Approche POD spectrale 2D : Notations

Pour cette démarche bidimensionnelle, les interspectres sont calculés par “morceaux” à par-tir des mesures de pression décrites en annexesB.1suivant la méthode exposée au §3.3.1. Leur décomposition par analyse POD en valeurs et vecteurs propres, dans le domaine spectral, est réalisée indépendamment pour chaque mode azimutal par la résolution du système suivant (cf. POD au §3.1.2) :

Z

D

Ψpp(x, x^′; mθ, ω)φ⁽ⁿ⁾(x^′ ; mθ, ω)dx^′ = λ⁽ⁿ⁾(mθ, ω)φ⁽ⁿ⁾(x ; mθ, ω)

Le pendant des grandeurs définies dans le cadre de l’analyse POD 1D (cf. §5.2.2) peut être considéré pour chaque mode azimutal. Ainsi, la convergence des valeurs propres est définie par

le rapport entre l’énergie bE(n)(m_θ, ω) portée par les n premiers modes POD du mode azimutal mθconsidéré : b E⁽ⁿ⁾(mθ, ω) = n X i=1 λ⁽ⁱ⁾(mθ, ω)

et de l’énergie globale bE(Npod)(mθ, ω) portée par l’ensemble des Npodmodes.

Une information globale peut également être obtenue pour chaque mode azimutal en consi-dérant l’intégration fréquentielle des valeurs propres :

e⁽ⁿ⁾(mθ) = ¹ 2π

Z _+∞

−∞

λ⁽ⁿ⁾(mθ, ω)dω (5.3)

ainsi que leur convergence E(n)(mθ)/E(Npod)(mθ) où :

E⁽ⁿ⁾(mθ) = n X i=1 e⁽ⁱ⁾(mθ) = ¹ 2π Z _+∞ −∞ b E⁽ⁱ⁾(mθ, ω)dω

De même, la répartition spatio-fréquentielle de l’énergie des contributions modales de chaque mode azimutal est obtenue en considérant le module des fonctions propres complexes définies par :

Φ(n)(x ; m_θ, ω) = q

λ(n)(m_θ, ω)φ(n)(x ; m_θ, ω) (5.4)

5.5.2 Valeurs propres et convergences

Nous nous intéressons ici à la répartition fréquentielle des valeurs propres issues de la POD-2D. Les résultats obtenus pour chaque mode azimutal comportent globalement les mêmes caractéristiques que ceux obtenus par la POD-1D (cf.5.2.3), présentant une répartition fréquen-tielle des valeurs propres en deux zones de comportement différent. Pour chaque mode azimutal, l’énergie est concentrée sur les basses fréquences, inférieures à 2,1 kHz (StD=1,0), présentant une convergence rapide. Pour les fréquences supérieures à cette valeur, le niveau des valeurs propres est nettement inférieur et leur convergence est plus lente.

Le niveau des premières valeurs propres et leur convergence varient toutefois, pour les basses fréquences, en fonction du mode azimutal considéré (fig. 5.14 et fig. 5.15). Ainsi, les modes azimutaux 0 et 1 présentent une convergence plus rapide que les modes azimutaux d’ordre plus élevé. Le champ proche étant dominé par ces deux contributions azimutales (cf. §5.3), il n’est pas surprenant de retrouver sur ces modes le résultat de la POD-1D.

Le pic de moindre convergence, obtenu pour la configuration 1D, se retrouve également dans cette analyse bidimensionnelle. On notera que celle-ci est présente sur tous les modes azi-mutaux. Cela renforce alors l’idée que ce phénomène ne peut être le résultat de l’interaction entre les contributions hydrodynamique et acoustique exposée au chapitre4. En effet, cette in-teraction est uniquement associée au mode antisymétrique m_θ=1 (§4.3) et n’apparaît pas dans les fonctions de cohérence des autres modes azimutaux.

Un autre résultat frappant est obtenu par la décomposition individuel des modes azimutaux de pression. En effet, le mode m_θ=5, qui est le mode préféré de la dégénérescence azimutale des structures cohérentes de la couche de mélange du jet (Glauser [81]), présente une convergence singulière très rapide à la fréquence de 1 kHz (St_D=0,5). Bien que celui-ci ne soit pas dominant d’un point de vue énergétique, sa structuration pour un nombre de Strouhal proche de celui du jet est obtenu par l’analyse POD.

Une information globale est obtenue en considérant l’intégration fréquentielle des valeurs propres (éq.5.3) ainsi que leur convergence pour chaque mode azimutal.

Le traitement individuel de chaque mode azimutal du champ de pression met en évidence la domination d’une structuration axisymétrique et antisymétrique, montrant que les niveaux élevés et la décroissance rapide des valeurs propres d’ordre bas obtenues en configuration mo-nodimensionnelle sont dus aux modes azimutaux d’ordre 0 et 1 présentant ces mêmes carac-téristiques (fig.5.16(a)). Pour ces modes azimutaux, les valeurs propres d’ordre supérieur à 4 présentent une décroissance plus lente, similaire à celle des valeurs propres des modes azimu-taux d’ordre supérieur.

Une dégénérescence de la structuration azimutale du champ de pression est également mise en évidence par cette décomposition bidimensionnelle. En effet, celle-ci montre qu’un transfert d’énergie s’opère entre les modes azimutaux d’ordre bas vers les modes m_θ=2 et m_θ=3 qui sont alors dominants pour les modes POD d’ordre supérieur à 10 (fig.5.16(b)). On retrouve alors ici un mécanisme similaire à celui obtenu sur le champ de vitesse de l’écoulement (cf. §2.1.3).

