fermé deX qui n’est pas dans l’ouvert à gauche dans (2.50).

Il existe donc une application τ1 : [[1, n]]→ [[1, m]]telle que x6∈ DX(1|g_τ⁽ⁱ⁾

Pour démontrer le lemme, il est clairement suffisant de traiter séparément chacun des ouvertsUτ =Sn

i=1DX(1|g_τ(i)⁽ⁱ⁾ ).

Considérons à présent le recouvrement admissible(DX(hi|h1, . . . , hn))1≤i≤n deX. Étant donné que DX(hi|h1, . . . , hn)∩U ={x∈X; |hi(x)|= 1}= DX(hi|1),

on se ramène à supposer queU = D_X(h|1)avec h∈A^◦ inversible dans A. (En particulier, on s’est ramené à un cas particulier du casn= 1de la récurrence.)

Notons¯hla classe dehdansA/(a). PuisqueZ⊂U, on a|¯h(z)|= 1pour toutz∈Z. Il s’ensuit queh¯⁻¹∈(A/(a))^◦. On peut supposer que a ∈ A^◦ quitte à remplacer X parDX(1|a). Le morphisme évident A^◦/(a) // (A/(a))^◦ est alors entier (comme il découle facilement du lemme 1.1.28). En particulier,¯h⁻¹ ∈ (A/(a))^◦ satisfait à une équation polynomiale à coefficients dansA^◦/(a). Il existe donc un polynôme unitaireP¯ ∈A^◦/(a)[T]tel queP¯(¯h⁻¹) = 0. Soit P ∈ A^◦[T] un polynôme unitaire qui relève P¯. Il s’ensuit que P(h⁻¹) = al avec l ∈ A. Quitte à remplacer X par D_X(|a) avec 0 < <|l|⁻¹_∞, on peut supposer que |al|∞ ≤1. Il s’ensuit que P(h⁻¹)∈ A^◦. Étant donné que A^◦ est normal dansA, on déduit queh⁻¹∈A^◦. Dans ce cas,X =U et la conclusion du lemme est claire. c.q.f.d.

On a la propriété suivante de naturalité du morphismec`défini dans la proposition 2.3.8.

Lemme 2.3.11 — Soite:B⁰ // B un morphisme de k-affinoïdes lisses surk. On noteX⁰ =X׈BB⁰ munie de sa bonne compactificationX¯⁰= ( ¯X×BB⁰)red. Le diagramme

CorB(B, X) ^c` //

−◦e

PicX¯(X)

e^∗

CorB(B⁰, X) CorB⁰(B⁰, X⁰) ^c` //PicX¯⁰(X⁰) est commutatif.

Demonstration SoitZ ⊂X =B׈BX une correspondance finie élémentaire et montrons que les images de[Z]par les deux compositions possibles dans le carré ci-dessus coïncident. Soit(I, U, t)un triplet associé à[Z]comme dans l’énoncé de la proposition 2.3.8. Alors, l’image de[Z] par la composition de

CorB(B, X) ^c` // PicX¯(X) // PicX¯⁰(X⁰)

est la classe d’isomorphisme de (I⁰, U⁰, t⁰) avecI⁰ =I ⊗_OX¯ OX^¯0, U⁰ = (U׈BB⁰)_redet t⁰ la trivialisation évidente donnée par l’inverse de l’égalitéI_|U^{0 0} =OU⁰. Remarquons aussi queI⁰ est naturellement un idéal inversible deOX⁰. En effet, le morphisme évident

I ⊗_OX¯ OX^¯0 // OX^¯0

est non nul au-dessus d’un ouvert dense de X¯⁰ car Z^alg est partout de codimension non nulle dans les fibres du B-schémaX¯ (oùZ^alg = Spec(Γ(Z,O))est l’unique sous-schéma fermé de X¯ tel que(Z^alg)^an=Z; voir la preuve de la proposition 2.3.8). Le morphisme ci-dessus est donc injectif.

Par ailleurs, l’image de[Z] par le morphismeCorB(B, X) // CorB(B⁰, X)est donnée par la formule de Serre.

Notons(Z_α⁰)_α∈I la famille des composantes irréductibles (munies de leurs structures dek-affinoïdes intègres) deZ⁰ = Z׈BB⁰ (qui n’est pas nécessairement réduit). On pose A= Γ(B,O),A⁰ = Γ(B⁰,O),E = Γ(Z,O)et E⁰ = Γ(Z⁰,O).

