Analyse POD spectrale monodimensionnelle

Dans cette partie, nous nous intéressons à l’analyse POD suivant la direction longitudinale du jet. En effet, avant de considérer les contributions azimutales du champ de pression, il est bon d’aborder ce type d’analyse dans une configuration plus simple. Cela nous permet d’introduire et de discuter le type de résultats obtenus et de fixer une référence pour l’analyse des contribu-tions azimutales. L’analyse des interspectres pression-pression Spp(x, x′, ∆θ = 0 ; ω) en champ proche est ainsi discutée pour une séparation azimutale nulle intégrant toutes les contributions azimutales.

5.2.1 Distributions spatiale et fréquentielle d’énergie

L’analyse POD étant basée sur une décomposition optimale au sens de l’énergie, elle est for-tement influencée par la répartition spatiale, et spatio-fréquentielle dans le cadre d’une analyse dans le domaine de Fourier, d’énergie. Avant de présenter les résultats de ce type d’analyse, les distributions de valeurs RMS de pression ainsi que les interspectres mesurés en champ proche du jet subsonique doivent être examinés.

Considérant la répartition spatiale de valeurs RMS de pression, deux zones peuvent être distinguées dans le domaine d’analyse. En effet, sur la première moitié du cône potentiel, les fluctuations de pression augmentent fortement avec la position longitudinale (fig. 5.2(a)). Au-delà de la position x/D=2,8, les niveaux RMS sont quasiment constants, de l’ordre de 120 dB. Il est donc probable que les premiers modes POD, contenant un maximum d’énergie, pointent sur cette seconde zone. Nous pourrons voir ultérieurement que cela se vérifie (§5.2.4).

(a) Valeurs RMS (b) Spectres, x/D={1 ;2 ;3,2 ;4,0 ;4,8}

FIG. 5.2 – Répartition longitudinale et spectrale d’énergie du champ de pression proche du jet subsonique, configuration conique

Cette distinction se retrouve également dans les spectres de pression en champ proche du jet subsonique. En effet, ceux-ci présentent un maximum d’énergie qui peut être associé aux structures cohérentes de la couche de mélange dont la fréquence diminue avec la position lon-gitudinale (du fait de l’expansion de la couche de mélange du jet induite par l’élargissement de ces structures). Jusqu’à la position x/D=2,8, son niveau augmente avec x. Au-delà de cette position, dans la seconde zone, son niveau est quasi-constant. La forme généralement du spectre est même conservée, celle-ci se décalant vers les basses fréquences avec x (fig.5.2(b)).

Le changement de pente discuté au chapitre4(cf. §4.1.2) apparaît sur les spectres de pression mesurés. Celui-ci se produisant pour une valeur constante du paramètre kr, sa fréquence varie avec la position longitudinale (la position radiale variant avec x, i.e. surface conique).

Ce changement de pente entre les zones de hautes et de basses fréquences des spectres marque également la délimitation entre deux zones distinctes des interspectres (fig.5.3) :

– Une zone basses fréquences de forts niveaux d’énergie sur l’ensemble de l’étendue lon-gitudinale du domaine ;

– Une zone hautes fréquences où les niveaux d’énergie chutent rapidement de part et d’autre du point de référence.

FIG. 5.3 – Interspectres pression-pression en champ proche du jet subsonique, xref/D=2,8

La limite fréquentielle entre ces deux zones de comportement différent est la trace de la séparation entre les contributions de nature hydrodynamique et acoustique notée au chapitre 4

se produisant pour une valeur constante du paramètre kr de 1,3. La question est alors de savoir comment les résultats de la POD sont influencés par ce phénomène.

5.2.2 Approche POD spectrale 1D : Notations

Dans cette démarche monodimensionnelle, les interspectres sont décomposés par analyse POD en valeurs et vecteurs propres, dans le domaine spectral, par résolution du système (cf. §3.1.2) : Z

D

Spp(x, x^′, ∆θ = 0 ; ω)φ⁽ⁿ⁾(x^′ ; ω)dx^′ = λ⁽ⁿ⁾(ω)φ⁽ⁿ⁾(x ; ω)

où D est le domaine d’analyse, suivant la direction longitudinale de l’écoulement, constitué par l’antenne de microphones.

