Mod´ elisation simple du remplissage - Auto-limitation du nombre d’atomes pi´ eg´ es

5.2 Auto-limitation du nombre d’atomes pi´ eg´ es

5.2.1 Mod´ elisation simple du remplissage

Comme les événements à plus d’un atome n’ont jamais été observés expérimentalement, notre modèle n’en tiendra pas compte, tout du moins dans un premier temps. Le point clé du modèle repose sur le fait que la durée de vie de deux atomes dans le piège est nulle, c’est-à-dire que si un atome arrive dans un piège déjà occupé, les deux atomes s’échappent instantanément. Ainsi, on effectue les hypothèses suivantes :

• Le chargement du piège dipolaire est assuré par une arrivée aléatoire d’atomes dans la zone de capture. Cette arrivée sera considérée comme un flux constant d’atomes R0.

• Si un atome est présent dans le piège dipolaire, sa durée de vie, fixée par les divers phénomènes de chauffages et les collisions avec le gaz résiduel de l’enceinte, est fixée par un processus aléatoire de durée moyenne τ0 = _Γ1.

• Si un atome du piège magnéto-optique arrive dans le piège dipolaire, alors que ce dernier est déjà occupé, les deux atomes s’échappent.

Dans ce modèle, on dispose de deux paramètres. La durée de vie intrinsèque du piège τ0

et le taux de chargement, ou taux d’arriv´ee des atomes dans la zone de capture, R0. De plus,

le piège dipolaire peut donc avoir deux configurations possibles : soit il est vide, soit un atome unique y est piégé. Chacune de ces configurations possède une durée de vie moyenne τ (0) et τ (1). Ainsi, le taux d’occupation du piège, qui est également la probabilité d’avoir un atome piégé, aura pour expression :

P1 =

τ (1) τ (0) + τ (1)

L’objet de cette partie est de déterminer, en fonction des deux paramètres du modèle τ0 et

R0, le taux d’occupation P1 et la dur´ee de vie d’un atome unique dans le pi`ege dipolaire τ (1),

que nous noterons simplement τ dans la suite. Distribution des temps d’arriv´ee des atomes

La première étape consiste à déterminer la distribution des temps d’arrivées des atomes dans le piège dipolaire. On considère, pour cela, que les atomes arrivent aléatoirement dans la zone de capture, avec un taux de chargement R0 (at/s), sans effet de mémoire. Ainsi, le temps moyen

qui sépare l’arrivée de deux atomes est donné par : τarr= 1/R0.

Prenons, comme origine des temps, l’arrivée d’un atome dans la zone de capture et notons p(t), la probabilité de ne pas voir arriver de second atome dans cette zone avant l’instant t. L’absence d’effet de mémoire dans ce phénomène se traduit par le fait que la probabilité élémentaire dP d’arrivée d’un atome pendant dt s’écrit sous la forme :

dP = α dt

où α est une constante. En traduisant que la probabilité qu’aucun atome n’arrive avant t + dt est le produit de la probabilité qu’aucun atome n’arrive avant t par la probabilité qu’il n’arrive

pas pendant dt, on obtient l’´equation diff´erentielle :

p(t + dt) = p(t)[1 − α dt] qui donne la forme suivante pour p(t) :

p(t) = e−αt

En utilisant que la probabilit´e de voir arriver un atome entre t et t + dt est donn´ee par : dp = p(t) × dP = p(t)α dt

et que 1/R0 repr´esente le temps moyen d’arriver des atomes dans le pi`ege, on retrouve que

α = R0 et que la distribution p(t), probabilit´e de ne pas voir arriver d’atome pendant une dur´ee

t, est donn´ee par :

p(t) = e−R0t _(5.2)

Distribution des temps de d´epart de l’atome

Dans un premier temps, nous allons uniquement considérer que la durée de vie d’un atome dans le piège dipolaire est fixée par un processus aléatoire de durée moyenne τ0, sans effet de

mémoire. Le même type de raisonnement que précédemment permet d’évaluer la probabilité p0(t) pour qu’un atome, présent dans le piège dipolaire à t = 0, reste pendant une durée t dans

le pi`ege. On obtient une expression de la forme :

p0(t) = e−t/τ0 (5.3)

où τ0 est la durée de vie intrinsèque du piège dipolaire.

Ensuite, pour prendre en compte le processus selon lequel l’atome peut ´egalement s’´echapper `

a cause de l’arriver d’un second atome provenant du piège dipolaire, il suffit de refaire le même type de raisonnement que dans le paragraphe précédent. Si un atome est dans le piège à l’instant t = 0, notons p(t) la probabilité de rester jusqu’à l’instant t. La probabilité de partir pendant dt, à cause de sa durée de vie intrinsèque, est donnée par :

dP1 =

dt τ0

La probabilité de partir pendant dt, à cause de l’arrivée d’un second atome, n’est rien d’autre que la probabilité d’arriver de cet atome, soit :

dP2 = R0dt

C’est pourquoi, la probabilité totale de s’échapper pendant dt, à cause d’un processus ou de l’autre, est donnée par :

dP = dP1+ dP2= ₁ τ0 + R0 dt

Finalement, la probabilité de rester pendant une durée t dans le piège dipolaire dépend du taux de chargement et prend la forme :

