Le mod` ele original : percolation ind´ ependante sur Z d

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1.1 Les mod` eles de percolation

1.1.1 Le mod` ele original : percolation ind´ ependante sur Z d

Dans cette section, nous aborderons le mod`ele le plus classique et le plus ´etudi´e de la th´eorie de la percolation : la percolation de Bernoulli (ou ind´ependante) sur le r´eseau hypercubiqueZd. Il s’agit de l’exemple le plus simple de mod`ele de percolation, tant du point de vue g´eom´etrique (euclidien) que probabiliste (ind´ependant). Comme mentionn´e ci-dessus, il a ´et´e introduit par Broadbent et Hammersley en 1957 [36] et est d´efini en prenant simplement G = Zd et Pp la mesure produit de marginales Ber(p).

Par souci de simplicit´e, n’envisageons ici que la percolation par arˆete. Nous conseillons au lecteur int´eress´e de consulter le livre [74] pour en savoir plus sur ce mod`ele classique.

La r´eponse `a la questionQ1 est relativement simple dans ce cas. Tout d’abord, un argument de comptage simple donne pc(Zd)> 0 pour chaque d≥ 1. Il est ´egalement facile de se convaincre que pc(Z) = 1. Un argument combinatoire bas´e sur une borne pour le nombre de surfaces s´eparantes, due `a Peierls [127] dans l’´etude du mod`ele Ising, peut ˆetre utilis´e pour prouver que pc(Zd)<1 pour chaque d ≥2. En r´esum´e, la transition de phase est non triviale si et seulement si d >1.

La question Q2 est un peu plus subtile, mais pour d = 2 on dispose d’un outil puissant, appel´e dualit´e. Pour toute configuration par arˆete ω sur un graphe planaire G, on peut associer une configuration dualeω sur son graphe dual G par la relation ω(e) := 1−ω(e), o`u l’arˆete e est la duale de e. Cela implique que le “compl´ement”

de Pp est distribu´e comme P1−p sur G. Puisque le dual de Z2 est lui-mˆeme, on pourrait naturellement conjecturer que pc(Z2) est la solution de 1− p = p, c’est-`

a-dire pc(Z2) = 1/2. Ce n’est qu’en 1980 que Kesten [88] donne une preuve `a cette conjecture. Quant `a d ≥ 3, il n’y a aucune raison de croire que pc(Zd) pourrait ˆetre explicitement calcul´e. Cependant, certaines estimations peuvent ˆetre prouv´ees, par exemple pc(Zd)∼1/2d lorsque d→ ∞ [92].

La question Q3 n’a re¸cu une r´eponse satisfaisante qu’au milieu des ann´ees 80, lorsque Aizenman et Barsky [6] et Menshikov [115] ont montr´e ind´ependamment que pour chaque p < pc, les clusters sont non seulement finis presque sˆurement, mais typiquement tr`es petits. Plus pr´ecis´ement, ils ont prouv´e une d´ecroissance exponentielle pour la queue du diam`etre d’un cluster.

Th´eor`eme 1.1.1 ([6, 115]). Pour chaque d ≥1 et p < pc(Zd), il existe c >0 tel que pour chaque N ≥1,

Pp[0←→∂BN]≤e−cN. (1.1.2) On peut encore am´eliorer ce r´esultat pour obtenir une d´ecroissance similaire pour le volume d’un cluster (voir [74] pour une preuve). ´Etant donn´e un sommet x, on d´enote par Cx le cluster dex.

Th´eor`eme 1.1.2. Pour chaque d ≥ 1 et p < pc(Zd), il existe c > 0 tel que pour chaqueN ≥1,

Pp[|C0| ≥N]≤e−cN. (1.1.3) .

Ces r´esultats ont de nombreuses cons´equences. Il ressort des th´eor`emes 1.1.1 et 1.1.2que le plus grand cluster `a l’int´erieur deBN a une taille (diam`etre ou volume) de l’ordre de logN avec une grande probabilit´e. Une autre cons´equence est que l’esp´erance de la taille du cluster p7→χ(p) :=Ep[|C0|] est analytique sur [0, pc), voir [89].