Les valeurs propres λ(n)(ω) obtenues sont représentatives de l’énergie, par bandes de fré-quences, associée à la contribution modale d’ordre n sur l’ensemble du domaine d’analyse. Leur convergence est définie comme le rapport entre l’énergie bE(n)(ω) portée par les n pre-miers modes POD :

b E(n)(ω) = n X i=1 λ(i)(ω)

et de l’énergie globale bE(Npod), portée par l’ensemble des modes propres obtenus. Cette conver-gence traduit le degré de structuration de champ analysé pour la fréquence considérée.

Une information plus globale peut être obtenue en considérant l’intégration fréquentielle des valeurs propres :

e⁽ⁿ⁾ = ¹ 2π

Z _+∞

−∞

ainsi que leur convergence E(n)/E(Npod): E⁽ⁿ⁾ = n X i=1 e⁽ⁱ⁾ = ¹ 2π Z _+∞ −∞ b E⁽ⁿ⁾(ω)dω

Ces informations, intégrant l’ensemble du domaine d’analyse, sont complétées par la prise en compte de la localisation grâce au caractère spatial des vecteurs propres. Ceux-ci étant ortho-normés, la répartition spatio-fréquentielle de l’énergie associée à chaque contribution modale est obtenue en considérant les fonctions propres complexes définies par :

Φ(n)(x ; ω) = q

λ(n)(ω)φ(n)(x ; ω) (5.2) Le module de la fonction propre permet ainsi de visualiser non seulement l’enveloppe des vec-teurs propres mais également l’importance relative de chaque fréquence.

5.2.3 Valeurs propres et convergences

Le premier constat qui peut être fait à la vue des résultats obtenus est la localisation de l’énergie dans une gamme de fréquences restreintes ainsi que le caractère très organisé du champ de pression pour ces fréquences.

En effet, la première valeur propre présente un niveau élevé pour les basses fréquences (fig. 5.4(a)) avec un maximum à 200 Hz (St_D=0,1). Cette fréquence, également obtenue par Ricaud [171], correspond à la fréquence du maximum d’énergie du spectre de pression mesuré en fin de cône potentiel, en x/D=4 (fig.5.2(b)). Le niveau des valeurs propres d’ordre supérieur chute rapidement pour les basses fréquences tout en conservant un maximum centré à 200 Hz.

(a) Valeurs propres λ(n)(ω) (b) Convergences bE(n)(ω)/ bE(Npod)(ω)

FIG. 5.4 – Valeurs propres et convergence de la POD-1D sur configuration conique subsonique

Le caractère très organisé du champ de pression aux basses fréquences est mis en évi-dence par la convergence des valeurs propres. Pour toutes les fréquences inférieures à 1 kHz (St_D=0,5), cette convergence est très rapide (fig. 5.4(b)). L’énergie contenue par la première valeur propre y est supérieure à 70%. Au-delà de cette fréquence, le champ de pression présente un caractère beaucoup moins structuré avec une convergence de plus en plus lente avec l’aug-mentation de la fréquence et un rapport d’énergie associé à la première valeur propre de plus en plus faible.

Au-delà de 1 kHz (St_D=0,5), la diminution de la convergence des valeurs propres est conti-nue en fréquence. Toutefois, un point particulier de convergence nettement plus lente apparaît.

Il est centré sur des fréquences de l’ordre de 2,1 kHz (St_D=1,0). L’interprétation de ce phé-nomène n’est pas aisée. Sa gamme de fréquence correspond à celle du changement de pente des spectres (fig. 5.2(b)) et laisse à penser qu’il pourrait s’agir de la trace de l’interaction entre les contributions hydrodynamique et acoustique identifiée au chapitre4. De plus, dans le cadre de l’analyse d’un domaine de position radiale constante (voir l’analyse en configuration cylin-drique en annexe D) pour lequel la décomposition est réalisée indépendamment pour chaque valeur de kr, ce phénomène est plus marqué, clairement centré sur une fréquence unique, ren-forçant l’idée que cette moindre convergence se produit pour une valeur fixe du produit kr, tout comme le phénomène d’interaction. Toutefois, cette moindre convergence est centrée sur une valeur de kr=1,75 dans cette configuration. Celle-ci diffère de la valeur de kr=1,3 à laquelle ces interactions ont été précédemment identifiées dans les fonctions de cohérence (chap.4).

