Contributions instantanées

mθ n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12 n=13 n=14 n=15 n=16 n=17

(b) Fonction du mode azimutal

FIG. 5.16 – Intégrale des valeurs propres POD-1D et POD-2D en configuration conique subso-nique

FIG. 5.17 – L’intégrale des convergences POD-2D sur configuration conique subsonique

cône potentiel. Plus précisément, plus l’ordre du mode azimutal est élevé, plus la contribution du premier mode POD est réduite au niveau du cône potentiel et se concentre sur la zone en aval.

De manière générale, il est difficile d’extraire une information pertinente des modes POD d’ordre supérieur à 1 du fait de la complexité de leur morphologie. En revanche, pour le mode POD d’ordre 1, la partie dominante de l’énergie est contenue dans une gamme de fréquences dominée par des contributions de nature hydrodynamique. On notera alors la diminution de la fréquence du maximum local d’énergie avec l’éloignement longitudinal, traduisant l’évolution des structures cohérentes de la couche de mélange du jet. De plus, la contribution des modes azi-mutaux d’ordre élevé est minime au niveau du cône potentiel pour être essentiellement concen-trée en aval de cette zone. Ainsi, la dégénérescence azimutale des structures cohérentes de la couche de mélange du jet est mise en évidence de manière plus prononcée que par l’analyse de Fourier (cf. §5.3).

5.5.4 Contributions instantanées

Dans le cadre de cette étude, la décomposition orthogonale aux valeurs propres est conduite dans le domaine spectrale, indépendamment pour chaque fréquence. La perte de phase alors induite interdit le retour au domaine physique des fonctions propres obtenues (cf. POD au §3.1.2.b). L’étude dans ce domaine est toutefois importante pour une meilleure compréhension des phénomènes mis en évidence par cette décomposition.

(1) m^θ = 0 (a)^¯¯Φ(1)(x ; m_θ, ω)¯_¯ (b)^¯¯Φ(2)(x ; m_θ, ω)¯_¯ (c)^¯¯Φ(3)(x ; m_θ, ω)¯_¯ (2) m^θ = 1 (3) m^θ = 2 (4) m^θ = 3 (5) m^θ = 4 (6) m^θ = 5

FIG. 5.18 – Module des fonctions propres POD-2D d’ordre 1, 2 et 3 (col. a, b et c) pour les modes azimutaux d’ordre 0 à 5 (lig. 1 à 6) sur configuration conique subsonique

pression. Celles-ci sont obtenues par filtrage du champ de pression instantanées par les modes propres issus de la POD.

5.5.4.a Introduction

Les modes propres issus de la décomposition orthogonale des interspectres, présentés au pa-ragraphe précédent, sont utilisés pour filtrer le champ de pression proche du jet afin d’en extraire la partie cohérente. Ces contributions modales instantanées sont calculées, dans le domaine de Fourier, par pondération des modes propres par des coefficients instantanés :

bbep⁽ⁿ⁾(x ; mθ, ω) = bba⁽ⁿ⁾(x ; mθ, ω)φ⁽ⁿ⁾(x ; mθ, ω)dx (5.5) Ces coefficients sont obtenus par projection du champ de pression sur le mode propre consi-déré :

bba⁽ⁿ⁾(x ; mθ, ω) = Z

Dbbep(x ;mθ, ω) φ^{(n) ∗}(x ; mθ, ω)dx (5.6) où D est le domaine d’analyse.

Ne disposant pas de mesures simultanées de pression sur l’ensemble de la surface d’ana-lyse, la méthode dite complémentaire (Bonnet et al. [25]) est ici mise en œuvre. Le champ de pression projeté sur les modes propres est alors le champ de pression estimé par LSE, noté ep, présenté au paragraphe5.4.

Cette projection est réalisée dans le domaine spectral. Les pressions instantanées filtrées sont obtenues dans le domaine physique par transformée de Fourier inverse dans la direction temporelle pour chaque mode azimutal :

bep⁽ⁿ⁾(x, t ; mθ) = ¹ 2π

Z _+∞

−∞ bbep⁽ⁿ⁾(x ; mθ, ω)e^jωtdω (5.7) La projection dans le domaine spatio-temporel peut alors être considérée indépendamment pour chacun des modes azimutaux par la projection suivante :

e

p^(n,mθ)(x, θ, t) = bep⁽ⁿ⁾(x, t ; m_θ)e^jmθθ (5.8) La projection complète de la contribution modale POD instantanée est obtenue par somma-tion des contribusomma-tions de l’ensemble des modes azimutaux :

e p⁽ⁿ⁾(x, θ, t) = M X mθ=−M e p^(n,mθ)(x, θ, t) = M X mθ=−M bep⁽ⁿ⁾(x, t ; mθ)e^jmθθ

où M est le nombre de modes azimutaux moins un, égal à la moitié du nombre de microphones disposés sur la circonférence du jet, soit M=9.

