Etude du chargement

Dans un premier temps, nous allons ´etudier comment s’effectue le remplissage du pi`ege dipo- laire, en pr´esence d’un terme de perte `a deux corps. Pour cela, nous montrerons que son

temps caract´eristique d´epend du taux de chargement. Ensuite, nous verrons que les expressions obtenues pour l’efficacit´e du remplissage et le temps caract´eristique d´ecrivent correctement les r´esultats exp´erimentaux obtenus au paragraphe 4.2.2.

Expression du temps caract´eristique et de l’efficacit´e de chargement

Lors du chargement du pi`ege dipolaire, les faisceaux de la m´elasses sont pr´esents et agissent, par cons´equent, sur les atomes du pi`ege dipolaire. Il faut donc consid´erer la valeur du coefficient de pertes `a deux corps en pr´esence de celle-ci, c’est-`a-dire β.

Consid´erons un pi`ege dipolaire, dont le nombre d’atomes est n(t), que l’on charge avec un taux R0. En pr´esence de pertes `a un et deux corps, l’´evolution du nombre n(t) d’atomes pi´eg´es

v´erifie l’´equation diff´erentielle :

dn

dt = −Γn − βn

2_{+ R}

0 (4.8)

o`u −Γn et −βn2 sont respectivement les pertes `a un et deux corps.

La r´esolution de cette ´equation `a variables s´eparables ne pose pas de probl`eme, mais il faut n´eanmoins prendre garde `a sa non-lin´earit´e. En effet, nous avons vu, `a la section 4.2.2, que nous n’´etions pas directement sensibles au nombre d’atomes dans le pi`ege dipolaire, mais `a sa lumi`ere de fluorescence I(t) = αn(t), qui lui est proportionnelle. Si ce facteur de proportionnalit´e n’a pas d’effets sur les valeurs des param`etres, dans le cas o`u β = 0 et o`u l’´equation diff´erentielle est lin´eaire, il n’en est rien dans le cas pr´esent, o`u l’´equation 4.8 devient pour I(t) :

dI dt = −ΓI − β αI 2_{+ αR} 0

La forme de l’´evolution de I(t) fera donc apparaˆıtre des coefficients effectifs βef f = βα et R ef f

0 =

αR0, contrairement `a n(t). Il faudra donc y prendre garde lors des comparaisons avec les r´esultats

exp´erimentaux.

La r´esolution de 4.8 conduit donc `a l’expression suivante pour le nombre d’atomes : n(t) = 2R0  1 − e−τt  Γ1 − e−τt  + 1 τ  1 + e−τt  (4.9)

o`u le temps caract´eristique τ d´epend du taux de chargement R0 selon l’expression :

τ = q 1

Γ2_{+ 4βR} 0

(4.10)

On peut donc directement constater, sur l’expression 4.10, que le temps caract´eristique du chargement d´epend fortement de R0. Si βR0est faible, on tend vers une situation o`u le terme de

perte `a deux corps est n´egligeable et le temps caract´eristique prend alors la forme τ = 1/Γ, qu’il a dans le cas o`u il n’y a pas de pertes `a deux corps. Puis, lorsque βR0 augmente, on observe

une diminution de ce temps caract´eristique de chargement.

L’autre param`etre important de cette ´etude concerne l’efficacit´e de chargement du pi`ege dipolaire. Elle est donn´ee par le nombre maximal d’atomes, nmax, que l’on peut pi´eger. Son

expression est donn´ee par la valeur du r´egime stationnaire de n(t) aux temps longs, vers lequel tend l’expression 4.9, soit :

nmax =

2R0

Γ +1 τ

4.3. EFFET DES PERTES `A DEUX CORPS ET DUR ´EE DE VIE 127

Pour de faibles taux de chargement R0, c’est-`a-dire pour R0  Γ

2

4β, l’efficacit´e de chargement

est identique `a celle obtenue en l’absence de terme de pertes `a deux corps : elle augmente donc proportionnellement `a R0. Par contre, lorsque R0  Γ

