Depuis quelques années, l’utilisation de la méthode des éléments finis pour l’analyse des câbles augmente considérablement. En effet, avec la puissance de calcul qui évolue rapidement, cette mé-thode permet de tenir compte de la complexité géométrique et des interactions de contact tout en limitant les hypothèses ou approximations le plus souvent présentes dans les modèles analytiques. De nombreux auteurs ont donc développé des modèles éléments finis afin de déterminer avec précision le comportement et l’état de contrainte au sein d’un câble métallique. On retrouve gé-néralement 3 types de modélisation : i) une modélisation 3D utilisant des éléments volumiques, ii) une modélisation 3D utilisant des éléments poutres et iii) une modélisation 2D utilisant des éléments surfaciques.
D’autre part, les différents travaux présents dans la littérature mettent en avant les principales caractéristiques d’une modélisation numérique des câbles, à savoir :
— la longueur axiale des modèles, — les conditions aux limites,
— la nature du comportement étudié (comportement axial ou en flexion), — le traitement simplifié ou non du contact,
1.1.6.1 Modélisation avec des éléments volumiques
Dans les travaux menés par Jiang et al, [Jiang et al., 1999], [Jiang et al., 2000], [Jiang et al., 2008] et [Jiang, 2012], l’effet non-linéaire du contact, de la friction, de la déformation lié au contact et de la plasticité est étudié à travers la méthode éléments finis. Dans [Jiang et al., 1999] une fine portion de câble à 7 fils est modélisée par des éléments linéaires à 8 nœuds en tenant compte du contact radial et de la friction par un algorithme surface-surface. Des conditions aux limites spéci-fiques issues du champ de déplacement théorique permettent de restreindre le domaine d’étude à une portion de la section en utilisant la symétrie axiale du câble tout en tenant compte de l’angle d’enroulement. Les résultats portant sur le comportement axial du câble s’accordent bien avec la théorie de Costello [Costello, 1997] ainsi qu’avec les essais menés dans [Utting and Jones, 1987a]. Dans [Jiang et al., 2000], le modèle est étendu au cas d’un câble à trois couches, il permet d’étu-dier la non-uniformité de la distribution des contraintes dues au contact ponctuel. Le contact circonférentiel a pu être étudié dans [Jiang et al., 2008] dans le cas d’un câble mono-couche. Le comportement en flexion pure d’un câble mono-couche est analysé dans [Jiang, 2012]. Dans ce cas, 1/6 du pas d’hélice est pris en compte. Des conditions aux limites cinématiques spécifiques permettent d’appliquer un chargement en flexion, sans passer par l’approximation du champ de déplacement, et en utilisant la symétrie hélicoïdale du câble. Pour ce modèle éléments finis, Jiang montre que la force de contact normal est négligeable dans le cas d’une flexion pure sans pré-tension ou contrainte externe. Chaque brin subit alors une flexion propre dont l’axe neutre correspond à l’axe de flexion. Le comportement obtenu en flexion pure s’accorde bien avec la formule analytique proposée dans [Costello, 1997].
Dans [Ghoreishi, 2005], une comparaison est proposée, entre un modèle éléments finis composé d’éléments quadratiques et les modèles analytiques d’un câble mono-couche. L’étude étant res-treinte au comportement axial, un état de contact collant est modélisé en considérant une ligne de nœuds communs entre les composants en contact. Le câble est encastré à une extrémité et soumis à des efforts concentrés à l’autre extrémité. Un pas complet est ainsi modélisé pour limiter l’influence des effets de bords.
Dans [Cartraud and Messager, 2006], le comportement axial d’un câble mono-couche est étu-dié à l’aide de la méthode d’homogénéisation des poutres périodiques résolue par la méthode des éléments finis. Dans le cas présent, la taille du modèle se limite à une portion du câble grâce à des conditions aux limites périodiques, tout en prenant compte de façon complète la géométrie hélicoï-dale du câble. La résolution du problème d’homogénéisation appliquée au câble permet d’étudier ici le comportement du câble sans générer d’effets de bords. Une comparaison des résultats avec les modèles développés dans [Labrosse, 1998] et [Costello, 1997] montre une très grande similitude entre les modèles analytiques et le modèle éléments finis.