(Remarquons que E⁰ = A⁰⊗AE =A⁰⊗ˆAE.) On note pα ⊂ E⁰ l’idéal premier minimal qui définit Z_α⁰. D’après la proposition 2.2.14, on a :

(2.51) [Z]◦e=X

α∈I

∞

X

i=0

(−1)ⁱlg_E0

pαTor^A_i (A⁰, E)⊗E⁰E_p⁰_α

! [Z_α⁰].

Notons C = Γ(X,O) et J = Γ(X,I)⊂C l’idéal de définition du sous-k-affinoïde fermé Z ⊂X. De même, notons C⁰= Γ(X⁰,O)etJ⁰= Γ(X⁰,I⁰)'J C⁰l’idéal de définition du sous-k-affinoïde ferméZ⁰ ⊂X⁰. En appliquantA⁰⊗A− à la suite exacte courte

0 // J // C // E // 0, on obtient une suite exacte longue

· · · // Tor^A₁(A⁰, E) // J⁰ // C⁰ // E⁰ // 0.

Étant donné que J et C sont des A-modules plats (car X = Spm(C) est lisse sur B = Spm(A) et J est un idéal inversible de C), on a Tor^A_i (A⁰, J) = Tor^A_i (A⁰, C) = 0 pour i > 0. On en déduit que Tor^A_i(A⁰, E) = 0 pour i > 0

(lorsquei= 1, on utilise le fait que le morphismeJ⁰=A⁰⊗AJ // C⁰=A⁰⊗ACest injectif). La formule (2.51) se la trivialisation t⁰_α est alors l’inverse de cette égalité. Pour conclure, il suffit donc de montrer qu’on a l’égalité des idéaux inversibles

On peut vérifier cette égalité après restriction àX⁰ puisque tous les idéaux ci-dessus sont à cosupport dansX⁰. Cette égalité se déduit alors de la décomposition J⁰ = T

α(J_α⁰)^µα de idéal divisoriel J⁰ en produit d’idéaux premiers de

Le théorème suivant est le résultat principal de ce paragraphe.

Theoreme 2.3.12 — SoientB un k-affinoïde lisse, X une B-courbe affinoïde lisse etX¯ une bonne compactifi-cation deX. L’homomorphismec`:π0CorB(B, X) // Pic^BX¯¹(X)est un isomorphisme. munissonsΓ(U,L)de la norme résiduellek.k déduite de la norme infinie surΓ(U,O)via la présentation

(g1, . . . , gn) : Γ(U,O)^⊕n //// Γ(U,L).

Pour voir que k.k est une norme (et pas seulement une semi-norme), considérons h ∈ Γ(U,L)− {0} et fixons un point ferméx∈U avec h(x)6= 0. On poseη = maxi=1,...,n|gi(x)/h(x)|. (PuisqueL est localement libre de rang 1,

Le morphismeΓ(V,L) // Γ(U,L)est d’image dense (relativement à la normek.k). La trivialisationtcorrespond à un générateurt ∈ Γ(U,L)de L|U. On pose m = maxi=1,...,n|gi/t|∞, oùgi/t est l’unique élément de Γ(U,O) tel

quegi = (gi/t)t. Soit s∈Γ(V,L)tel quekt−sk< m⁻¹. Alorssest un générateur deL|U. En effet, on peut écrire montrant bien ques/test un élément inversible de Γ(U,O).

Notons V₀ ⊂ V le plus grand ouvert Zariski au-dessus duquel s est inversible. Comme L|V est un OV-module inversible, V₀ est encore affine. La discussion précédente montre que V₀^an contient U. On définit une correspondance finieCycl(s)de la manière suivante. Soit(Zi)_i∈Ila famille des composantes irréductibles duB-schémaX¯−V0. Puisque X¯ est unB-schéma propre, il en est de même desB-schémasZi. Par ailleurs, les fermésZ_i^an⊂X¯^ansont contenus dans l’ouvert affinoïdeX, ce qui entraîne que lesB-schémasZi sont aussi affines. Ce sont donc desB-schémas finis. Enfin, la dimension de chaqueZi est égale à celle de la composante connexe deB au-dessus de laquelle il se trouve. (En effet, Spec(Γ(X,O))est un schéma affine régulier et les Zi s’identifient aux composantes irréductibles du complémentaire de l’ouvert affine Spec(Γ(X,O))×X¯ V0. Or, il est bien connu que le complémentaire d’un ouvert affine dense dans un schéma affine régulier est partout de codimension1. L’assertion recherchée découle maintenant du fait queX est une B-courbe affinoïde.) Il s’ensuit que les schémasZi, qui sont intègres et finis sur B, sont aussi surjectifs sur une composante connexe deB. Ils déterminent donc des correspondances finies élémentaires dans X =B׈BX. On pose maintenant

