Estimation stochastique linéaire spectrale

Lorsque les relations entre les signaux conditionneurs et le signal estimé sont compliquées, le choix d’un ou plusieurs retards optimaux peut s’avérer délicat. De plus, l’utilisation de retards “discrets” peut introduire un phénomène de “convection” artificiel.

S’appuyant sur une formulation de la LSE à temps décalé, il peut alors s’avérer intéressant de passer d’une sommation discrète à une sommation continue, intégrant ainsi l’ensemble des retards possibles.

3.5.3.a Formalisme

Le passage d’une sommation discrète sur quelques retards 3.21, à une sommation conti-nue couvrant l’ensemble des retards possibles conduit à la formulation suivante de l’estimation stochastique : e u(x, t) = X i Z _+∞ −∞ Ax(yi, τ )p(yi, t − τ)dτ ^(3.22) De la sorte, l’ensemble des retards est considéré et si un ou des retards optimaux sont pré-sents, ils seront “sélectionnés” automatiquement de par leur niveau de cohérence plus élevé. Un passage dans le domaine de Fourier permet de transformer cette relation en un simple produit :

beu(x; ω) =^X

i

b

A^∗_x(yi; ω)p(yb i; ω)

Comme pour l’estimation stochastique temporelle classique, la résolution du système passe par la minimisation d’une erreur quadratique moyenne. Cette minimisation est ici réalisée indé-pendamment pour chaque fréquence :

be(x; ω) = ¿¯_¯

¯beu(x; ω) − bu(x; ω)¯_¯ ¯

2À = Dh

beu(x; ω) − bu(x; ω)^{i h}beu(x; ω) − bu(x; ω)^i∗E

L’expression de l’estimation beu(x; ω) est injectée dans cette relation, laquelle est dérivée par rap-port aux coefficients bA^∗_x(y_i; ω). Imposer l’annulation de ces dérivées, pour minimiser l’erreur quadratique, conduit au système linéaire suivant :

*" X i b A^∗_x(yi; ω)p(yb i; ω) − bu(x; ω) # b p^∗(yj; ω) + = 0, ∀j

Soit en permutant la sommationP

et l’opérateur de moyenne h.i : hbu(x; ω)pb^∗(yj ; ω)i =^X

i

b

A^∗_x(yi; ω) h bp(yi; ω)pb^∗(yj; ω)i , ∀j Soit encore en terme d’interspectres :

Sup(x, y_j ; ω) =X

i

b

Ax(y_i; ω)Spp(y_i, y_j; ω) (3.23)

Un système linéaire, semblable à celui d’une LSE temporelle classique, est alors obtenu. Sa résolution est réalisée fréquence par fréquence et permet ainsi d’obtenir les coefficients

b

Ax(y_i ; ω).

Pondérant la transformée de Fourier instantanée des signaux conditionneurs, ces coefficients permettent l’estimation de la transformée de Fourier instantanée du signal beu(x; ω) par la re-lation 3.22. Une transformée de Fourier inverse du signal estimé est utilisée pour revenir au domaine physique :

e

u(x, t) = ¹ 2π

Z +Fe/2

−Fe/2 beu(x; ω)ejωtdω (3.24)

3.5.3.b Propriétés

Comme pour la LSE temporelle classique, les statistiques spectrales en deux points des signaux estimés peuvent être directement calculées à partir des interspectres des signaux de références et des coefficients LSE. En effet :

S_ueeu(x, x^′; ω) =D

beu^∗(x; ω)bu(xe ^′; ω)E Soit, en injectant l’expression des signaux estimés3.22:

S_ueeu(x, x^′; ω) = X i,j b Ax(yi; ω) bA^∗_x′(yj; ω) h bp^∗(yi; ω)p(yb j; ω)i ^(3.25) = X i,j b Ax(y_i; ω) bA^∗_x′(y_j; ω)Spp(y_i, y_j; ω) (3.26)

Le spectre d’un signal estimé est alors :

Su_e(x; ω) =X

i,j

b

Ax(y_i; ω) bA^∗_x(y_j; ω)Spp(y_i, y_j; ω)

Le tenseur de corrélations en deux points peut également être calculé par la transformée de Fourier inverse de l’interspectre estimé3.25:

R_ueeu(x, x^′, τ ) = ¹ 2π Z _+∞ −∞ S_ueeu(x, x^′; ω)dω = ¹ 2π Z _+∞ −∞ X i,j b Ax(y_i; ω) bA^∗_x(y_j; ω)Spp(y_i, y_j ; ω)dω

3.5.4 Conclusions

De par sa formulation, l’estimation stochastique spectrale est équivalente à l’application d’une estimation classique mais réalisée pour chaque fréquence. A ce titre, elle vérifie les mêmes propriétés que cette dernière.

