Evaluation du nombre d’atomes : effet du temps d’int´ egration

Les distributions exp´erimentales obtenues pour le taux de fluorescence au niveau du pic ne sont gu`ere diff´erentes d’une loi de Poisson. On est donc malheureusement dans la situation de gauche de la figure 4.21. Pour extraire d’une telle courbe le nombre d’atomes pi´eg´es, il convient d’ˆetre prudent.

Pour commencer, on peut d´ej`a beaucoup diminuer le nombre de param`etres ajustables. Si, au d´epart, la distribution 4.15 poss`ede trois param`etres, certains d’entre eux peuvent ˆetre mesur´es s´epar´ement. Tout d’abord, la valeur moyenne du fond poissonnien s’obtient directement en mesurant la moyenne nf de la distribution nf. Il ne reste donc plus que deux param`etres

libres : le taux de fluorescence α et le nombre moyen d’atomes Nat. Mais ces deux derniers

param`etres ne sont pas ind´ependants. Si on mesure la valeur moyenne ntot de la distribution

ntot, les param`etres α et Nat sont reli´es par :

ntot = nf + αNat

On peut donc choisir Nat comme unique param`etre libre pour l’ajustement de la statistique

ntot, puisque nf est fix´e, et que :

α = ntot− nf Nat

Un dernier probl`eme, de caract`ere num´erique et auquel il convient de prendre garde, concerne la somme infinie de l’expression 4.14 pour la distribution du signal Ps(ns). Dans les calculs

num´eriques, on doit tronquer cette somme `a une valeur maximale du nombre d’atomes, not´ee N<sub>at</sub>max. Comme l’ordre de grandeur du nombre d’atomes pi´eg´es varie de 1 `a 10, on se limitera `

a N_atmax = 30. Cependant, il conviendra de v´erifier qu’un changement de cette valeur n’affecte pas les conclusions de l’ajustement.

Figure 4.23: Evolution de la fonction d’optimisation (Nat), en fonction de Nat. A gauche, on

peut voir la courbe obtenue pour l’ajustement de la distribution du nombre de coups mesur´es dans le pic ntot. Cette ´evolution est ind´ependante de la valeur de la troncature Natmax choisie.

A droite, on a trac´e le mˆeme param`etre, mais lorsque l’on cherche `a ajuster la distribution du fond nf par l’expression 4.15. D’une part, on peut constater que cet ajustement poss`ede

effectivement un minimum, mais ce n’est qu’un artefact, provenant d’une trop faible valeur de la troncature. D’autre part, l’´evolution de la courbe obtenue, en augmentant la valeur de la troncature N_atmax, semble montrer que le meilleur ajustement est obtenu pour un nombre d’atomes moyen Nat→ +∞, c’est-`a-dire que la distribution est une loi de Poisson.

Pour effectuer l’ajustement, nous avons choisi de contrˆoler directement l’optimisation des param`etres. Cette tˆache est assez ais´ee puisque l’ajustement ne poss`ede qu’un unique param`etre libre Nat. Pour trouver le meilleur ajustement, nous avons choisi une m´ethode de type moindres

4.4. STATISTIQUE DE LA LUMI `ERE DE FLUORESCENCE 135

carr´es, en tra¸cant l’´evolution du param`etre d’optimisation (Nat), donn´e par :

(Nat) = +∞

X

ntot=0

[Pexp(ntot) − Ptot(ntot)]2

o`u Pexp(ntot) est la valeur exp´erimentale de la distribution de ntot et Ptot(ntot) est donn´ee par

l’expression 4.15, pour une valeur Nat du nombre moyen d’atomes. En pratique, cette somme

est limit´ee `a une valeur nmax<sub>tot</sub> , valeur pour laquelle Pexp(ntot) devient nulle `a cause du nombre

d’´echantillons statistiques dont nous disposons. La valeur moyenne du nombre d’atomes est obtenue en consid´erant le minimum de la fonction (Nat), ainsi que le taux de fluorescence α qui

lui correspond.

La courbe de gauche de la figure 4.23 repr´esente une ´evolution typique pour le param`etre d’optimisation (Nat). Sa forme est ind´ependante de la valeur de la troncature Natmax choisie,

tant que celle-ci est sup´erieure `a la plage de variation du param`etre Nat. On obtient ainsi un

bon ajustement de la courbe pour une valeur de moyenne de Nat = 9.3, ce qui donne un taux

de fluorescence de α = 0.8 coups dans des fenˆetres de 200 µs, soit un taux de fluorescence par atome de 4000 photons/at/s.