Le comportement aux modes POD d’ordre bas permet de distinguer deux catégories de modes azimutaux. D’une part, les modes azimutaux 0 et 1 présentent un niveau élevé des pre-mières valeurs propres (80%) et une convergence rapide (95% de l’énergie globale en seulement 2 modes POD, fig.5.17). D’autre part, les modes azimutaux d’ordre supérieur présentent un ni-veau nettement plus faible (60%) des premières valeurs propres et une convergence plus lente (95% de l’énergie globale en 4 modes POD).

5.5.3 Fonctions propres

Nous considérons ici l’évolution spatio-fréquentielle du module des fonctions propres POD

5.4 :¯

¯Φ(n)(x ; m_θ, ω)¯

¯. Ces grandeurs permettent de prendre en compte la localisation spatiale de l’énergie associée aux modes propres issus de la POD pour chaque mode azimutal, apportant ainsi une information complémentaire à l’analyse de leurs valeurs propres.

Comme dans le cadre de la configuration 1D (cf. §5.2.4), l’évolution spatio-fréquentielle des modules des fonctions propres des trois premiers modes POD est considérée. Reportées sur la figure5.18(col. a à c), ces fonctions sont ici détaillées pour les modes azimutaux d’ordre 0 à 5 (lig. 1 à 6).

Dans un premier temps, la similitude entre les résultats obtenus pour les deux premiers modes azimutaux (fig.5.18, lig. 1 et 2) et les résultats obtenus en configuration 1D (fig.5.6(a)

à5.6(c)) peut être relevée. En particulier, la grande étendue spatiale de la zone contenant l’éner-gie est retrouvée pour ces deux modes azimutaux. La focalisation du maximum d’énerl’éner-gie du mode POD d’ordre 1 (fig.5.18, col. a) sur la zone en aval du cône potentiel ainsi que la dimi-nution de la fréquence du maximum local d’énergie avec l’éloignement de la sortie de la tuyère sont également retrouvées. Les modes d’ordre supérieur présentent la même morphologie avec respectivement 2 et 3 maxima locaux pour les modes POD d’ordre 2 et 3 (fig. 5.18, col. b et c). Ces deux modes azimutaux dominant le champ de pression proche du jet (cf. §5.3), il n’est donc pas surprenant que l’on retrouve ici des résultats similaires à ceux de la configuration 1D pour laquelle l’ensemble des contributions azimutales sont intégrées.

Intéressons-nous aux modes azimutaux d’ordre supérieur, et plus particulièrement à l’évo-lution spatio-fréquentielle du module de la fonction propre du premier mode POD (fig. 5.18, col. a, lig. 3 à 6). Les valeurs propres de ces modes azimutaux présentent un comportement dif-férent de celui des modes azimutaux d’ordres 0 et 1 (cf. §5.5.2). Les localisations spatiales de l’énergie diffèrent également puisque ces répartitions se restreignent alors à la zone en aval du

(1) m^θ = 0 (a) λ(n)(m_θ, ω) (b) bE(n)(m_θ, ω)/ bE(Npod)(m_θ, ω) (2) m^θ = 1 (3) m^θ = 2 (4) m^θ = 3 (5) m^θ = 4

FIG. 5.14 – Valeurs propres (col. a) et convergence (col. b), par mode azimutal d’ordre 0 à 4 (lig. 1 à 5) sur configuration conique subsonique

(1) m^θ = 5 (a) λ(n)(m_θ, ω) (b) bE(n)(m_θ, ω)/ bE(Npod)(m_θ, ω) (2) m^θ = 6 (3) m^θ = 7 (4) m^θ = 8 (5) m^θ = 9

FIG. 5.15 – Valeurs propres (col. a) et convergence (col. b), par mode azimutal d’ordre 5 à 9 (lig. 1 à 5) sur configuration conique subsonique

(a) Fonction de l’ordre POD 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 e (n) (m θ ) mθ n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 n=12 n=13 n=14 n=15 n=16 n=17

(b) Fonction du mode azimutal

FIG. 5.16 – Intégrale des valeurs propres POD-1D et POD-2D en configuration conique subso-nique

FIG. 5.17 – L’intégrale des convergences POD-2D sur configuration conique subsonique

cône potentiel. Plus précisément, plus l’ordre du mode azimutal est élevé, plus la contribution du premier mode POD est réduite au niveau du cône potentiel et se concentre sur la zone en aval.

De manière générale, il est difficile d’extraire une information pertinente des modes POD d’ordre supérieur à 1 du fait de la complexité de leur morphologie. En revanche, pour le mode POD d’ordre 1, la partie dominante de l’énergie est contenue dans une gamme de fréquences dominée par des contributions de nature hydrodynamique. On notera alors la diminution de la fréquence du maximum local d’énergie avec l’éloignement longitudinal, traduisant l’évolution des structures cohérentes de la couche de mélange du jet. De plus, la contribution des modes azi-mutaux d’ordre élevé est minime au niveau du cône potentiel pour être essentiellement concen-trée en aval de cette zone. Ainsi, la dégénérescence azimutale des structures cohérentes de la couche de mélange du jet est mise en évidence de manière plus prononcée que par l’analyse de Fourier (cf. §5.3).