Les am´ eliorations essentielles

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1.2 Les m´ ecanismes d’interpolation

1.2.1 Les am´ eliorations essentielles

a la percolation GFF discut´ee ci-dessus, mais dans ce cas, un champ gaussien lisse sur Rd joue le rˆole du GFF discret. Deux exemples int´eressants de tels champs sont l’onde planaire al´eatoire et le champ de Bargmann-Fock. Ces mod`eles ont fait l’objet d’une attention consid´erable au cours de la derni`ere d´ecennie, en particulier dans la dimension 2. Voir [116, 141,11,120,39, 142,21,136,22,119] pour plus de d´etails sur ces mod`eles.

1.2 Les m´ ecanismes d’interpolation

Dans cette section, nous aborderons la principale technique utilis´ee dans cette th`ese, qui nous permettra de comparer diff´erents mod`eles de percolation `a diff´erents param`etres en les interpolant de fa¸con continue. Cette technique a ´et´e utilis´ee pour la premi`ere fois dans les travaux de Aizenman et Grimmett [9] et Menshikov [114] afin de prouver de in´egalit´es strictes entre des points critiques. Nous d´ecrivons d’abord le contexte de [9], puis nous expliquons comment cette id´ee g´en´erale est utilis´ee dans chacun des chapitres suivants.

1.2.1 Les am´ eliorations essentielles

Nous consid´erons la percolation par site de Bernoulli surZd– c’est le cadre ´etudi´e `a l’origine dans [9], mais il est simple d’adapter toutes les d´efinitions (mais pas n´ecessairement les r´esultats) `a la percolation par arˆete ou par site sur des graphes transitifs g´en´eraux. `A chaque configurationω ∈Ω ={0,1}Zd nous associons un sous-ensemble fini du r´eseau E0(ω)⊂ Zd. Nous supposons de plus que E0 est une fonction locale de ω, c’est-`a-dire qu’il existeR ≥0 tel queE0(ω) ne d´epend que de la restriction deω`aBR. Pour chaque x ∈Zd, soitEx la translation de E0 par x, qui est d´efinie par Ex(ω) = x+E0(ω−x).

Enfin, d´efinissons laconfiguration am´elior´ee ˆ

ω :=ω∪ [

x∈Zd

Ex(ω)

. (1.2.1)

En r´esum´e, le mod`ele am´elior´e est obtenu en ouvrant localement des sommets suppl´ e-mentaires dans le mod`ele de configuration original en utilisant une fonction locale (d´eterministe). Nous pensons ici `aω distribu´ee comme la percolation de Bernoulli de param`etrep. Une question naturelle est de savoir s’il est “plus facile de percoler” dans ˆ

ω que dans ω : y a-t-il un p < pc(Zd) tel que

Pp[il existe un cluster infini dans ˆω]>0 ?

Bien sˆur, en g´en´eral, la r´eponse `a cette question est non : par exemple, prenez une fonction d’am´eliorationE0 satisfaisantE0(ω)⊂ω pour tous lesω ∈Ω (et donc ˆω=ω).

Il faut supposer que E0 a le potentiel de cr´eer de nouvelles connexions. Dans cette perspective, on dit qu’une am´elioration E0 est essentielle s’il existe une configuration ω∈Ω telle que ω ne contient pas de chemin doublement infini alors queω∪ E0(ω) en contient.

Aizenman et Grimmett visent `a prouver dans [9] que toute am´elioration essen-tielle favorise la percolation. Leur strat´egie consiste en fait `a prouver un r´esultat plus fort : toute am´elioration stochastique aide `a la percolation. ´Etant donn´e p, s ∈ [0,1], l’am´elioration stochastique de param`etres p et s est d´efinie comme suit : soit ω dis-tribu´ee comme Pp etα distribu´ee comme Ps, consid´erons

ˆ

ωα :=ω∪ [

x∈α

Ex(ω)

. (1.2.2)

Remarquez que la distribution de ˆωα, que nous d´esignons d´esormais parPp,s, est crois-sante en s et correspond exactement `a ˆω (resp. ω) quand s = 1 (resp. s = 0). Avec cette interpolation `a disposition, nous pouvons maintenant d´ecrire la strat´egie de [9].

Pour tout L≥1 fix´e, on consid`ere

θL(p, s) :=Pp,s[0←→∂BL]. (1.2.3) Il est clair que la fonctionθL est diff´erentiable en pets(en fait, c’est un polynˆome) et θL(p, s)→θ(p, s) :=Pp,s[0←→ ∞] lorsque L→ ∞. On vise alors `a prouver le r´esultat suivant.

Th´eor`eme 1.2.1 ([9, 16]). Pour chaque am´elioration essentielle E surZd, d∈ {2,3}, et touts >0 (en particulier s= 1), il existe p=p(s)< pc(Zd) tel que θ(p, s)>0.