5.5.4.b Contributions modales POD instantanées

Une illustration des contributions modales POD d’ordre 1 est donnée sur la figure5.19pour les modes azimutaux d’ordre 0, 1 et 2. Représentées dans un espace tridimensionnel (x, r, θ) pour un instant arbitraire quelconque, ces fluctuations de pression sont matérialisées par un niveau de gris sur une surface se déformant en fonction de l’amplitude de la fluctuation. Le centre de la tuyère d’éjection est matérialisé par l’origine d’un repère cartésien.

(a) Mode azimutal mθ=0 : ep(n=1,mθ=0)(x, θ, t) (b) Mode azimutal mθ=1 : ep(n=1,mθ=1)(x, θ, t)

(c) Mode azimutal mθ=2 : ep(n=1,mθ=2)(x, θ, t)

FIG. 5.19 – Représentation 3D des contributions modales POD instantanées d’ordre 1 du champ de pression proche en configuration conique pour les modes azimutaux d’ordre 0,1 et 2

L’analyse des valeurs propres (cf.5.5.2) et modes propres (cf.5.5.3) a révélé une différence de comportement importante entre les deux premiers modes azimutaux et les modes azimutaux d’ordre plus élevé ainsi qu’une différence de comportement entre les modes POD d’ordre bas et les modes POD d’ordre élevé. Une différence dans le comportement de ces modes est égale-ment mise en lumière par l’observation des contributions modales POD qui leur sont associées. En effet, l’évolution temporelle des deux premiers modes POD des modes azimutaux 0 et 1 fait apparaître des “événements” de pression se déplaçant de l’amont vers l’aval du jet à une vitesse semblant proche de la vitesse de convection de l’écoulement. La taille de ces “événements” augmente en fonction de leur position longitudinale. Les modes POD d’ordre supérieur font apparaître des “événements” se déplaçant également dans la direction de l’écoulement mais à une vitesse bien plus élevée.

Ces comportements sont mis en évidence en considérant le module des transformées de Fourier instantanées du champ de pression dans la direction azimutale. En effet, plusieurs points peuvent être relevés dans l’évolution spatio-temporelle de ces coefficients pour le mode azimu-tal d’ordre 0 (fig.5.20(a)). Dans un premier temps, une augmentation des échelles temporelles avec l’éloignement de la section d’éjection est clairement identifiable. Cette augmentation est due à la diminution de la fréquence caractéristique des structures cohérentes de la couche de mélange occasionnant ces fluctuations de pression. De plus, le caractère convectif de ces struc-tures, et donc du champ de pression induit, est remarquable par l’évolution des événements de

pression dans le domaine spatio-temporel, présentant une pente égale à celle de la vitesse de convection de l’écoulement, représentée ici par une ligne continue (fig.5.20(a)à fig.5.20(c)).

(a) Complet :^¯¯_¯bep(x, t ; mθ= 0) ¯ ¯ ¯ (b) Mode POD n=1 : ¯ ¯ ¯ ¯bep⁽ⁿ⁼¹⁾(x, t ; mθ= 0) ¯ ¯ ¯ ¯ (c) Mode POD n=2 : ¯ ¯ ¯ ¯bep⁽ⁿ⁼²⁾(x, t ; mθ= 0) ¯ ¯ ¯ ¯ ^{(d) Mode POD n=3 :} ¯ ¯ ¯ ¯bep⁽ⁿ⁼³⁾(x, t ; mθ= 0) ¯ ¯ ¯ ¯

FIG. 5.20 – Cartographie spatio-temporelle du module du mode azimutal d’ordre 0 du champ de pression estimé par LSE (a) et de ses contributions modales instantanées aux modes POD d’ordre 1, 2 et 3 (respectivement b, c et d). Configuration conique du jet subsonique

Le comportement de la contribution modale POD d’ordre 3 diffère de celui des contributions modales d’ordre inférieur (fig. 5.20(d)). En effet, l’augmentation des échelles temporelles est nettement moins marquée pour cette contribution modale et la pente des événements de pression est égale à celle de la vitesse du son, représentée ici par des tirets. La vitesse du son est, pour cette configuration de jet, plus de 3 fois supérieure à la vitesse d’éjection. Des perturbations se déplaçant à cette vitesse ne peuvent donc pas être associées à des perturbations de nature hydrodynamique. Cette contribution modale semble permettre d’identifier la partie acoustique du champ de pression proche du jet se propageant dans la direction aval de l’écoulement. Le paragraphe suivant se proposera de discuter la possible identification des différentes contribu-tions de pression.

Le même type de comportement est retrouvé sur le mode m_θ=0 (fig. 5.21(a)) ainsi que sur ses contributions modales POD d’ordre 1, 2 et 3 (fig. 5.21(c), 5.21(e) et5.21(g)). Pour ce mode azimutal, nous disposons d’une information supplémentaire constituée par sa phase. Cette information est importante car traduisant l’orientation azimutale du mode de pression.