Cette technique est utilisée dans cette étude pour l’estimation de la pression sur une surface entourant le jet. Un exemple de comparaison de fluctuation de pression mesurée proche du jet subsonique et de son estimation est donnée en figure 3.4(a). Ces signaux sont semblables. La répartition spectrale d’énergie représentée sur la figure3.4(b) est parfaitement estimée jusqu’à une certaine fréquence de coupure f_c liée à la géométrie de la distribution des signaux condi-tionneurs (voir en p.284pour plus de détails).

(a) Contributions instantanées mesurées et estimées (b) Spectres mesuré et estimé

FIG. 3.4 – Pressions mesurées et estimées en x/D=4,0 et r/D=1,8, jet subsonique

S’appuyant sur la formulation présentée ici, cette méthode peut aisément être étendue à des estimations d’ordre supérieur. Ainsi, son application sous forme quadratique (QSE) pourrait être envisagée dans des configurations pour lesquelles une estimation à l’ordre deux est conseillée.

Il est à noter que l’emploi de l’estimation stochastique dans le domaine spectral a déjà été réalisé par Ewing et Citriniti [62]. Toutefois, ces auteurs n’en détaillent pas la formulation et en particulier, le lien avec la notion de retards de corrélation n’est pas abordé. Or, cette notion est particulièrement importante. Elle montre l’intérêt de cette technique et son caractère optimum dans le cadre d’écoulement présentant un phénomène physique mobile tel que, par exemple, la convection des structures cohérentes au sein d’un écoulement cisaillé.

Le formulation proposée ici pourra être retrouvée dans Coiffet et al. [43] ainsi que dans Tinney et al.[184,182].

3.6 Synthèse

Dans cette étude, l’approche adoptée pour l’analyse du champ de pression proche des jets passe par une analyse statistique. Les niveaux d’énergie effectivement rencontrés dans cette zone ainsi que les niveaux de cohérence sont alors implicitement pris en compte. Une atten-tion particulière est donc portée à la définiatten-tion et à l’obtenatten-tion expérimentale des tenseurs de corrélation en deux points dans le domaine physique ainsi que dans le domaine spectral. La prise en compte de la composante azimutale de ce champ de pression place cette étude dans une configuration bidimensionnelle (x, θ), rendant délicate la détermination expérimentale de

ces grandeurs. Ainsi, nombre de symétries sont considérées afin d’en simplifier l’obtention.

Toutefois, le recours à la combinaison de plusieurs séries de mesures reste inévitable pour l’obtention pratique de tels tenseurs. Dans ce contexte, les aléas expérimentaux peuvent conduire à un certain nombre d’erreurs et en particulier à l’obtention de tenseurs mal conditionnés. Bien que ce problème puisse être résolu aisément par l’annulation des valeurs propres négatives du tenseurs, l’exploitation des mesures dans le cadre d’une analyse stochastique reste probléma-tique, celle-ci ne vérifiant plus le tenseur corrigé. Une méthode de renormalisation des signaux a donc été développée afin de pallier ce problème. Celle-ci permet l’imposition des variances et covariances sur une série de signaux non décorrélés et son application peut être envisagée dans de nombreux cas dépassant le contexte de la présente étude.

Finalement, l’estimation stochastique sera utilisée sous sa forme linéaire. Or, l’application de cette technique sous sa formulation classique s’avère non optimale dans le cadre de nos ana-lyses portant sur des grandeurs présentant un caractère convectif et/ou propagatif. En effet, cette formulation ne prend pas en compte les corrélations de retards non nuls qui sont, dans ce cas, prédominantes. Une extension au domaine spectral a donc été développée afin de combler cette lacune. Les résultats de l’application de cette formulation pour l’estimation du champ de pres-sion, à partir de seulement quelques points de mesures, sur une surface entourant complètement le jet sont présentées dans les chapitres suivants. Le gain apporté par cette formulation est alors considérable.