2

4β, on n’observe pas de saturation

de l’efficacit´e de chargement, mais seulement une inflexion de la courbe, puisque le nombre maximum d’atomes pi´eg´es prend alors la forme :

nmax'

s

R0

β

Pour finir, on peut v´erifier de quelle fa¸con ´evolue la lumi`ere de fluorescence du pi`ege dipolaire I(t) lors du chargement. On a vu qu’il suffisait de remplacer les facteurs β et R0 par des valeurs

effectives. Cependant, dans l’expression du temps caract´eristique 4.10, seul le produit de ces facteurs intervient et βR0 = βef fR0ef f. Ainsi, le temps caract´eristique d’´evolution de I(t) est

le mˆeme que celui de n(t). Par ailleurs, on peut v´erifier que l’expression de la fluorescence maximale Imax = αnmax est effectivement obtenue en rempla¸cant R0 par R0ef f et β par βef f,

introduisant donc, dans l’expression de Imax, le param`etre α suppl´ementaire, qui n’est autre que

le taux de fluorescence par atome, dans le pi`ege dipolaire. Ce taux de fluorescence par atome prend d’ailleurs en compte les d´eplacements lumineux.

Une derni`ere remarque concerne le nombre d’atomes pi´eg´es. Comme nous l’avons vu `a la fin du paragraphe 4.2.2, le nombre moyen d’atomes mis en jeu est faible, puisque de l’ordre de 10. Dans ce cas, il faut prendre en compte le v´eritable terme de pertes `a deux corps : βn(n − 1) qui s’annule effectivement lorsqu’un seul atome est dans le pi`ege, soit n = 1. Dans 4.8, il faut donc remplacer l’expression βn2+ Γn − R0 par βn2+ (Γ − β)n − R0, c’est-`a-dire que le taux de perte

`

a un corps Γ est remplac´e par Γ − β dans les expressions 4.10 et 4.11. Le param`etre Γ que nous obtiendrons, sera en fait ´egal `a Γ − β.

Figure 4.20: Evolution du nombre d’atomes pi´eg´es dans le pi`ege dipolaire et du temps carac- t´eristique du chargement avec la densit´e du pi`ege magn´eto-optique. Les valeurs exp´erimentales ont ´et´e ajust´ees en utilisant les expressions 4.10, pour le temps caract´eristique de chargement, et 4.11, pour la fluorescence maximale du pi`ege dipolaire. Ces deux ajustements poss`edent les mˆemes valeurs pour les coefficients Γ et β.

Comparaison avec les r´esultats exp´erimentaux

Pour comparer ces expressions avec les r´esultats exp´erimentaux, on reprend les valeurs des temps caract´eristiques de chargement et de la fluorescence du pic du pi`ege dipolaire qui ont ´

et´e obtenues `a la section 4.2.2. Ces valeurs sont repr´esent´ees sur la figure 4.20, en fonction de la fluorescence du fond, If, correspondant au pi`ege magn´eto-optique et qui est proportionnelle

au taux de chargement du pi`ege dipolaire R0. Cependant, la constante de proportionnalit´e qui

existe entre ces deux grandeurs est difficile `a d´eterminer et nous la noterons γ0. Une ´evaluation

de ce taux d’arriv´ee des atomes dans la zone de capture a ´et´e obtenu en fonction de la densit´e nf du pi`ege magn´eto-optique et du libre parcours moyen ¯l des atomes par rapport `a la zone de

capture. Son expression, selon la formule 4.1, donne un taux de chargement : R0 = v∗nfσ

o`u σ est la surface caract´eristique de la zone de capture et v∗ la vitesse quadratique moyenne. Si on peut donner un ordre de grandeur pour chacun de ces param`etres, il est beaucoup plus d´elicat de relier la densit´e du pi`ege magn´eto-optique `a la fluorescence du fond If. Ainsi, comme

les valeurs exp´erimentales sont trac´ees en fonction de If = γ0R0, les ajustements ne donneront

pas directement la valeur du param`etre β, mais du produit βγ0.

Les deux courbes en trait plein repr´esentent l’ajustement des points exp´erimentaux qui a ´

et´e r´ealis´e au moyen des expressions 4.10, pour le temps caract´eristique de chargement, et 4.11, pour la fluorescence maximale du pi`ege dipolaire. Les valeurs des param`etres utilis´es pour les ajustements sont r´esum´es dans le tableau 4.3.