p(t) = e−t/τ (R0) _avec _{τ (R}

0) =

τ0

1 + R0τ0

5.2. AUTO-LIMITATION DU NOMBRE D’ATOMES PI ´EG ´ES. 147

Pr´edictions du mod`ele

Ce modèle simple permet de prédire que la durée de vie du piège dipolaire, comme son taux d’occupation, vont varier en fonction du taux de remplissage R0. L’expression de la durée de

vie moyenne a été donnée dans l’expression 5.4, c’est-à-dire que : τ (R0) =

τ0

1 + R0τ0

(5.5) Pour déterminer le taux d’occupation du piège, qui est également la probabilité d’avoir un atome unique piégé, il suffit de connaˆıtre les durées de vie des deux configurations possibles, τ (0) et τ (1). La durée de vie du piège n’est autre que τ (1) = τ (R0), et la durée moyenne qui sépare

l’arriv´ee de deux atomes de chargement est donn´ee par τ (0) = 1/R0. Ainsi, le taux d’occupation

prend la forme : P1(R0) = τ (1) τ (0) + τ (1) = τ (R0) τ (R0) + 1 R0 = 1 2 + 1 R0τ0 (5.6)

Dans notre cas, la durée de vie intrinsèque du piège sera prise constante. En effet, elle dépend essentiellement de la pression du gaz résiduel qui peut être considérée comme constante. Par contre, on peut facilement contrôler la densité du piège magnéto-optique et modifier ainsi le taux de chargement R0. Pour une valeur fixée de τ0 = 5 s, on a représenté, sur la figure 5.5,

l’évolution du taux d’occupation et la durée de vie du piège en fonction de R0.

Figure 5.5: Evolution de la durée de vie du piège dipolaire et de son taux d’occupation en fonction du taux de chargement. A faible taux de chargement, la durée de vie du piège est limitée par la durée de vie intrinsèque et le taux d’occupation est faible. Quand on augmente le taux d’arrivée R0, le taux d’occupation atteint, dans ce modèle, une valeur limite de 50 % et la durée de vie

est alors ´egale au temps moyen d’arriv´ee des atomes dans la zone de capture.

Les courbes en trait plein correspondent aux expressions 5.5 et 5.6 de la durée de vie et du taux d’occupation. Les points supplémentaires correspondent à une simulation numérique de type Monte-Carlo, pendant laquelle on génère un signal de la même forme que celui de la figure 5.1. La durée de vie est obtenue en calculant la durée moyenne des plateaux obtenus. Le taux d’occupation est déduit des durées moyennes des périodes avec et sans atome.

Grâce à la simplicité de ce modèle, l’interprétation qualitative de ses prédictions ne pose pas de problème. Lorsque le taux de chargement est très faible, c’est-à-dire que le temps moyen d’arrivée des atomes est très grand devant la durée de vie intrinsèque, c’est essentiellement celle- ci qui définit la durée de vie du piège dipolaire. Quant au taux d’occupation, il est évidemment

très faible, ce qui traduit le fait que, dans ce régime, très peu d’atomes arrivent dans le piège dipolaire. Ainsi, l’atome piégé a toujours le temps de s’échapper à cause du gaz résiduel, avant qu’un second atome du chargement ne vienne le chasser.

Par contre, lorsque le taux de chargement est grand, c’est-à-dire que le temps moyen d’arrivée des atomes est court devant la durée de vie intrinsèque, l’atome piégé est quasiment toujours chassé par l’arrivée d’un second atome dans la zone de capture. On comprend donc pourquoi la durée de vie de l’atome, fixée par le taux de chargement, tend vers une valeur égale au temps moyen d’arrivée des atomes dans le piège dipolaire. Dans ces conditions, la durée de vie du piège est donc la même que le temps moyen qu’il faut attendre pour faire arriver un atome dans le piège dipolaire, ce que traduit évidemment le taux d’occupation limite de 50 %.

Enfin, on peut conclure que l’augmentation du taux de chargement ne doit pas conduire à un plus grand nombre d’atomes dans le piège, mais à une saturation du taux d’occupation à 50 %. Ainsi, le signal d’arrivée des atomes un par un dans le piège dipolaire doit garder la même forme que sur la figure 5.1, mais avec des créneaux beaucoup plus courts.

Figure 5.6: Evolution du taux d’occupation du piège dipolaire en fonction de sa durée de vie. A grande durée de vie, le taux d’occupation augmente avec le taux de chargement, mais affecte peu la durée de vie. Lorsque le taux d’occupation atteint sa valeur de saturation à 50 %, la durée de vie diminue de la même fa¸con que le taux de chargement augmente.

Dans le cas de notre expérience, il est difficile d’évaluer précisément le taux de chargement. La seule chose que l’on puisse affirmer et qu’il est proportionnel au champ magnétique du piège magnéto-optique. Il est donc préférable de tracer un des paramètres, comme le taux d’occupation, en fonction du second, la durée de vie du piège. Le résultat obtenu est représenté sur la figure 5.6

Dans le document Etude et réalisation de micro-pièges dipolaires optiques pour atomes neutres (Page 148-151)