Percolation au-del` a de l’ind´ ependance

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1.1 Les mod` eles de percolation

1.1.3 Percolation au-del` a de l’ind´ ependance

Dans une autre direction de recherche importante sur la th´eorie de la percolation, on peut ´etudier des mod`eles plus complexes du point de vue probabiliste (c’est-` a-dire des mesures avec d´ependance), tout en restant dans la g´eom´etrie la plus simple (c’est-`a-direG=Zd).

En physique statistique, de nombreux mod`eles de percolation d´ependante appa-raissent naturellement, ce qui rend leur ´etude int´eressante tant du point de vue math´ematique que physique. Dans ce contexte, la percolation de Bernoulli pourrait ˆetre consid´er´ee comme un mod`ele jouet. Dans cette sous-section, nous mentionnerons certains des prin-cipaux mod`eles de percolation corr´el´es ´etudi´es dans la litt´erature, ainsi que quelques r´esultats et conjectures. Nous mettrons un accent particulier sur la percolation de lignes de niveau du champ libre gaussien, car c’est l’un des principaux objets ´etudi´es dans cette th`ese. Nous pensons cependant que les techniques que nous d´eveloppons pourraient ˆetre utiles pour ´etudier d’autres mod`eles avec des corr´elations `a longue distance.

Percolation FK : La percolation FK a ´et´e introduit par Fortuin et Kasteleyn en 1972 [64]. C’est sˆurement le deuxi`eme mod`ele de percolation le plus ´etudi´e apr`es celui de Bernoulli, probablement en raison de ses liens ´etroits avec le mod`ele de Potts, un c´el`ebre syst`eme de spins en physique statistique, lequel a comme cas particulier le mod`ele d’Ising (celui-ci encore plus connu). La d´efinition de la percolation FK est la suivante. ´Etant donn´e q >0,p∈[0,1] etG un sous-graphe fini deZd, on consid`ere la mesure de probabilit´e sur {0,1}E(G) d´efinie par

φG;p,q(ω)∝po(ω)(1−p)c(ω)qk(ω), (1.1.13) o`u o(ω), c(ω) et k(ω) d´esignent respectivement le nombre d’arˆetes ouvertes, d’arˆetes ferm´ees et de composants connexes deω. Le mod`ele peut ensuite ˆetre d´efini sur l’espace complet Zd en prenant les limites faibles de φG;p,q lorsque G ↑ Zd. Cette mesure en volume infini est simplement d´enot´ee parφp,q. Pour tout q fixe,φp,q d´efinit un mod`ele de percolation naturelle lorsque pvarie. Deux cas particuliers sont q= 1 et q= 2 : on peut facilement voir que le premier correspond `a la percolation de Bernoulli ; tandis que le second est intimement li´e au mod`ele d’Ising. R´esumons bri`evement certains des r´esultats les plus importants concernant ce mod`ele. Premi`erement, presque tous les r´esultats connus concernent q ≥ 1 car dans ce cas, le mod`ele satisfait `a l’in´egalit´e FKG, un outil cl´e de la th´eorie de la percolation. L’existence de sa transition de phase est facile `a obtenir pour chaque q ≥ 1 et d ≥ 2. Dans le cas planaire d = 2, on peut utiliser la dualit´e pour calculer le point critique, qui s’av`ere ˆetre donn´e parpc(q) =

q 1+

q

pour chaque q ≥ 1, voir [20]. Toujours dans le cas planaire, on peut prouver que la transition de phase est continue pour 1 ≤ q ≤ 4 [60] et discontinue pour q > 4 [54].

Dans le cas particulier q= 2, on peut mˆeme prouver l’invariance conforme et calculer les exposants (pr`es-)critiques [148,44]. On s’attend `a des r´esultats similaires pour tous les q ∈ [1,4], chaque valeur de q correspondant `a une classe d’universalit´e diff´erente.

Pour les dimensions arbitraires, la d´ecroissance exponentielle en sous-critique n’a ´et´e obtenue que r´ecemment par Duminil-Copin, Raoufi et Tassion [58]. Ce r´esultat n’´etait connu auparavant que pour q = 1 (percolation de Bernoulli) et q = 2 (correspondant au mod`ele d’Ising) [7]. C’est toujours le cas pour la d´ecroissance exponentielle des clusters finis en sur-critique, qui n’est actuellement connue que pourq = 1 [115, 6] et

q= 2 [32], mais certains progr`es ont ´et´e r´ealis´es concernant la conjecture de Schramm sur la localit´e, au moins pour les valeurs enti`eres de q [62]. Quant au r´egime (quasi-)critique dans les dimensionsd≥3, on sait tr`es peu de choses pour les valeurs g´en´erales de q. Cependant, le cas particulier q = 2 poss`ede une structure suppl´ementaire qui permet une meilleure compr´ehension du mod`ele. Par exemple, on sait que pourq = 2, la transition de phase est continue pour toutes les dimensions [8]. Rappelons qu’un r´esultat correspondant pour le cas (`a premi`ere vue plus simple) de la percolation de Bernoulli reste largement ouvert, voir Conjecture 2.1.5 ci-dessus. Nous renvoyons le lecteur int´eress´e `a [71, 53] pour en savoir plus sur la percolation FK.

