Détection et Discrétisation des zones de contact

La détection des contacts se base généralement sur une notion de surfaces maître et esclave. La surface de contact maître est utilisée pour définir le repère local de la zone de contact. Aucun nœud ou surface esclave ne doit pénétrer la surface maître alors que l’inverse peut être autorisé. Généralement, la surface maître est associée au corps le plus rigide et celui discrétisé le plus grossièrement.

Contact nœud-nœud

Dans le cadre d’un algorithme noeud-noeud ("node-to-node"), la détection du contact permet d’établir les paires de nœuds les plus proches formant alors un élément de contact. La normale de contact est définie en un nœud maître comme étant la moyenne des normales des segments adja-cents, voir figure 1.27. Cette méthode nécessite un maillage conforme entre les deux interfaces en contact afin d’établir un vis-à-vis entre les nœuds en contact. Ainsi, cette méthode est uniquement applicable dans le cadre de petits glissements et petites déformations garantissant le maintien de l’appariement des nœuds de contact tout au long de la simulation.

Figure 1.27 – Discrétisation nœud-nœud Contact nœud-surface

Dans le cadre d’un algorithme nœud-surface ("node-to-surface"), chaque nœud de la surface esclave interagit avec un point de projection le plus proche sur la surface maître. Ce point de pro-jection est interpolé à partir d’un ensemble de nœuds maîtres à proximité de la zone de contact,

voir figure 1.28. Les nœuds esclaves ne peuvent pénétrer la surface maître alors qu’une péné-tration des nœuds de la surface maître dans la surface esclave est possible. La direction de la normale de contact est définie par la normale à la surface maître. Si la surface à la normale maître est localement discontinue, créant ainsi des problèmes de convergence, il est possible de lisser cette dernière en utilisant des interpolations de plus haut ordre de type Bezier ou Hermite , [Wriggers and Laursen, 2006], voir Figure 1.29.

La discrétisation noeud-surface a tendance à créer des zones de concentration de contrainte de contact, en particulier lorsque le maillage est peu raffiné [Smith, 2009]. Cet algorithme peut être utilisé dans le cas de grands glissements et grandes déformations et pour des maillages non-conformes. Une nouvelle étape de détection de contact est alors obligatoire afin d’interpoler les nouveaux points de projections.

Figure 1.28 – Discrétisation nœud-surface (extrait de [Eleni Chatzi, 2013])

Figure 1.29 – Contact sans et avec lissage des surfaces de contact [Wriggers and Laursen, 2006]

Contact surface-surface

Dans le cadre d’un algorithme surface-surface, on considère les surfaces des deux corps en contact. Contrairement à l’approche noeud-surface, les conditions de contact sont définies sur les régions proches des nœuds esclaves plutôt que sur un et unique nœud esclave, voir figure 1.30. La direction normale de contact est définie par la surface esclave. Une pénétration des deux corps est possible, elle dépend principalement de la taille du maillage des deux interfaces en contact. L’approche surface-surface permet de lisser la distribution de contrainte de contact le long de la zone de contact, elle est donc considérée comme la méthode la plus précise. Cependant la différence entre l’algorithme surface-surface et noeud-surface tend à diminuer lorsque un maillage raffiné est utilisé [Smith, 2009]. Tout comme l’approche nœud-surface, le contact surface-surface peut être utilisé dans le cas de grands glissements et grandes déformations et pour des maillages non-conformes.

Figure 1.30 – Discrétisation surface-surface (extrait de [Eleni Chatzi, 2013]) Contact entre deux éléments poutres

Concernant les éléments poutres, le nœud de l’élément est situé sur la ligne moyenne, tandis que le contact est établi sur le périmètre de la section de l’élément. Seul le cas de section cir-culaire est considéré ici. On distingue deux approches différentes dans la littérature. Dans le cas de l’étude d’un câble métallique, le contact poutre-poutre a pu être modélisé par des éléments de contact, c’est-à-dire une approche nœud-nœud, [Baumann and Novak, 2017], [Bussolati, 2019], [Nawrocki and Labrosse, 2000], [Yu et al., 2016], et par une approche ligne-ligne ("Edge-to-Edge" ou "beam-to-beam"), [Lalonde et al., 2017] et [Bussolati, 2019].

L’approche ligne-ligne, voir [Wriggers and Zavarise, 1997] et [Wriggers and Laursen, 2006], se base sur deux formulations complémentaires, à savoir la formulation "cross" et la formulation "radiale". La formulation "cross" permet de résoudre le contact entre deux poutres non parallèles par projection du point de contact sur les éléments poutres, voir figure 1.31a. La normale de contact est définie comme étant orthogonale au plan formé par les directions tangentes aux deux éléments poutres. La formulation radiale permet de résoudre le problème de contact normal et tangentiel dans le cas de deux poutres parallèles, voir figure 1.31b. La normale de contact est définie ici par la direction radiale des éléments poutres. Les conditions de contact sont évaluées en chaque nœud de l’élément poutre, ce qui oblige à avoir un nœud pour chaque section en contact.

Figure 1.31 – Discrétisation ligne-ligne : (a) formulation "cross" et (b) formulation radiale. Quelques points sur la modélisation du contact ont pu être observés à travers les travaux de [Bussolati, 2019] et [Lalonde et al., 2017] :

— Une différence sur le comportement final d’une structure câble est constatée entre les résul-tats analytiques (modèle de Papailiou) et la méthode des éléments finis utilisant l’approche ligne-ligne.

— Dans [Bussolati, 2019], il est montré que le temps de calcul est important, lorsqu’il est né-cessaire de prendre en compte des poutres initialement non parallèles. Seules les translations

sont prises en compte pour déterminer le glissements entre les éléments poutres. De ce fait la rotation de la section poutre n’est pas considérée. Les forces de contact tangentiel présentes sur la périphérie de la poutre sont directement appliquées aux nœuds de l’élément poutre sans moment supplémentaire.

— Il est aussi important de noter que le contact entre deux éléments poutres considère une section de rayon constante, ainsi, la contraction de la section due à l’effet de Poisson et aux forces de contact normal ne peut pas être prise en compte, voir [Lalonde et al., 2017]. Dans [Bussolati, 2019] une autre méthode pour résoudre le contact entre deux poutres est proposée. Elle se base sur un couplage entre éléments poutres et éléments surfaciques. La surface de contact des éléments poutres est discrétisée par des éléments surfaciques et liée à la poutre par une liaison de type rigide, voir figure 1.32 . L’utilisation d’une discrétisation nœud-surface ou surface-surface est alors possible.

Figure 1.32 – Surface de contact couplée à l’élément poutre par des poutres rigides [Bussolati, 2019]

1.4.2.2 Résolution des problèmes de contact