iss’étend en un générateur de L au voisinage du point générique de Zi.

Étape 2 :On garde les notations de l’étape précédente. Vérifions maintenant que la classe deCycl(s)dansπ₀Cor_B(B, X) ne dépend pas du choix de l’approximations∈Γ(V,L)de la trivialisation t∈Γ(U,L). En effet, soit s⁰ ∈Γ(V,L)

Cette correspondance finie fournit une homotopie deCycl(s)à Cycl(s⁰). En effet, d’après la preuve du lemme 2.3.11, la formule de Serre pour les « pull-back » des correspondances finies de Cor_B¹

B(B¹B, X׈BB¹B) suivant les sections nulle et unités0, s1:B¹B // B ne fait intervenir que les multiplicités géométriques (i.e., les longueurs des anneaux locaux aux points génériques des composantes irréductibles du « pull-back » schématique). Le résultat découle alors immédiatement de la définition des correspondances finies Cycl(−) en terme des pôles et des zéros de sections de modules inversibles.

L’indépendance de Cycl(s)∈ π0CorB(B, X) du choix de V et du système de générateurs (g1, . . . , gn) est claire.

(En effet, un autre système de générateurs induira une norme équivalente surΓ(U,L).) On a donc associé à un objet (L, U, t)dePICX¯(X)une classe canonique dansπ0CorB(B, X)que l’on noteraCycl(L, U, t). Cette classe ne dépend que de la classe d’isomorphisme de l’objet(L, U, t). On a de plus la relation

(2.53) Cycl((L, U, t)⊗(L⁰, U⁰, t⁰)) = Cycl((L ⊗L⁰, U∩U⁰, t_U∩U⁰⊗t⁰_U∩U0) = Cycl(L, U, t) + Cycl(L⁰, U⁰, t⁰).

En effet, on peut supposer que U = U⁰. Gardons les notations de la construction de Cycl(L, U, t) = Cycl(s) et choisissons un système de générateurs (g⁰₁, . . . , g⁰_n0) ∈ Γ(V,L⁰)ⁿ⁰. Notons k.k⁰ (resp. k.k⁰⁰) la norme résiduelle sur Γ(U,L⁰)(resp.Γ(U,L ⊗L⁰)) déduite du système de générateurs(g⁰_i0)_1≤i⁰_≤n⁰ (resp.(g_i⊗g_i⁰0)_{1≤i≤n,1≤i}⁰_≤n⁰). Posons m⁰= max_i⁰_=1,...,n⁰|g⁰_i0/t|_∞etm⁰⁰= max_i=1,...,n;i⁰_=1,...,n⁰|(g_i/t)(g⁰_i0/t⁰)|_∞. On noteM = max(ktk,kt⁰k⁰). On choisit des sectionssets⁰ dansΓ(V,L)et Γ(V,L⁰)telles quemax(kt−sk,kt⁰−s⁰k⁰)<min(m⁻¹, m⁰⁻¹, M⁻¹m⁰⁰⁻¹). Alors

kt⊗t⁰−s⊗s⁰k⁰⁰=k(t−s)⊗t⁰+s⊗(t⁰−s⁰)k⁰⁰≤max(kt−sk · kt⁰k⁰,ksk · kt⁰−s⁰k⁰)< m⁰⁰⁻¹.

On peut donc approximert⊗t⁰ pars⊗s⁰. Or, on a clairement la relation Cycl(s⊗s⁰) = Cycl(s) + Cycl(s⁰). D’où l’égalité (2.53). Ceci montre queCyclinduit un homomorphisme de groupes abéliens

(2.54) Cycl : PicX¯(X) // π₀Cor_B(B, X).

