Outils stochastiques
3.4 La POD, un outil de normalisation
Dans le cadre de cette étude expérimentale, une approche stochastique est adoptée pour étu-dier le champ de pression proche. Ainsi, ses corrélations spatio-temporelles sont considérées. Cependant, l’obtention de ces dernières nécessite la mise en œuvre d’une méthodologie particu-lière, combinant plusieurs séries de mesures, puis imposant artificiellement certaines propriétés. De ce fait, chaque série, considérée individuellement, ne vérifie pas exactement ces statistiques globales. Cela peut s’avérer problématique. Par exemple, l’utilisation de l’une de ces séries de mesures en tant que signaux conditionneurs d’une estimation stochastique basée sur les corré-lations globales peut introduire des erreurs non négligeables. Une procédure de renormalisation de ces données a donc dû être employée. Cependant, devant l’inexistence d’une technique adap-tée à ce problème (i.e. imposition des statistiques croisées), une méthode spécifique basée sur la décomposition orthogonale des signaux a été développée.
3.4.1 Introduction
La normalisation en amplitude, telle qu’employée par exemple par Delville [53], est une procédure classique de traitement du signal. Une variance dite de référence, que l’on notera σP, est imposée au signal p(t), de variance σp, pour obtenir le signal renormalisé que l’on notera
e
P (t). Celui-ci sera défini par la relation suivante :
e
P (t) = p(t)q σP/σp
L’un des inconvénients de cette technique, notamment lorsque l’on traite une série de si-gnaux, est la non prise en compte de la covariance. En effet, si l’on considère la série de signaux pi(t) de variances σpi, à laquelle on impose les variances σPide la série de signaux de références Pi(t), le produit croisé des signaux normalisés est :
RPiePje = Pei(t) ePj(t)
= pi(t)pj(t)√σPiσPj/√σpiσpj
Dans le cas où la covariance des signaux normalisés pi est non nulle, celle-ci différent du produit croisé des signaux de références Pi(t) :
Le cas particulier où les deux séries pi(t) et Pi(t) sont des séries de signaux décorrélés, est le seul cas pour lequel l’égalité est vérifiée. La nullité des produits croisés est alors conservée.
Pour imposer les corrélations en deux points à une série de signaux non décorrélés, l’idée est de se ramener à ce cas particulier par une décomposition orthogonale des signaux à normaliser.
3.4.2 Procédure de renormalisation par POD
Cette normalisation se décompose en trois temps. Une POD des produits croisés des signaux à normaliser est réalisée afin d’obtenir une série de coefficients instantanés orthogonaux. Une normalisation en amplitude de ces derniers est appliquée. Finalement, les signaux normalisés sont reconstruits grâce aux vecteurs propres issus de la décomposition des produits croisés des signaux de références que l’on désire imposer.
Puisque, dans cette étude, la majorité des traitements sont réalisés dans le domaine spectral, la présente procédure de normalisation est développée dans ce domaine, ses implications au domaine physique étant triviales.
La position du problème est la suivante : La série de signaux p(x; ω), d’interspectres Spp(x, x′; ω), doit être normalisée en une série de signaux eP (x; ω) vérifiant les interspectres dits de références SP P(x, x′; ω).
3.4.2.a Première étape
Dans un premier temps, la série de signaux p(x; ω) est décomposée en une série de signaux orthogonaux. Pour se faire, une POD de leurs interspectres Spp(x, x′; ω) est réalisée afin d’en définir les modes propres complexes φ(n)(x; ω) ∈ C et leurs valeurs propres réelles associées λ(n)(ω) ∈ R par résolution de l’équation de Fredholm suivante :
Z
D
Spp(x, x′; ω)φ(n)(x′; ω)dx′ = λ(n)(ω)φ(n)(x; ω)
Les modes propres obtenus sont orthonormés sur le domaine D, vérifiant la relation suivante : Z
D
φ(n)(x; ω) φ(m) ∗(x; ω)dx = δnm
Les coefficients instantanés complexes a(n)(ω) ∈ C sont obtenus par projection des signaux p(x; ω) sur le mode propre d’ordre (n) considéré :
a(n)(ω) = Z
D
p(x; ω) φ(n) ∗(x; ω)dx (3.16)
Ces coefficients sont orthogonaux et leurs variances, par fréquence, sont égales aux valeurs propres λ(n):
a(n)(ω) a(m) ∗(ω) = λ(n)(ω)δnm (3.17)
3.4.2.b Deuxième étape
Ces coefficients instantanés constituent une série de signaux décorrélés auxquels une nor-malisation en amplitude peut être appliquée sans détériorer leur cohérence, celle-ci étant nulle. Leur variance par fréquence est connue. Elle est égale à leur valeur propre associée. Mais quelle
valeur leur imposer par renormalisation ?