Mod`eles fortement corr´el´es : Au cours des deux derni`eres d´ecennies, toute une classe de mod`eles de percolation `a forte corr´elation a fait l’objet d’´etudes in-tenses. Une caract´eristique commune des mod`eles mentionn´es ci-dessous est qu’ils sont construits sur Zd, d ≥ 3, et les corr´elations entre les observables locales autour de x et y d´ecroissent comme |x−y|2−d lorsque |x−y| tend `a ∞. Cette lente d´ecroissance (non-sommable) rend l’´etude de tels mod`eles tr`es difficile. Le premier exemple (et pro-bablement le plus influent) que nous voulons mentionner est le mod`ele des entrelacs al´eatoires introduit par Sznitman [152]. Ce mod`ele d´ecrit la limite locale de la trace laiss´ee par une marche al´eatoire sur le tore (Z/NZ)d lorsque N → ∞ et est li´e `a divers probl`emes de couverture et de fragmentation des marches al´eatoires, voir par exemple [150, 151, 164, 42]. Un autre exemple de ces mod`eles est la “soupe de bou-cles”, qui est un ensemble poissonnien de lacets de marche al´eatoire, voir par exemple [97, 98, 43,102]. Un troisi`eme exemple est le percolation du mod`ele du voteur, obtenu en consid´erant les probabilit´es stationnaires extr´emales pour le mod`ele d’´election, voir par exemple [100,108,135]. Le dernier exemple que nous voulons mentionner est celui des lignes de niveau du champ libre gaussien. Ce mod`ele a ´et´e ´etudi´e `a l’origine par Lebowitz et Saleur dans [100] comme un mod`ele de percolation canonique avec une lente d´ecroissance des corr´elations, et a re¸cu depuis lors une attention consid´erable.

C’est l’un des principaux objets ´etudi´es dans cette th`ese et nous en parlerons plus en d´etail ci-dessous.

Lechamp libre gaussien (GFF) sur Zd, pourd≥3, est le champ gaussien centr´e, `a valeur r´eelle ϕ={ϕx :x∈Zd} avec la fonction de covariance E[ϕxϕy] =g(x, y) pour tous les x, y ∈ Zd, o`u g d´esigne la fonction de Green pour la marche al´eatoire simple surZd. Notez queϕne peut ˆetre d´efini que sur des graphes transients, et c’est la raison pour laquelle nous nous limitons `a d ≥ 3. Pour tout h ∈ R fix´e, on peut consid´erer les excursions (ou lignes de niveau) au-dessus de h, d´enot´ees par {ϕ ≥ h} := {x ∈ Zd: ϕx ≥h}. Lorsquehvarie, cela d´efinit naturellement un mod`ele de percolation par site (coupl´e de fa¸con monotone). Dans ce contexte, le mod`ele est en fait d´ecroissant enh et son point critique h est d´efini comme

h =h(d) := inf

h∈R: P[0←−→ ∞] = 0ϕ≥h . (1.1.14) On peut se demander, comme dans la question Q1, si h est non trivial, c’est-`a-dire h 6=±∞. En raison des fortes corr´elations, il est beaucoup plus difficile de r´epondre

`

a cette question pour ce mod`ele que pour la percolation de Bernoulli. Il a ´et´e prouv´e par Bricmont, Lebowitz et Maes dans [35] que h(3) < +∞ et h(d) ≥ 0 pour tous lesd≥3 (en fait, il a ´et´e r´ecemment montr´e [50] queh(d)>0). Pour les dimensions sup´erieures, l’existence d’une transition de phase a ´et´e compl´et´ee dans l’article de Rodriguez et Sznitman [138], qui montre que h(d) < +∞ pour tous les d ≥ 3.

Concernant la questionQ2, on peut prouver par exemple queh(d)∼√

2 logdlorsque d→ ∞, voir [52].

Dans le chapitre5, nous prouvons le r´esultat suivant, qui est un analogue des deux th´eor`emes 1.1.1 et 1.1.3, et peut donc ˆetre consid´er´e comme une r´eponse aux deux questions Q3 etQ4 pour les lignes de niveau du GFF.

Th´eor`eme 1.1.21 ([56]). Pour chaque d≥ 3 et h6= h, il existeρ =ρ(d) ∈(0,1] et c=c(d, h)>0 tels que pour chaqueN ≥1,

P[0←−→ϕ≥h ∂BN, x

ϕ≥h

6

←→ ∞]≤e−cNρ. (1.1.15) A notre connaissance, le th´` eor`eme 1.1.21 est le premier exemple d’une approche unifi´ee pour la compr´ehension des r´egimes sous-critiques et sur-critiques des mod`eles de percolation. Nous pensons que ce travail contribuera `a la compr´ehension des phases non critiques d’autres mod`eles de percolation fortement corr´el´es, comme ceux mentionn´es ci-dessus.