Temps caract´eristique Fluorescence maximale

Γ (ms−1) 0.004 Γ (ms−1) 0.004 βγ0 (U.A.) 0.03 βγ0 (U.A.) 0.03

Normalisation α (cps.at−1.s−1) 1500

Tableau 4.3: R´esum´e des diff´erentes valeurs des param`etres utilis´es pour les ajustements des courbes de la figure 4.20.

En fait, les ajustements des points exp´erimentaux, `a l’aide des expressions 4.10 et 4.11, ne permettent pas d’obtenir directement les param`etres β et Γ. Mˆeme s’il n’y a que deux param`etres libres, les ajustements ne convergent pas correctement et la plage de valeurs acceptables pour ces param`etres est importante. Nous avons donc fix´e, pour les deux ´evolutions, la valeur du param`etre Γ, `a celle que nous avons obtenue, avec une bonne approximation, au paragraphe 4.3.2. Ensuite, nous avons effectu´e l’ajustement du temps caract´eristique τ , en fixant la valeur du param`etre Γ et en laissant, comme seul param`etre libre, la valeur de βγ0. Dans ces conditions,

on converge convenablement vers la valeur du tableau 4.3. Enfin, on effectue l’ajustement de la fluorescence maximale re¸cue Imax, en ne laissant libre que le coefficient de proportionnalit´e

α, qui n’est autre que le taux de fluorescence par atome en 100 µs, d´etect´e sur la photodiode. Apr`es convergence de l’ajustement, on obtient la valeur du tableau 4.3.

4.3.4 Conclusion

Le bilan de cette partie est que la prise en compte d’un terme de pertes `a deux corps a permis de d´ecrire `a la fois l’´evolution du nombre d’atomes dans le pi`ege dipolaire lorsque l’on coupe le chargement (dur´ee de vie) et ´egalement le processus de chargement. Le temps caract´eristique des pertes `a un corps est de l’ordre de quelques centaines de milli-secondes. Quant au facteur

4.3. EFFET DES PERTES `A DEUX CORPS ET DUR ´EE DE VIE 129

β_(d), l’´etude de la dur´ee de vie nous a permis de trouver que β_(d) ' 3.5 at−1_.s−1_{, en l’absence}

de m´elasse, valeur compatible avec celle qui a ´et´e obtenue dans le groupe de C.I. Wieman [71], dont les densit´es sont comparables aux nˆotres, mais dont la taille de pi`ege est 106 fois plus importante. C’est pourquoi, les effets de pertes `a deux corps, qui se manifestent chez lui avec des populations de l’ordre de 2 106 atomes, apparaissent, dans notre pi`ege, d`es que le nombre d’atomes est sup´erieur `a deux.

A ce stade, il convient de dire quelques mots sur les processus physiques possibles qui sont responsables de ce terme de perte suppl´ementaire. L’´etude des ph´enom`enes de collisions dans les pi`ege dipolaires optiques, ainsi que de leurs cons´equences sur le chargement de ce dernier `a partir d’un pi`ege magn´eto-optique, a donn´e lieu `a une litt´erature importante [69, 70, 71, 72, 73]. Le terme de perte proportionnel `a n(t) provient essentiellement des diff´erents processus de chauffage. Il peut s’agir de chauffage dˆu `a l’´emission spontan´ee r´esiduelle produite par le pi`ege dipolaire, de collisions avec le gaz r´esiduel de l’enceinte `a vide, ou encore de chauffage param´etrique [55] dˆu `a des fluctuations du faisceau du pi`ege dipolaire, en intensit´e ou en position. Les processus collisionnels, responsables du terme en βn2, sont de trois types, et peuvent ˆetre amplifi´es par la pr´esence, ou non, de la lumi`ere de la m´elasse.