Les statistiques à imposer aux signaux p(x; ω) sont les interspectres SP P(x, x′; ω). Une dé-composition orthogonale de ces derniers est réalisée, définissant les modes propres et valeurs propres associés de ce tenseur :
Z
D
SP P(x, x′; ω)Φ(n)(x′; ω)dx′ = Λ(n)(ω)Φ(n)(x; ω) (3.18)
Les coefficients a(n)(ω) précédents (éq. 3.16), sont normalisés en leur imposant les valeurs propres du tenseur des interspectres à imposer aux signaux. De nouveaux coefficients eA(m)(ω) sont ainsi définis :
e
A(m)(ω) = a(n)(ω)q
Λ(m)(ω)/q
λ(n)(ω) (3.19) Une estimation (notatione) des coefficients A(m)d’ordre (m), associés aux valeurs propres Λ(m), est exprimée en fonction des coefficients a(n) d’ordre (n)6=(m), associés aux valeurs propres λ(n).
3.4.2.c Troisième étape
Finalement, les signaux normalisés sont reconstruits en associant ces coefficients instan-tanés normalisés eA(m) aux vecteurs propres Φ(m) des interspectres de références SP P par la sommation de ces contributions :
e
P (x; ω) =X
m
e
A(m)(ω)Φ(m)(x; ω) (3.20)
L’ensemble de ces opérations peut se résumer en exprimant les signaux normalisés de la manière suivante : e P (x; ω) =X m s Λ(m)(ω) λ(n)(ω) µZ D p(x′; ω) φ(n) ∗(x′; ω)dx′ ¶ Φ(m)(x; ω)
où la valeur (n) est une fonction de l’ordre (m).
3.4.2.d Remarques
La relation entre les ordres (n) et (m) des modes propres à associer reste à être définie. Celle-ci peut être, par exemple, établie sur la base de critères topologiques entre les modes propres.
Dans le cadre de la présente étude, cette procédure de normalisation est appliquée à des signaux dont les interspectres diffèrent peu des interspectres de références. La morphologie des vecteurs propres de mêmes ordres de ces deux tenseurs est donc semblable et ceux-ci sont associés deux à deux (m=n).
Indépendamment du choix de cette relation d’association des modes, les signaux normalisés obtenus vérifient toujours les conditions imposées, à savoir les interspectres de références SP P. En effet, les interspectres des signaux normalisés s’expriment :
SP eeP(x, x′; ω) =D e
Soit en injectant l’expression 3.20des signaux normalisés : SP eeP(x, x′; ω) = * X n e A(n)(ω)Φ(n)(x; ω).X m e A(m) ∗(ω) Φ(m) ∗(x′; ω) +
Cette expression se simplifie de part l’orthogonalité des vecteurs propres Φ(n):
SP eeP(x, x′; ω) =X m D e A(m)(ω) eA(m) ∗(ω)E Φ(m)(x; ω) Φ(m) ∗(x′; ω)
La définition 3.19 des coefficients instantanés eA(m) et la propriété d’orthogonalité 3.17 des coefficients a(n)conduisent alors à la relation suivante :
SP eeP(x, x′; ω) =X
m
Λ(m)(ω)Φ(m)(x; ω) Φ(m) ∗(x′; ω)
Finalement, la définition même des vecteurs propres Φ(m(x; ω) (éq.3.18) conduit à l’égalité sui-vante montrant que les interspectres des signaux renormalisés sont bien égaux aux interspectres de référence que l’on voulait imposer :
SP eeP(x, x′; ω) = SP P(x, x′; ω)
3.4.3 Matrice de transfert
Afin de simplifier la procédure de normalisation par utilisation de la POD, une matrice de transfert de normalisation peut être définie. Cette normalisation se formule alors :
e
P (x; ω) = H(x, x′; ω)p(x′; ω)
où H(x, x′; ω) est la matrice de transfert complexe de normalisation. Celle-ci peut être explici-tée en reprenant les détails de calculs précédents.
Pour chaque fréquence ω, les coefficients instantanés adimensionnés des signaux à norma-liser s’expriment :
α(n; ω) = φ∗(n, x′; ω)p(x′; ω)
où la matrice φ est la matrice complexe constituée des vecteurs et valeurs propres des inter-spectres des signaux à normaliser :
φ(n, x′; ω) = φ(n)(x′; ω)/ q
λ(n)(ω)
Les signaux normalisés s’expriment alors sous forme matricielle :
P (x; ω) = ΦT (n, x; ω)α(n ; ω)
où (.)T désigne l’opérateur de transposée complexe et la matrice Φ est la matrice complexe constituée des vecteurs et valeurs propres des interspectres de références :
Φ(n, x; ω) = q
La matrice de normalisation H est le produit de ces deux matrices :
H(x, x′; ω) = ΦT (n, x; ω) φ∗(n, x′; ω)
3.4.4 Conclusions
S’agissant d’une procédure de renormalisation des données, la technique présentée ici n’est pas anodine et doit être employée avec précaution.
De quelque manière que ce soit, les signaux obtenus vérifient exactement les cohérences que l’on souhaite leur imposer. Cependant, ceux-ci peuvent être totalement dénaturés, en particu-lier du fait de l’indétermination de la correspondance entre les différents modes propres (rela-tion3.19entre m et n).
Dans cette étude, la méthode de normalisation par décomposition a été mise en œuvre dans le cadre des champs de pression proche du jet subsonique uniquement. Cela a permis l’applica-tion d’estimal’applica-tions stochastiques du champ de pression proche.