Comprendre la phase sur-critique p > pc – et donc r´epondre `a la questionQ4 – est plus difficile. ´Evidemment, dans ce cas, les clusters peuvent ˆetre de deux types : infinis ou finis. Il a ´et´e prouv´e par Aizenman, Kesten et Newman [10] que le cluster infini est presque sˆurement unique pour chaque d ≥2. Une preuve alternative et tr`es ´el´egante a ´et´e obtenue plus tard par Burton et Keane [37]. Ce r´esultat implique, par exemple, que la fonction densit´e de percolation

θ(p) := Pp[0←→ ∞] (1.1.4)

est continue sur (pc,1] (notez que θ(p) = 0 pour tous p < pc, alors que θ(p) > 0 pour tous p > pc). Dans le cas planaire, on peut utiliser la dualit´e pour extraire des informations sur la phase sur-critique (p > pc= 1/2) `a partir de la phase sous-critique (p < pc = 1/2). Cela implique facilement que, pour d = 2, le diam`etre d’un cluster fini a ´egalement une queue exponentielle. Le progr`es cl´e dans la compr´ehension de la phase sur-critique pour les dimensions d ≥ 3 est arriv´e avec le travail de Grimmett et Marstrand [75]. Leur r´esultat dit que pour chaque d ≥ 3 et p > pc(Zd), il existe M = M(d, p) ≥ 0 suffisamment grand pour qu’il y ait un cluster infini `a p dans Z2×[−M, M]d−2. Il n’est alors pas tr`es difficile de d´eduire ce qui suit (voir [74] pour une preuve).

Th´eor`eme 1.1.3. Pour chaque d ≥ 2 et p > pc(Zd), il existe c > 0 tel que pour chaqueN ≥1,

Pp[0←→∂BN, x←→ ∞]6 ≤e−cN. (1.1.5) .

Comme pour la phase sous-critique, on peut aussi ´etudier la distribution de la queue pour le volume d’un cluster fini, mais contrairement au cas sous-critique, la d´ecroissance n’est pas exponentielle (voir [74] pour une preuve).

Th´eor`eme 1.1.4. Pour chaque d ≥ 2 et p > pc(Zd) il existe C, c > 0 tels que pour chaqueN ≥1,

e−CN

d−1

d ≤Pp[N ≤ |C0|<∞]≤e−cN

d−1

d . (1.1.6)

L`a encore, une cons´equence directe de ces th´eor`emes est que, dans la phase sur-critique p > pc(Zd), le plus grand cluster fini `a l’int´erieur de BN aura typiquement un diam`etre d’ordre logN, mais un volume d’ordre (logN)d−1d . En utilisant des tech-niques de renormalisation, on peut d´eduire plus d’information sur la phase sur-critique en se basant sur le r´esultat de Grimmett et Marstrand. Par exemple, on peut prou-ver que pour tous les p > pc, la distance chimique (c’est-`a-dire intrins`eque) dans le cluster infini (unique) Cp est comparable `a celle de la distance euclidienne [12]

et que la marche al´eatoire simple sur Cp satisfait un principe d’invariance quen-ched [146, 31, 112] ainsi que des bornes gaussiennes quenched pour son noyau de la chaleur [17]. On peut ´egalement ´etudier de grands clusters finis, en prouvant des r´esultats de grandes d´eviations et la convergence (apr`es renormalisation) vers une forme d´eterministe, connue sous le nom de cristal de Wulff [40]. Tr`es r´ecemment, Georgakopoulos et Panagiotis [68] se sont ´egalement bas´es sur les r´esultats de Grim-mett et Marstrand pour prouver que la densit´e de percolation θ est analytique sur (pc,1] pour tous lesd≥2.

Les questionsQ5etQ6sont substantiellement plus d´elicates. La premi`ere question naturelle li´ee `aQ5 est de savoir s’il existe un cluster infini `a pc ou non. Cela conduit

`

a la conjecture suivante

Conjecture 1.1.5. Pour chaque d≥2, on a θ(pc) = 0.

C’est certainement l’une des conjectures les plus c´el`ebres de la th´eorie des pro-babilit´es, et elle est souvent appel´ee “conjecture de θ(pc) = 0” ou “continuit´e de la transition de phase”. En effet, θ(pc) = 0 est ´equivalent `a la continuit´e de la fonctionθ puisqu’on sait d´ej`a qu’elle est continue sur (pc,1] (mˆeme analytique, comme mentionn´e ci-dessus), identiquement 0 sur [0, pc) et continue `a droite enpc, voir [74].