Fuites radiatives : Dans ce processus, un atome, qui a ´et´e pr´ealablement excit´e par absorption d’un photon de la m´elasse ou du pi`ege dipolaire, rentre en collision avec un atome qui se trouve dans le niveau fondamental. Lors de la collision, l’atome excit´e et l’atome non excit´e sont attir´es l’un vers l’autre, `a cause du potentiel mol´eculaire, et l’augmentation d’´energie cin´etique r´esultante, avant la d´esexcitation radiative, est suffisante pour ´ejecter un atome hors du pi`ege dipolaire [73]. Ce processus, mettant en jeu un atome dans l’´etat excit´e, est consid´erablement amplifi´e par la pr´esence de la m´elasse, et il peut provoquer une augmentation des collisions d’un facteur 250 `a 1000. C’est donc essentiellement pour ces raisons que β  β(d)

Photo-association : Le second processus repose sur la formation de mol´ecules, qui ne sont pas sensibles au pi`ege dipolaire. Ce processus est essentiellement induit par la lumi`ere du pi`ege dipolaire [69, 70]. Lorsque deux atomes, initialement dans l’´etat {5S1/2+5S1/2}, sont

`

a des distances suffisamment proches, de quelques dizaines de rayon de Bohr, un photon du pi`ege dipolaire peut ˆetre absorb´e et le syst`eme peut effectuer une transition vers un ´etat mol´eculaire li´e et excit´e {5S1/2+5 P1/2}. Ensuite, une d´esexcitation radiative peut

conduire `a un ´etat li´e de la forme {5S1/2+5S1/2}. La mol´ecule ainsi form´ee est insensible

au pi`ege dipolaire et peut donc s’´echapper.

Collisions avec changement d’´etat hyperfin : Ce processus concerne la collision entre deux atomes qui sont dans le sous-niveau fondamental F = 2. S’il se produit un changement de niveau hyperfin lors de la collision, l’´energie cin´etique d´egag´ee, de l’ordre de 7 GHz pour l’atome de Rb, est largement suffisante pour ´ejecter les atomes du pi`ege dipolaire.

Collisions avec changement d’´etat fin : Ce dernier processus est identique au pr´ec´edent, mis `a part qu’il met en jeu les ´etats fins. Il lib`ere donc une ´energie encore plus colos- sale, correspondant aux 15 nm qui s´eparent les deux transitions D1 et D2. Cette quantit´e

d’´energie est sans comparaison avec les quelques mK qui forment le pi`ege dipolaire. Para- doxalement, dans les pi`eges peu profond ce processus est n´egligeable devant les pr´ec´edents. En effet, ´etant donn´e l’ordre de grandeur de l’´energie lib´er´ee, le coefficient β correspondant est ind´ependant de la profondeur du pi`ege dipolaire. Par contre, celui qui est dˆu aux fuites radiatives augmente lorsque la profondeur du pi`ege diminue selon une loi en β ∝ U₀−5/6.

Comme il a ´et´e montr´e que ces deux m´ecanismes ont une contribution identique dans les pi`eges magn´eto-optiques, dont la profondeur est de l’ordre de 1 K, le processus avec changement d’´etat fin est donc, en valeur relative, n´egligeable devant les fuites radiatives pour une profondeur de 1 mK [71].

Il est fort probable que ce soit l’ensemble des trois premiers processus qui soient responsables du terme de pertes `a deux corps [71]. Pour savoir s’il y en a un parmi ces derniers qui est pr´epond´erant, il est n´ecessaire de faire des ´etudes plus d´etaill´ees. Par exemple, le processus de photo-association poss`ede un caract`ere r´esonnant avec la fr´equence du pi`ege dipolaire, et des chutes de dur´ees de vies peuvent ˆetre observ´ees en faisant varier celle-ci [69, 70]. Quant aux fuites radiatives, elles ne sont vraiment importantes qu’en pr´esence de la m´elasse.

La derni`ere information que l’on peut extraire de cette ´etude concerne le taux de fluorescence r´ecolt´e, par atome, sur la photodiode `a avalanche. Nous avons vu qu’il avait pour valeur α = 1500 coups/at/s, en pr´esence des d´eplacements lumineux dus au pi`ege dipolaire. Comme sa puissance ´

etait de P = 6 mW, on sait, grˆace `a la figure 4.12, que ce taux de fluorescence ne repr´esente que 40 % du taux α0 que l’on aurait en l’absence de d´eplacements lumineux. On a donc un taux

de fluorescence, par atome, de l’ordre de α0 = 4000 coups/at/s. Il est toutefois probable que

cette valeur puisse fluctuer suivant la valeur de certains param`etres, comme la taille du trou de filtrage par exemple.