Distribution attendue

Tout d’abord, on se propose de d´eterminer la loi qui r´egit la statistique de la lumi`ere de fluorescence ´emise par une assembl´ee d’atomes, de valeur moyenne Nat. On notera α le taux

de fluorescence ´emis par atome. On rappelle qu’une loi de Poisson, pour la variable n et de moyenne µ, prend la forme :

Π(µ, n) = µ

n

n!e

−µ _{et hni = µ (4.12)}

Si on compte un nombre n de coups sur la photodiode `a avalanche, ces derniers peuvent provenir de deux sources diff´erentes. Une partie de ces photons proviennent du fond de lumi`ere parasite et du pi`ege magn´eto-optique, dont la valeur moyenne est nf. Quant `a l’autre partie,

elle provient des atomes du pi`ege dipolaire. Sachant que le nombre moyen d’atomes est Nat et

que le taux de fluorescence par atome est α, la valeur moyenne du signal est donc ns = αNat.

4.4. STATISTIQUE DE LA LUMI `ERE DE FLUORESCENCE 131

Comme le taux de comptage provenant du fond est dˆu `a un tr`es grand nombre d’atomes, le nombre de coups nf que l’on obtient dans une fenˆetre de comptage suit une statistique

poissonnienne, si bien que la distribution de probabilit´e pour nf prend la forme :

Pf(nf) = Π(nf, nf) (4.13)

L’obtention de la distribution des coups ns provenant du signal, c’est-`a-dire des atomes du

pi`ege dipolaire, est moins directe. Pour diff´erentes s´equences de chargement, on s’attend `a ce que le nombre d’atomes pi´eg´es, Nat, suive une statistique poissonnienne de moyenne Nat, c’est-`a-dire

que :

Pat(Nat) = Π(Nat, Nat)

De plus, pour un nombre d’atomes fix´e et ´egal `a Nat, la distribution des photons re¸cus sur la

photodiode, n, est alors une loi de Poisson, dont la moyenne est n = αNat, soit une probabilit´e

conditionnelle :

Ps(n)|Nat = Π(αNat, n)

Pour obtenir alors la probabilit´e de compter ns photons provenant des atomes, il faut pren-

dre en compte toutes les configurations comportant des nombres d’atomes diff´erents, avec leur probabilit´e respective, Pat(Nat), soit une probabilit´e totale d’obtenir ns photons de la forme :

Ps(ns) = +∞ X Nat=0 Pat(Nat) × Ps(n)|Nat = +∞ X Nat=0 Π(αNat, ns)Π(Nat, Nat) (4.14)

Enfin, pour obtenir la distribution de probabilit´e du nombre n total de photons re¸cus, il faut prendre `a la fois compte du fond et du signal. Pour un nombre n total de photons re¸cus, n est la somme de nf photons du fond et de ns photons du signal avec une probabilit´e Ps(ns)Pf(nf).

Pour obtenir la probabilit´e d’obtenir un nombre total de n = ns+ nf photons, il faut sommer

toutes les possibilit´es pour lesquelles ns= 0 → n et nf = n − ns= n → 0, soit :

Ptot(n) = n

X

k=0

Pf(k)Ps(n − k) (4.15)

La forme de l’´equation 4.15 est donc une loi de Poisson compos´ee. Elle poss`ede 3 param`etres qui sont : la valeur moyenne du fond poissonnien nf, la valeur moyenne du nombre d’atomes

Nat et le taux de fluorescence par atome α. La forme d’une telle distribution peut alors prendre

diff´erents aspects, suivant le r´egime de param`etres dans lesquels on se trouve.

La figure 4.21 r´esume deux situations extrˆemes. Dans les deux cas, le nombre moyen de coups mesur´es est de 30 et la courbe en pointill´e repr´esente l’histogramme que l’on devrait obtenir si la statistique ´etait poissonnienne, c’est-`a-dire avec une largeur de l’ordre de √30 = 5.5. Mais on peut noter, dans les deux cas, un ´ecart `a la loi de Poisson plus ou moins marqu´e. De fa¸con intuitive, on s’attend `a un ´ecart d’autant plus grand que le taux de fluorescence par atome est important. En effet, deux lois de Poisson correspondant `a deux nombres d’atomes successifs (Nat et Nat+ 1), sont espac´ees de ce taux de fluorescence par atome. Il faut donc que ce taux

de fluorescence α soit plus grand que la largeur de ces distributions pour que la loi de Poisson compos´ee, qui est une superposition de toutes ces lois de Poisson individuelles, fasse clairement ressortir la statistique portant sur le nombre d’atomes.

Figure 4.21: Pr´esentation des deux r´egimes pour la loi de Poisson compos´ee. Dans les deux cas, le nombre de coups moyen est de 30. Les courbes en pointill´es correspondent `a la loi de Poisson de moyenne 30. Les points ont ´et´e obtenus par une simulation num´erique pendant laquelle on r´ealise 10000 s´equences pour lesquelles on tire, selon des lois de Poisson, le nombre de coups du fond, le nombre d’atomes et le nombre de coups du signal, conditionn´e par le nombre d’atomes tir´e. A droite, nf = 10, Nat = 1 et α = 20 coups/at. A gauche, nf = 20, Nat = 10 et

α = 1 coups/at.

Une telle situation est repr´esent´ee sur la partie droite de la figure 4.21. Dans ce cas, le fond correspond `a nf = 10 coups, le nombre moyen d’atomes est de Nat = 1 et le taux de fluorescence

par atome est de α = 20 coups/at. Dans ces conditions, l’´ecart `a la loi de Poisson est ´evident, et la statistique de la lumi`ere de fluorescence fait clairement ressortir la statistique du nombre d’atomes correspondant. Par contre, on peut aussi remarquer que les pics correspondant `a un grand nombre d’atomes, c’est-`a-dire dont la largeur provenant du bruit de photon est importante, ne sont plus r´esolus.

Cependant, un tel cas id´eal n’est pas toujours obtenu. En effet, lorsque le taux de fluorescence par atomes devient plus faible que la largeur des lois de Poisson individuelles, c’est-`a-dire du bruit de photon, l’´ecart `a une loi de Poisson devient difficilement d´etectable. C’est le cas de la partie gauche de la figure 4.21. Dans ce cas, le fond est de nf = 20, le nombre moyen d’atomes

est de Nat = 10 et le taux de fluorescence, α = 1 coups/at, est bien plus faible que le bruit

de photon. Sur la distribution obtenue, la distribution correspondant aux atomes n’est plus du tout r´esolue. Par contre, on peut encore noter un l´eger ´ecart `a la loi de Poisson, essentiellement un ´elargissement.

Enfin, on peut constater que cette distribution, form´ee par une loi de Poisson compos´ee, tend vers une loi de Poisson lorsque le nombre d’atomes tend vers l’infini, en laissant le produit αNat constant.