Pour valider notre m´ethode, nous avons essay´e d’ajuster la distribution poissonnienne cor- respondant au fond par le mˆeme type de loi de Poisson compos´ee, en laissant libre un ´eventuel nombre d’atome Nat. L’´evolution du param`etre (Nat) correspondant est repr´esent´ee sur la

droite de la figure 4.23, pour deux valeurs diff´erentes de la troncature N_atmax.

Au premier abord, il semblerait que cette ´evolution pr´esente un minimum, mais celui-ci n’est qu’un artefact li´e `a la troncature, dont la valeur est trop proche de celle pour laquelle le minimum est obtenu. En effet, si on augmente sa valeur, le minimum de la fonction (Nat) se d´eplace `a

une valeur sup´erieure, qui semble effectivement li´ee `a la valeur de N<sub>at</sub>max. On peut donc conclure que le meilleur ajustement sera obtenu pour un nombre moyen d’atomes tr`es ´elev´e, ce qui paraˆıt logique lorsque l’on sait que ce fond provient du pi`ege magn´eto-optique. En d’autres termes, cette distribution est une loi de Poisson.

Nous avons effectu´e ce travail pour diff´erents temps d’int´egration, et les r´esultats exp´erimen- taux, ainsi que les ajustements th´eoriques sont repr´esent´es sur la figure 4.24. Les param`etres obtenus sont r´esum´es sur le tableau 4.4.

S´erie Temps Nombre Taux de Valeur moyenne Valeur moyenne d’int´egration d’atomes fluorescence du fond du signal 1 200 µs 9 ± 10% 4000 ± 10% ph/at/s 16.06 23.2 2 500 µs 7 ± 15% 5400 ± 15% ph/at/s 42.3 59.1

Tableau 4.4: Valeur des param`etres obtenus lors des ajustements des distributions statistiques correspondant `a la lumi`ere de fluorescence mesur´ee sur la photodiode. Le taux de fluorescence obtenu est renormalis´e pour tenir compte des diff´erences de temps d’int´egration.

La d´etermination de l’incertitude sur le nombre d’atomes, et par cons´equent sur le taux de fluorescence, provient de la fonction d’ajustement (Nat). Les valeurs limites pour le nombre

moyen d’atomes correspondent `a une augmentation de 10 % de ce crit`ere d’ajustement. Tout d’abord, on peut remarquer que le nombre d’atomes obtenu est conforme `a l’´evaluation grossi`ere que nous avions effectu´ee `a l’aide de la d´etermination de l’angle de collection et des pertes de l’imagerie. Ensuite, en premi`ere approximation, on peut remarquer que le temps d’int´egration n’a pas d’effets majeurs sur les r´esultats obtenus. De plus, les taux de fluorescence par atome

Figure 4.24: Forme des diff´erentes distributions correspondant au pic et au fond. Le fond poss`ede bien une distribution sous forme de loi de Poisson, alors que celle du pic est ´elargie. Cette derni`ere est alors bien d´ecrite par une loi de Poisson compos´ee, qui nous permet d’obtenir le nombre moyen d’atomes et le taux de fluorescence par atome. En haut, le temps d’int´egration est de τ = 200 µs, en bas, il est de τ = 500 µs

sont conformes `a la valeur que l’on avait d´eduite de l’´etude des collisions `a deux corps, au paragraphe 4.3.3.

Enfin, on peut noter une l´eg`ere diminution du nombre d’atomes obtenus lorsque l’on aug- mente le temps d’int´egration. Cet effet peut s’expliquer par le fait que les atomes ne peuvent rester ind´efiniment au niveau du pi`ege dipolaire lorsque celui-ci est coup´e. Par ailleurs, nous avons remarqu´e qu’ils pouvaient rester quelques centaines de micro-secondes `a cause d’un r´esidu de lumi`ere provenant du faisceau pi`ege, mais suffisamment faible pour pouvoir n´egliger les d´e- placements lumineux. Dans le cas d’un temps d’int´egration de 500 µs, il est fort probable que le nombre d’atomes pr´esents commence `a varier de fa¸con significative, ce qui expliquerait la valeur

4.5. CONCLUSION 137

moyenne un peu plus faible.

Pour conclure, mˆeme si cette m´ethode ne permet pas de d´eterminer le nombre exact d’atomes pr´esents dans le pi`ege dipolaire, elle permet d’obtenir une assez bonne ´evaluation de la population du pi`ege, mais aussi, avec une meilleure pr´ecision que par le calcul direct, le taux de fluorescence r´ecolt´e par atome.