L’information plus globale, pouvant être obtenue en considérant l’évolution de l’intégration fréquentielle des valeurs propres 5.1, met en évidence deux types d’évolutions en fonction de l’ordre POD considéré. En effet, jusqu’à l’ordre 4, le niveau des premières valeurs propres diminue rapidement (fig.5.5(a)). Ces valeurs propres, de niveau élevé (dominées par les basses fréquences), présentent une convergence rapide et la quasi-totalité de l’énergie globale leur est associée (plus de 95%, fig. 5.5(b)). L’évolution des valeurs propres d’ordre supérieur est beaucoup plus lente. Ce comportement traduit celui des hautes fréquences, supérieures à 1 kHz (StD=0,5), et peut être associé au comportement de la partie acoustique du champ de pression proche.

(a) Valeurs propres globales e(n) (b) Convergences globales E(n)/E^(Npod)

FIG. 5.5 – Intégrale des valeurs propres et convergences de la POD-1D sur configuration co-nique subsoco-nique

Ces premiers résultats indiquent que la POD opère comme un détecteur permettant de faire ressortir l’organisation dominante du champ de pression. En particulier, elle fait ressortir une différence importante de comportement entre les hautes et basses fréquences, dominées respec-tivement par des contributions hydrodynamique ou acoustique, ainsi qu’une fréquence singu-lière à l’interface de ces deux zones.

Toutefois, ces valeurs propres ne sont représentatives que d’une information globale valable pour l’étendue du domaine d’analyse. Il est donc nécessaire de compléter cette analyse par celle des fonctions propres qui leur sont associées et qui possèdent un caractère spatial.

5.2.4 Fonctions propres

Nous considérons ici l’évolution spatio-fréquentielle du module des fonctions propres POD

5.2: |Φ(n)(x ; ω)|. Seuls les trois premiers modes, les plus énergétiques, sont ici considérés. Ils représentent plus de 90% de l’énergie du champ de pression mesuré.

Le module de ces fonctions propres est reporté sur la figure5.6. Des résultats similaires à ceux obtenus par Ricaud [171] pour une même position d’antenne sont retrouvés. La première fonction propre présente des niveaux d’énergie non négligeables pour la gamme des basses fré-quences inférieures à 2 kHz (St_D=1,0) avec un maximum pointant sur une fréquence de 200 Hz (StD=0,1). L’étendue spatiale de cette fonction propre est importante, couvrant l’ensemble du domaine d’analyse. La zone de niveau d’énergie maximale pointe sur la partie en aval de la fin du cône potentiel avec un maximum en x/D de l’ordre de 5,0.

(a) Mode POD n=1 (b) Mode POD n=2

(c) Mode POD n=3

FIG. 5.6 – Module des trois premières fonctions propres |Φ(n)(x ; ω)| POD-1D sur configuration conique subsonique

Les fonctions propres d’ordre 2 et 3 présentent également une grande étendue spatiale pour une gamme de fréquences similaire. Ces fonctions présentent plusieurs maxima, respectivement au nombre de 2 et 3, pointant également sur une fréquence de 200 Hz (St_D=0,1) mais de po-sitions longitudinales distinctes. Le nombre croissant de maxima des modules des fonctions propres est induit par le nombre croissant de passages par zéro des vecteurs propres eux-mêmes avec l’augmentation de l’ordre du mode POD. Cette propriété de la décomposition est liée à l’orthogonalité de ses modes propres (cf. §3.1.2).

5.2.5 Conclusions

L’application de la décomposition orthogonale avec une approche monodimensionnelle nous permet ici de retrouver les résultats de Ricaud [171] dans le cadre de la configuration conique.

De manière générale, l’analyse POD spectrale met en évidence la nature différente du champ de pression en fonction de la fréquence considérée. La majeure partie de l’énergie est associée aux basses fréquences pour lesquelles le champ de pression est très structuré et peut être consi-déré comme dominé par des contributions de nature hydrodynamique. De plus, la séparation fréquentielle entre ces zones est marquée par une moindre convergence, signe d’une altération importante de la structuration du champ de pression.

L’étude réalisée ici porte sur des mesures réparties le long du jet pour une seule position angulaire. L’ensemble des contributions azimutales du champ de pression est alors intégré. Dans la suite de ce chapitre, ces contributions sont considérées indépendamment.