Pour d= 2, il a ´et´e prouv´e par Harris [82] que θ(1/2) = 0, ce qui, combin´e avec le r´esultat de Kesten [88] que pc(Z2) = 1/2, ´etablit la Conjecture1.1.5dans ce cas. Hara et Slade [81] ont prouv´e la Conjecture 1.1.5 pour d ≥ 19 en utilisant une technique connue sous le nom lace expansion. Leurs id´ees ont ensuite ´et´e exploit´ees, et le mˆeme r´esultat est maintenant connu pour tous lesd≥11, voir [63]. Cependant, leur approche consiste `a prouver que la percolation critique pr´esente un comportement dit de champ moyen, ce qui ne devrait ˆetre vrai que pour d ≥ 6. Par cons´equent, une solution compl`ete `a la Conjecture 1.1.5 n´ecessiterait des techniques diff´erentes, les dimensions 3, 4 et 5 ´etant les cas les plus int´eressants et les plus difficiles. Mentionnons que, pour d ≥ 2, il a ´et´e prouv´e par Barsky, Grimmett et Newman [18] que θ(pc) = 0 pour le demi-espace N×Zd−1, mais obtenir ce r´esultat pour l’espace complet Zd semble ˆetre tr`es difficile.

Bien qu’il ne devrait pas y avoir de cluster infini `apc, on s’attend `a ce que les clusters (finis) aient un comportement sensiblement diff´erent de celui de la phase sous-critique.

En effet, alors que les probabilit´es de connexion d´ecroissent exponentiellement rapi-dement pour p < pc (voir le th´eor`eme 1.1.1 ci-dessus), les mˆemes quantit´es devraient pr´esenter une d´ecroissance polynomiale `apc. Les exposants r´egissant ces d´ecroissances alg´ebriques sont appel´es exposants critiques. Leurs valeurs sont d’une grande impor-tance d’un point de vue physique. Les mod`eles de percolation critiques (en fait, les mod`eles de physique statistique en g´en´eral) devraient avoir une limite d’´echelle non triviale li´ee `a des th´eories conformes des champs (CFTs) lorsque leur transition de phase est continue. Les valeurs des exposants critiques sont des caract´eristiques cl´es de leur “classe d’universalit´e”, et sont donc directement reli´es `a la CFT obtenue en prenant leur limite d’´echelle.

Sur le plan math´ematique, de grands progr`es ont ´et´e r´ealis´es dans le cas planaire.

Dans son c´el`ebre article [147], Smirnov a prouv´e que la percolation Bernoulli par site sur le r´eseau triangulaireTau point critique a une limite d’´echelle invariante conforme.

En prenant comme point de d´epart les travaux de Smirnov, de nombreuses autres propri´et´es fines de la percolation critique planaire ont ´et´e obtenues, y compris le calcul de ses exposants critiques [149]. Un objet important dans l’´etude des mod`eles critiques dans le plan est l’´Evolution de Schramm-Loewner (SLE), introduite par Schramm [144], qui est une famille (`a un param`etre) de courbes al´eatoires invariantes conformes qui apparaissent en prenant la limite d’´echelle des interfaces dans les mod`eles critiques dans le plan. Pour les dimensions arbitraires (en particulier la “dimension physique”

d = 3), la compr´ehension math´ematique de la phase critique est plutˆot limit´ee, mais r´ecemment des progr`es remarquables ont ´et´e r´ealis´es dans la communaut´e physique avec le d´eveloppement d’une m´ethode connue sous le nom deconformal bootstrap, voir [130].

Il se trouve que les quantit´es en percolation quasi-critique (c’est-`a-dire p appro-chant pc) pr´esentent ´egalement une d´ecroissance polynomiale, conduisant `a ce qu’on appelle desexposants pr`es-critiques. Ces quantit´es sont intimement li´ees aux exposants critiques, comme le d´emontre Kesten [91]. Nous invitons le lecteur int´eress´e `a consul-ter [124] pour plus d’informations sur le monde extrˆemement riche des ph´enom`enes critiques et quasi-critiques dans la physique statistique planaire.

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