Comme dans le cas de la percolation de Bernoulli sur Zd, la d´ecroissance rapide (1.1.15) a de nombreuses cons´equences sur les phases non critiques. Il est possible de prouver que la d´ecroissance de (1.1.15) est exponentielle (c’est-`a-dire ρ = 1) pour tous les d ≥ 4, avec une correction logarithmique pour d = 3, voir [132, 131, 69].

Dans le r´egime sur-critique h < h, diverses propri´et´es g´eom´etriques du cluster infini (unique)Ch en{ϕ≥h}peuvent ˆetre d´eriv´ees de la d´ecroissance rapide (1.1.15), toutes montrant qu’il se “comporte bien”. Par exemple, la distance chimique (c’est-`a-dire la distance intrins`eque) ρ sur Ch est comparable `a la distance euclidienne, et les boules (redimensionn´ees) dans la m´etriqueρ convergent vers une forme d´eterministe [51]. De plus, on peut prouver que la marche al´eatoire surCh satisfait un principe d’invariance quenched [133] et des bornes gaussiennes quenched pour son noyau de la chaleur, ainsi que des in´egalit´es de Harnack elliptiques et paraboliques, entre autres [17]. Il a ´et´e prouv´e que la densit´e de percolation θ(h) := P[0 ←−→ ∞] est deϕ≥h C1 sur (−∞, h), voir [159]. Le probl`eme des grandes d´eviations pour les ´ev´enements de d´econnexion a

´egalement re¸cu une attention consid´erable ; voir [157, 123, 122, 45].

Enfin, nous voudrions souligner que pour tous les mod`eles fortement corr´el´es men-tionn´es ci-dessus, rien n’est actuellement prouv´e concernant leurs r´egimes critiques et quasi-critiques. Cependant, certains r´esultats sont connus pour un autre mod`ele

´etroitement li´e, `a savoir les lignes de niveau du GFF sur le graphe m´etrique ˜Zd, un objet introduit par Lupu [102]. En effet, ce mod`ele contient quelques propri´et´es

“d’int´egrabilit´e”, qui permettent certains calculs explicites. En particulier, on sait que son point critique h est ´egal `a 0 pour toutes les dimensions [102]. Dans [48], Ding et Wirth exploitent ces propri´et´es particuli`eres afin de prouver quelques r´esultats concer-nant le r´egime (quasi-)critique. Nous pensons que ce mod`ele est tr`es int´eressant et qu’une ´etude plus approfondie de son r´egime (quasi-)critique pourrait ˆetre un point de d´epart plausible vers une meilleure compr´ehension des autres mod`eles fortement corr´el´es mentionn´es ci-dessus.

Mod`eles continus : La th´eorie de la percolation n’est pas limit´ee au contexte discret des graphes. Certains mod`eles peuvent ˆetre construits sur l’espace continu Rd (ou mˆeme des vari´et´es g´en´erales). D’une part, ces mod`eles ont souvent l’avantage d’h´eriter directement des sym´etries de l’espace ambiant Rd, qui est plus riche que les

sym´etries du r´eseau Zd. D’autre part, leur ´etude passe souvent (mais pas toujours) par des proc´edures de discr´etisation qui visent `a importer des id´ees du monde discret (plus classique). Nous mentionnerons trois des mod`eles de percolation continue les plus pertinents surRd.

Le premier exemple est la percolation de Vorono¨ı, qui est construite comme suit.

On commence avec une tessellation de Vorono¨ı construite `a partir d’un processus de Poisson d’intensit´e 1 sur Rd. ´Etant donn´e p∈ [0,1], on d´eclare que chaque cellule est ouverte ou ferm´ee ind´ependamment avec une probabilit´e depet 1−p, respectivement.

Voir [28, 33,161,4, 57] pour quelques r´esultats sur ce mod`ele.

Le second mod`ele est connu sous le nom de percolation bool´eenne. Il est construit en pla¸cant des boules de rayon al´eatoire ind´ependant centr´ees sur un processus de Poisson de param`etre λ. On peut alors ´etudier la percolation de l’ensemble occup´e ou de l’ensemble vacant lorsque λ varie. Voir [80, 113, 70, 5, 128, 59] pour quelques r´esultats concernant ce mod`ele.

Le troisi`eme et dernier exemple est en fait une classe enti`ere de mod`eles : les lignes de niveau pour les champs gaussiens lisses. Comme son nom l’indique, il est similaire

`

a la percolation GFF discut´ee ci-dessus, mais dans ce cas, un champ gaussien lisse sur Rd joue le rˆole du GFF discret. Deux exemples int´eressants de tels champs sont l’onde planaire al´eatoire et le champ de Bargmann-Fock. Ces mod`eles ont fait l’objet d’une attention consid´erable au cours de la derni`ere d´ecennie, en particulier dans la dimension 2. Voir [116, 141,11,120,39, 142,21,136,22,119] pour plus de d´etails sur ces mod`eles.

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