Dans [Judge et al., 2012] le comportement axial élasto-plastique est analysé à travers un modèle éléments finis. La construction du maillage est faite à partir d’éléments linaires à 8 nœuds et seul le contact radial est pris en compte par un algorithme surface-surface. Les résultats numériques sont comparés aux essais menés dans [Bri, 2007], et montrent une distribution non uniforme des contraintes dues à la répartition ponctuelle du contact.
Dans [Kmet et al., 2013] des éléments volumiques à 8 nœuds sont utilisés pour modéliser la flexion d’un câble multi-couche autour d’un support. La géométrie est réalisée à l’aide d’un logiciel de conception (Catia) et ensuite importée dans le logiciel Abaqus.
Dans [Wu, 2014], différentes configurations de l’angle d’enroulement sont étudiées dans le cas d’un câble à 3 couches soumis à un chargement axial. Seul le contact radial est pris en compte et la résolution du contact se fait par la méthode du Lagrangien augmenté afin d’éviter une dépendance
auprès de la raideur de contact.
Dans [Zhang and Ostoja-Starzewski, 2016], le comportement en flexion avec pré-tension est étudié dans le cas d’un câble mono-couche à 7 fils. Des éléments linéaires à 8 nœuds sont utilisés et la résolution du problème se fait à l’aide d’un schéma explicite où les charges sont appliquées de manière quasi-statique. Le choix d’un schéma explicite, est pris ici pour faciliter la résolution des problèmes de contact. Les deux configurations de contact sont considérées : contact radial et contact circonférentiel. Il est montré que prendre en compte le contact circonférentiel augmente la raideur en flexion initiale. Cependant, lorsque le contact radial est pris seul, la rotation de la section des fils hélicoïdaux tend à faire chuter la raideur initiale, de 23% dans cet exemple, ainsi :
(EI)initiale < (EI)max. La taille du maillage influence aussi grandement la raideur en flexion,
où un maillage peu raffiné, 23000 noeuds et 18007 éléments dans ce cas, ne permet pas de bien représenter la ligne de contact entre un fil de la couche externe et l’âme. Cette dépendance au maillage est, en revanche, moins importante dans le cas d’un comportement glissant. Comme montré dans [Hong et al., 2005], Zhang et Ostoja affirment que la friction contribue toujours à la raideur en flexion, ce qui implique que la raideur minimale en glissement total proposée dans [Papailiou, 1997], n’est jamais atteinte.
Dans [Foti and de Luca di Roseto, 2016], Foti et al conçoivent leur modèle éléments finis vo-lumiques d’un câble mono-couche à 7 fils afin de le comparer à leur modèle analytique dans le cas d’un chargement axial. Seul le contact radial est considéré et des éléments quadratiques sont choisis afin d’avoir une plus grande précision sur l’état de contrainte au sein des brins métalliques. La longueur du modèle est prise suffisamment grande (5 fois le pas d’hélice) pour appliquer les chargements sans générer d’effet de bords. Un bon accord avec la théorie de Costello et les essais de [Utting and Jones, 1987a] est montré.
Pour les câbles multi-torons, tous les modèles numériques présents dans la littérature traitent du chargement axial où chaque composant est modélisé avec des éléments volumiques. Les études sont portées sur une portion de câble afin de limiter le nombre de degrés de liberté ainsi que le nombre de contacts à résoudre. Le cas d’un câble multi-torons de type IWRC est étudié dans [Imrak and Erdönmez, 2010] et [Erdonmez and Imrak, 2011], négligeant la friction et utilisant des éléments quadratiques. Les résultats montrent un bon accord avec la théorie de Costello et une faible influence du coefficient de Poisson. L’effet de la direction des différents angles d’enroulement présents dans un câble multi-torons de type IWRC est analysé dans [Liu et al., 2020]. Le cas d’un câble plus complexe (6×19 fils) est analysé dans [Wang et al., 2013] afin d’étudier les contraintes et l’usure dues au contact.
