Etude exp´ erimentale de la dur´ ee de vie

Le second param`etre, dont nous avons cherch´e `a trouver l’´evolution en fonction du taux de chargement, est la dur´ee de vie du pi`ege dipolaire. Pour cela, il nous faut extraire ce param`etre du signal enregistr´e sur la photodiode `a avalanche. Celle-ci n’est autre que la longueur moyenne des plateaux qui constituent ce signal, comme le montre la figure 5.1. Une premi`ere solution possible est de calculer, `a la main, la valeur moyenne de la longueur de ces plateaux. Cependant, cette m´ethode de calcul, qui n’est pas automatisable, est assez fastidieuse. Une autre solution, plus directe, consiste `a calculer la fonction d’auto-corr´elation de ce signal, fonction qui nous permettra de visualiser directement la dur´ee de vie du pi`ege dipolaire.

Utilisation de la fonction d’auto-corr´elation.

Quand on dispose d’un signal de fluorescence enregistr´e au cours du temps I(t), la fonction d’auto-corr´elation est d´efinie par :

C(τ ) = hI(t)I(t + τ )i hI(t)i2

Dans notre cas, ce signal est discr´etis´e, c’est-`a-dire qu’on dispose de N valeurs de l’intensit´e I(n), mesures s´epar´ees d’un intervalle de temps δt. Pour un signal stationnaire, la valeur moyenne de l’intensit´e est ind´ependante du temps et :

hI(t)i = 1 N N −1 X n=0 I(n)

On obtient donc une formule discr´etis´ee de la fonction d’auto-corr´elation :

c(p) = 1 N N −1 X n=0 I(n)I(n + p) 1 N2 "_{N −1} X n=0 I(n) #2

Dans le cas d’une d´efinition cyclique, si n + p > N − 1, on effectue la transformation n + p → n + p − N .

Ici, si on soustrait la valeur du fond, le signal consid´er´e est proportionnel au nombre d’atomes `

a l’instant t, c’est-`a-dire que I(t) = αN (t). La fonction d’auto-corr´elation de l’intensit´e I(t) mesur´ee est donc ´egalement celle du nombre d’atomes N (t). Si on exprime la valeur de la fonction d’auto-corr´elation en τ = 0, on obtient

c(0) − 1 = hI(t) 2_{i − hI(t)i}2 hI(t)i2 = hN (t)2_{i − hN (t)i}2 hN (t)i2 = σ2_N hN (t)i2

Si la statistique du nombre d’atomes est poissonnienne, σN =

√

N et on obtient donc : c(0) − 1 = 1

hN (t)i

La valeur en z´ero de la corr´elation permet donc d’obtenir la valeur moyenne du nombre d’atomes, `

a condition que sa statistique soit poissonnienne. Dans le cas pr´esent, cette propri´et´e n’est pas v´erifi´ee, mais elle est en plus inutile puisque l’on a acc`es `a la distribution exacte du nombre d’atomes par l’interm´ediaire de l’histogramme de la lumi`ere de fluorescence.

Par contre, dans le cas de forts chargements, nous avons mesur´e directement les fonctions d’auto-corr´elation de l’intensit´e provenant du pi`ege dipolaire. Comme, dans ce cas, la distribu- tion atomique est Poissonnienne, l’utilisation de la valeur `a d´elai nul de la fonction de corr´elation nous a permis de d´eterminer un nombre d’atomes dont la valeur est tout `a fait compatible avec celles que nous avons trouv´ees au moyen des lois de Poisson compos´ees, c’est-`a-dire de l’ordre de 1 `a 10.

5.2. AUTO-LIMITATION DU NOMBRE D’ATOMES PI ´EG ´ES. 151

R´esultats exp´erimentaux

Dans le cas d’un signal de la forme de la figure 5.1, la fonction de corr´elation poss`ede, autour de l’origine, un temps caract´eristique de d´ecroissance de l’ordre de la dur´ee des plateaux. Ce temps caract´eristique peut donc ˆetre consid´er´e comme la dur´ee de vie moyenne du pi`ege dipolaire. Comme la valeur `a d´elai nul de ces fonctions d’auto-corr´elation est sans importance ici, nous avons choisi de la normaliser `a deux pour pouvoir ais´ement comparer le param`etre qui nous int´eresse, `a savoir le temps de d´ecroissance.

Figure 5.8: Evolution de la fonction d’auto-corr´elation d’intensit´e avec une augmentation du taux de chargement. Grˆace `a sa normalisation, on observe une nette diminution de la dur´ee de vie du pi`ege dipolaire qu’elle mesure directement. En parall`ele, on a trac´e les histogrammes correspondants.

Pour les diff´erentes valeurs de champs magn´etiques, nous avons calcul´e les fonctions d’auto- corr´elation du signal mesur´e. Celle-ci sont repr´esent´ees sur la figure 5.8 avec les histogrammes correspondants. On remarque toujours que le taux d’occupation atteint une valeur limite de 50 %. Quant aux fonctions de corr´elations, le temps caract´eristique d´ecroˆıt effectivement lorsque le taux de chargement augmente, traduisant une nette diminution de la dur´ee de vie du pi`ege dipolaire. En effet, il faut noter que l’´echelle des temps est logarithmique.

Sur ces courbes, on comprend pourquoi il nous est impossible de nous diriger vers les r´egimes de plus fort chargement. Avec un champ magn´etique donn´e par un courant de 8 Amp`eres, et sans faisceau de ralentissement, la dur´ee de vie du pi`ege dipolaire, qui est ´egale, d’apr`es notre mod`ele simple, au temps moyen d’arriv´ee des atomes dans le pi`ege dipolaire, est de l’ordre 50

`

a 60 ms. Avec notre r´esolution temporelle de 10 ms, nous serons incapable de r´esoudre les plateaux que nous aurions si nous augmentions encore le taux de chargement `a l’aide du champ magn´etique. Il serait donc n´ecessaire de diminuer la r´esolution temporelle `a 1 ms ou 100 µs, mais comme, dans ce cas, le nombre de coups moyen par atome passe de 40 `a 4 puis `a 0.4, le signal est compl`etement brouill´e par le bruit de photons. On comprend ainsi pourquoi, lorsque l’on travaille avec un taux de chargement maximum, c’est-`a-dire un ralentissement optimal et un champ magn´etique maximal, on est incapable de voir directement les atomes arriver un par un dans la zone de capture.

Pour conclure, ce mod`ele extrˆemement simple rend tr`es bien compte des ph´enom`enes observ´es jusqu’`a pr´esent, `a savoir la saturation du taux d’occupation `a une valeur de 50 % et la diminution de la dur´ee de vie du pi`ege dipolaire avec l’augmentation du taux de chargement. Cependant, une limitation ´evidente de ce mod`ele est qu’il interdit la pr´esence de plus d’un atome unique dans le volume de capture, contrairement `a ce que nous observons en tr`es fort chargement. Pour concilier ces deux observations, il est n´ecessaire d’affiner un peu ce mod`ele grossier que nous avons utilis´e jusqu’`a pr´esent, et c’est l’objet du paragraphe suivant.