Étape 3 :Le morphisme (2.54) est un morphisme de préfaisceaux sur lesB-affinoïdes lisses surk. Plus précisément, si e:B⁰ // B est un morphisme de k-affinoïdes avecB⁰ lisse surk, on a un diagramme commutatif

PicX¯(X) //

e^∗

π0CorB(B, X)

−◦e

PicX¯⁰(X⁰) //π0CorB⁰(B⁰, X⁰) π0CorB(B⁰, X⁰)

(où l’on a utilisé les notations du lemme 2.3.11). En effet, soient (L, U, t) un objet de PICX¯(X) et V ⊂ X¯ un ouvert Zariski tel que U ⊂ V^an et Γ(V,O) ⊂ Γ(U,O) est dense. On a Cycl(L, U, t) = Cycl(s) avec s ∈ Γ(V,L) une approximation suffisamment bonne det ∈ Γ(U,L)relativement à la norme résiduelle sur Γ(U,L) induite par un système de générateurs(g1, . . . , gn)avecgi ∈Γ(V,L)(voir la première étape). Notons U⁰ = (U׈BB⁰)red,V⁰ = (V×BB⁰)redetL⁰=L⊗_OX¯OX^¯0, le « pull-back » deL àX¯⁰. Le morphismeΓ(U,L) // Γ(U⁰,L⁰)est contractant si l’on munitΓ(U⁰,L⁰)de la norme résiduelle induite par le système de générateurs(g⁰₁, . . . , g⁰_n)avecg⁰_i l’image degi

dansΓ(V⁰,L⁰). On peut donc supposer queCycl(L⁰, U⁰, t⁰) = Cycl(s⁰)oùs⁰est l’image desdansΓ(V⁰,L⁰). Il s’agit alors de montrer l’égalitéCycl(s)◦e= Cycl(s⁰)entre cycles surX¯⁰.

On a vu au cours de la preuve du lemme 2.3.11 que la formule de Serre pour les « pull-back » des correspon-dances finies de Cor_B(B, X) ne fait intervenir que les multiplicités géométriques (i.e., les longueurs des anneaux locaux aux points génériques des composantes irréductibles du « pull-back » schématique). Le résultat découle alors immédiatement de la définition deCycl(s)etCycl(s⁰)en terme des pôles et des zéros de sections sets⁰.

Étape 4 : Grâce à l’étape précédente, le morphismePicX¯(X) // π₀Cor_B(B, X), construit dans les deux premières étapes, se factorise d’une manière unique par un morphisme

Pic^BX¯¹(X) // π₀Cor_B(B, X).

(On utilise pour cela que l’associationB⁰ π0CorB⁰(B⁰, X׈BB⁰)est un préfaisceau invariant par homotopie.) Pour conclure, on montrera que le morphisme ci-dessus fournit un inverse à gauche et à droite du morphismec`de l’énoncé.

SoitZ ⊂X =B׈BX une correspondance finie élémentaire. L’élément c`([Z])est donné par un triplet(I, U, t) comme dans la proposition 2.3.8. Dans ce cas,tprovient d’un voisinage Zariski affine deX¯<sup>an</sup>−X. Par construction, l’élémentCycl(c`([Z]))∈π0CorB(B, X)est donc donné par la classe deCycl(t) = [Z]∈CorB(B, X).

Réciproquement, partons d’un objet(L, U, t)dePICX¯(X). Soits∈Γ(V,L)comme dans la première étape de la preuve. On a clairementc`(Cycl(s)) = (L, U, s). Il s’agit donc de montrer que (L, U, t) = (L, U, s) dansPic^BX¯¹(X).

Avec les notation de la deuxième étape, considérons la section τ s+ (1−τ)t∈ Γ(U׈BB¹B,L). D’après la première étape, on peut choisirssuffisamment proche detde sorte que|(t−s)/t|∞<1. Dans ce cas, on a pourx∈U׈BB¹B,

τ s+ (1−τ)t

t (x)

>0.

On conclut queτ s+ (1−τ)test une trivialisation du « pull-back » deL à U׈BB¹B. On dispose donc d’un triplet (L, U׈BB¹B, τ s+ (1−τ)t)

qui fournit une homotopie de(L, U, t)à (L, U, s). Ceci termine la preuve du théorème. c.q.f.d.

Dans le document Motifs des variétés analytiques rigides (Page 165-173)