1.1.6.2 Modélisation avec des éléments poutres
Un des premiers modèles éléments finis utilisant des éléments poutres a été construit par Na-wrocki et Labrosse [NaNa-wrocki and Labrosse, 2000] dans le but d’étudier les conditions de contact au sein d’un câble mono-couche à 7 fils soumis à de la traction et de la flexion. La construction du modèle poutre se fait sous l’hypothèse des petits glissements. Les auteurs montrent que le pivote-ment de la section des fils a un rôle prédominant sur la réponse du câble en traction, de même que pour le glissement sur la réponse en flexion.
Dans [Yu et al., 2016], l’analyse de câbles multi-couche est présentée. Chaque fil est représenté par des éléments poutres et les interactions de contact entre les composants sont modélisés à partir d’élément ressort pour le contact radial et tangentiel. Leur analyse éléments finis porte sur le comportement en traction et en flexion du câble. Une grande correspondance est obtenue entre le modèle numérique et les essais menés dans les mêmes travaux.
Dans [Ivanco et al., 2016], un câble mono et multi-couche soumis à de la tension constante est étudié dans l’intention de déterminer les déformations par fluage du matériaux. Les déformations en cisaillement et les effets de rotation sont considérés en modélisant les brins par des éléments poutres de Timoshenko. La friction et l’ensemble des contacts sont modélisés. La taille du modèle est supposée suffisamment grande pour négliger les effets de bords. Une approche similaire est utilisée dans [Yu, 2017] pour l’étude en traction d’un câble multi-couche à 91 fils.
Le cas d’un câble multi-couche soumis à de la traction et de la flexion est présenté dans [Baumann and Novak, 2017]. Chaque composant, modélisé par des poutres linéaires, est relié par des éléments de contact. Afin de respecter le vis-à-vis entre les noeuds de contact, le modèle est construit sous l’hypothèse des petits glissements. La rigidité de contact normal et tangentiel est estimée à partir de la théorie de Hertz [Hertz, 1881]. Les résultats montrent que la transmission des forces de contact est en accord avec la théorie de Papailiou. Le contact circonférentiel in-duit des forces de contact normale quasi-nulle entre la couche interne et l’âme. Tout comme dans [Hardy and Leblond, 2003], Baumann et al montrent que l’élasticité du contact implique une rai-deur en flexion initiale plus faible que celle estimée par la théorie de Papailiou. Des effets de bords sont observés, ce qui montre une dépendance des résultats à la longueur du modèle utilisé.
Dans [Lalonde et al., 2017] les éléments poutres sont utilisés pour modéliser un câble multi-couches soumis à de la traction avec flexion. Une attention est portée sur l’orthogonalité de la friction. Deux coefficients sont donnés pour modéliser le frottement dans la direction axiale et orthogonale du brin. L’évolution de la valeur de friction influence alors la raideur en flexion et le comportement hystérétique du câble en flexion.
Plus récemment, Bussolati [Bussolati et al., 2019] et [Bussolati, 2019], a développé de nouveaux éléments de contact afin de résoudre plus efficacement le contact entre des poutres non parallèles. L’hypothèse des petits glissements permet de résoudre plus rapidement les problèmes de contact entre deux éléments poutres. Cette modélisation a pu être validée dans le cas d’un câble multi-couche soumis à un couplage traction-flexion.
1.1.6.3 Modélisation 2D avec des éléments surfaciques
L’étude des câbles hélicoïdaux par une modélisation volumique induit indéniablement des temps de calcul considérables, d’une part à cause du nombre important de degré de liberté pour prendre en compte la géométrie des composants et d’autre part pour tenir compte des nombreuses inter-actions de contact et potentiellement de la non-linéarité matériel des constituants du câble.
Dans le cas où les différents cas de chargements respectent la symétrie hélicoïdale de la géomé-trie, il est alors possible de s’affranchir des modèles 3D en considérant une modélisation plane de la section. Ceci a pu être fait dans [Frikha et al., 2013], [Karathanasopoulos and Kress, 2016] et [Karathanasopoulos et al., 2017] pour étudier le comportement en traction et en torsion de câble mono-couche. Bien que ces modèles apportent de nombreux avantages du fait de leur construction et de leur vitesse de résolution, ils ne permettent pas de prendre en compte les effets 3D provoqués par un chargement en flexion.