La rotation de cette phase suivant la direction longitudinale met en évidence la forme hé-licoïdale du mode axisymétrique (fig.5.21(b)). Celui-ci tourne autour du jet comme le montre sa rotation temporelle de phase se traduisant par un déplacement des iso-phases suivant une direction correspondant à la vitesse de convection du jet.

L’augmentation des échelles temporelles se retrouve également dans ces cartographies de phase. L’appariement d’événements se distingue également par le regroupement de plusieurs

(a) Complet :^¯¯_¯bep(x, t ; mθ= 1)¯_¯

¯ ^{(b) Complet : argh}bep(x, t ; mθ= 1)i

(c) mode POD n=1 : ¯ ¯ ¯ ¯bep⁽ⁿ⁼¹⁾(x, t ; mθ= 1) ¯ ¯ ¯

¯ ^{(d) mode POD n=1 : arg} ·

bep⁽ⁿ⁼¹⁾(x, t ; mθ= 1) ¸

(e) mode POD n=2 : ¯ ¯ ¯ ¯bep⁽ⁿ⁼²⁾(x, t ; mθ= 1) ¯ ¯ ¯

¯ ^{(f) mode POD n=2 : arg} · bep⁽ⁿ⁼²⁾(x, t ; mθ= 1) ¸ (g) mode POD n=3 : ¯ ¯ ¯ ¯bep⁽ⁿ⁼³⁾(x, t ; mθ= 1) ¯ ¯ ¯

¯ ^{(h) mode POD n=3 : arg} ·

bep⁽ⁿ⁼³⁾(x, t ; mθ= 1) ¸

FIG. 5.21 – Cartographie spatio-temporelle des module et phase du mode azimutal d’ordre 1 du champ de pression estimé par LSE (a et b) et de ses contributions modales instantanées aux modes POD d’ordre 1, 2 et 3 (respectivement c et d, e et f, g et h). Configuration conique du jet subsonique.

“branches” de phase conduisant à l’augmentation des échelles temporelles et apparaissant gé-néralement à la fin du cône potentiel (x/D=4). La prédominance du premier mode POD apparaît avec une structuration importante de sa phase (fig.5.21(d)), très proche de celle du champ com-plet (fig.5.21(b)). La phase de la contribution modale POD d’ordre 2 (fig.5.21(f)) est beaucoup moins organisée alors que celle de la contribution modale d’ordre 3 (fig.5.21(h)) présente une organisation dont le rapport espace-temps des lignes isophases correspond à la vitesse du son (représentée par des tirets).

L’analyse des valeurs propres a montré qu’il existe, pour cette configuration expérimentale, une différence de comportement entre les modes azimutaux d’ordre 0 et 1 et les modes azi-mutaux d’ordre supérieur. A ce titre, il est intéressant de considérer l’analyse des contributions instantanées de ces modes. Celle-ci est illustrée ici par l’analyse du mode azimutal d’ordre 2.

Le module, ainsi que la phase, de la transformée de Fourier instantanée dans la direction azi-mutale du champ de pression complet (fig. 5.22(a)et 5.22(b)) ne présentent pas de différence notable avec ceux des modes azimutaux d’ordre inférieur. Ils présentent le même type de carac-téristiques (augmentation des échelles temporelles et convection à la vitesse de convection de l’écoulement). En revanche, bien que présentant également ces caractéristiques, la contribution modale POD d’ordre 1 est ici moins représentative du champ de pression complet (fig.5.22(c)

et5.22(d)). L’apparente désorganisation de la contribution modale POD d’ordre 3 est également relevée (fig.5.22(g)et5.22(h)) et en particulier, on notera l’absence de direction de propagation obtenue pour cette contribution modale POD des modes azimutaux d’ordre inférieur.

5.5.4.c Conclusion

Le champ de pression proche du jet subsonique est fortement lié aux structures cohérentes de la couche de mélange de l’écoulement. En effet, les contributions modales azimutales de ce champ de pression sont nettement marquées par une vitesse de convection égale à la vitesse de convection de ces structures. De plus, leurs échelles temporelles et spatiales augmentent avec la position longitudinale.

Ainsi, ce champ de pression présente un degré de structuration important. Il est quasiment entièrement décrit par une seule contribution modale POD, dans le cas de la configuration co-nique, pour tous les modes azimutaux.

Or, les fréquences caractéristiques des structures cohérentes sont relativement basses et ap-partiennent à la zone contenant l’énergie du spectre. Un phénomène propagatif, lié à la vitesse du son, et correspondant donc à des fréquences plus élevées, a également pu être mis en évi-dence dans le champ de pression proche par la contribution modale POD d’ordre 3 des deux premiers modes azimutaux. L’identification de ce phénomène laisse entrevoir la possibilité de distinguer les deux composantes, hydrodynamique et acoustique, du champ de pression proche par l’utilisation de la POD.