La preuve consiste `a montrer que pour toutε >0, il existec=c(ε)>0 etL0(ε)≥1 tels que pour toutp, s∈[ε,1−ε] et L≥L0, nous avons

∂sθL(p, s)≥c ∂

∂pθL(p, s). (1.2.4)

En effet, supposons que (1.2.4) soit vrai. Il est facile de voir que, puisquepc(Zd)∈(0,1), pour tout s ∈(0,1), il y a un certain ε > 0 tel que nous pouvons trouver une courbe

— en fait un segment de ligne — (p(t),s(t))t∈[0,s]dans [ε,1−ε]2 satisfaisant ps00(t)(t) =−c pour tous les t ∈ [0, s], et p0 := p(0) > pc(Zd), p := p(s) < pc(Zd), s(s) = s. Main-tenant, (1.2.4) implique que t 7→ θL(p(t),s(t)) est une fonction non croissante pour tous les L ≥ L0, donc t 7→ θ(p(t),s(t)) = limLθL(p(t),s(t)) est ´egalement croissant.

En particulier, nous avons

θ(p, s) =θ(p(s),s(s))≥θ(p(0),s(0)) ≥θ(p0,0)>0,

o`u dans la derni`ere in´egalit´e, nous utilisons p0 > pc(Zd).

Nous allons maintenant expliquer bri`evement comment on peut obtenir (1.2.4). On peut exprimer les d´eriv´es en p et s en termes d’´ev´enements de pivotalit´e en utilisant la formule de Russo [139]. ´Etant donn´e un ´ev´enement local A et un sommet x, on dit que x est +p pivot pour A dans la configuration (ω, α) si (ω\ {x}, α) ∈/ A mais (ω ∪ {x}, α) ∈ A. D’autre part, nous disons que x est −p pivot pour A dans la configuration (ω, α) si (ω∪ {x}, α) ∈/ A mais (ω \ {x}, α) ∈ A. De mˆeme, on peut d´efinir la±s pivotalit´e en rempla¸cant le rˆole deω par celui deα. On peut alors ´ecrire la formule de Russo comme

∂pPp,s[A] = X

x∈Zd

(Pp,s[x est +ppivotal pour A]−Pp,s[xest −ppivotal pour A]), (1.2.5)

∂sPp,s[A] = X

x∈Zd

(Pp,s[x est +s pivot pour A]−Pp,s[x est−s pivot pour A]). (1.2.6) Remarquez que par monotonie en s, il n’existe pas de points −s pivots pour A = {0 ←→ ∂BL}. Par cons´equent, (1.2.4) d´ecoule directement de (1.2.5) et (1.2.6) si l’on prouve que les points pivots +s peuvent ˆetre construits `a partir des points pivots +p en payant un un prix multiplicatif constant, ou plus pr´ecis´ement si

X

x∈Zd

Pp,s[x est +s pivot pour A]≥cX

x∈Zd

Pp,s[xest +p pivot pour A]. (1.2.7) Puisque p, s∈[ε,1−ε], les modifications locales ne changent les probabilit´es que par un facteur multiplicatif constant (d´ependant de ε > 0), et on peut donc facilement v´erifier que (1.2.7) d´ecoule directement de l’´enonc´e d´eterministe suivant :

Lemme 1.2.2 (Chirurgie locale). Pour chaque am´elioration essentielle E, il existe R, L0 ≥ 1 satisfaisant la propri´et´e suivante. Pour chaque L ≥ L0, chaque sommet x ∈ BL, et chaque configuration (ω, α) telle que x est +p pivot pour {0 ←→ ∂BL} dans (ω, α), il existe une autre configuration (ω0, α0) et un sommet y ∈ BR(x) tels que (ω0, α0) est identique `a (ω, α) sur le compl´ement deBR(x), et y est +s pivot pour {0←→∂BL} dans (ω0, α0).

Bien que cette affirmation soit tr`es intuitive et purement d´eterministe, il s’av`ere que la prouver pour des am´eliorations essentielles g´en´erales peut ˆetre difficile en raison de certaines pathologies g´eom´etriques. En fait, Aizenman et Grimmett ont affirm´e ce r´esultat pour toutes les dimensions dans leur article original [9], mais leur preuve n’´etait pas enti`erement correcte. Balister, Bollob´as et Riordan visaient `a le prouver rigoureusement dans [16], ce qu’ils n’ont r´eussi que pour les dimensionsd∈ {2,3}. Le mˆeme r´esultat pour d ≥4 reste ouvert.

Malgr´e la lacune technique mentionn´ee ci-dessus dans la partie d´eterministe de leur argument, la partie probabiliste de [9], qui est encapsul´ee dans (1.2.4) ci-dessus, ´etait correcte. De plus, pour les am´eliorations naturelles explicites E, il n’est souvent pas difficile de v´erifier que le lemme 1.2.2est vrai.

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