Chargement en traction du câble mono-couche

2.2.2.1 Comportement en traction

Une première validation proposée ici, consiste à étudier le câble sous une sollicitation axiale en traction. Pour cela, une extension de 0.1% de la longueur du câble est appliquée par les conditions aux limites périodiques (EE = 0.001; ET = 0 rad.m−1; EF1 = EF2 = 0 m−1).

La Figure 2.15a montre le comportement linéaire du câble en traction. Les raideurs en trac-tion des modèles numériques sont comparées à celles obtenues par les modèles analytiques de [Costello, 1997] et de [Foti and Martinelli, 2019], voir Tableau 2.7. Les écarts relatifs présents entre les modèles analytiques et numériques sont inférieurs à 2%. La géométrie hélicoïdale de la couche

externe du câble entraîne un couplage traction-torsion non nul, voir Figure 2.15b. Une compa-raison entre les modèles numériques et les modèles analytiques détaillés dans [Labrosse, 1998] et [Foti and Martinelli, 2019], montre un écart relatif inférieur à 2% en terme de raideur, voir Tableau 2.7. Les modèles numériques utilisant des éléments poutres semblent légèrement plus raides que le modèle composé uniquement d’éléments volumiques.

0 0.03 0.05 0.08 0.1 0 1 2 3 Déformation axiale [%] Tension [10 4 N] Éléments volumiques Éléments poutres

Éléments poutres et surfaciques Théorie de Costello

Théorie de Foti

(a) Comportement en traction

0 0.03 0.05 0.08 0.1 0 5 10 15 20 Déformation axiale [%] Momen t de torsion [N. m] Éléments volumiques Éléments poutres

Éléments poutres et surfaciques Théorie de Labrosse

Théorie de Foti

(b) Comportement en traction-torsion

Figure 2.15 – Comportement du câble mono-couche sous une sollicitation axiale en traction

Modèle ^{Raideur en traction} K₁₁ [10⁶N] Raideur en traction-torsion K₁₄ [N.m] Maillage volumique 30.01 19.14 Maillage poutre 30.47 19.44 Maillage poutre

avec surface de contact ^{30.48 19.45} Théorie de Costello 30.31 19.49 Théorie de Foti 30.01 19.23

Table 2.7 – Raideur en traction et traction-torsion pour le câble mono-couche sous une sollicitation axiale en traction

Les petites différences, en terme de raideur, observées entre les résultats numériques et analy-tiques peuvent être expliquées par la résolution des problèmes de contact. L’influence du coefficient de friction est négligeable pendant un chargement en traction car peu, voire aucun glissement n’est présent entre les composants du câble [Jiang et al., 2008]. Seul le contact normal joue un rôle important dans le cas de la traction. Dans le cas présent, les forces de contact, sommées le long de la ligne de contact entre l’âme et un fil de la couche externe, calculés par les modèles numé-riques sont en très bon accord avec les modèles analytiques proposés dans [Papailiou, 1997] et [Baumann and Novak, 2017], voir annexe A.2.4. L’écart relatif maximal obtenu entre les résultats

numériques et analytiques est inférieur à 2%, voir Figure 2.16a. Cette comparaison valide l’utili-sation de la méthode de pénalité pour résoudre le problème du contact normal pour les modèles numériques composés d’éléments volumiques et poutres. L’utilisation de la méthode du Lagrangien augmenté permet aussi d’obtenir de bons résultats pour le modèle composé d’éléments poutres et d’une surface de contact.

0 5 10 15 20 25 30 35 0 200 400 600 Tension [KN] Force de con tact [N] Éléments volumiques Éléments poutres

Éléments poutres et surfaciques Théorie de Papailiou (a) 0 10 20 30 40 14 15 16 17 18 Position axiale [mm] Con tact linéiq ue [N/mm] Éléments volumiques Éléments poutres

Éléments poutres et surfaciques Théorie de Papailiou

(b)

Figure 2.16 – (a) Évolution des forces de contact sommées le long d’une ligne de contact et (b) distribution de la force de contact linéique entre l’âme et un fil de la couche externe

La distribution des forces de contact normal est représentée sur la Figure 2.16b. La discrétisation de la zone de contact par des éléments volumiques implique une distribution périodique des forces de contact. En effet, lorsque un noeud est en contact avec un nœud, la force de contact est maximale et lorsqu’un nœud est en contact avec une surface la force de contact est minimale. Ainsi, la raideur globale en traction du câble est réduite, due à cette variation le long de la ligne de contact. Une discrétisation plus fine de la zone de contact est nécessaire pour approcher correctement la ligne de contact, augmentant donc le temps de calcul, voir [Zhang and Ostoja-Starzewski, 2016]. La distribution des forces de contact est mieux approchée par les modèles utilisant une discrétisation poutre.

2.2.2.2 Étude de l’état de contrainte en traction

Le champ de contrainte axiale, obtenu à la section centrale du câble (y3 = 0), est représenté sur la Figure 2.17. Pour le modèle composé d’éléments volumiques, on observe des concentrations de contraintes liées au contact. Pour les modèles utilisant une discrétisation poutre, ce phénomène n’est pas capturé car les contraintes axiales sont déterminées selon la théorie des poutres, en chaque point d’intégration de la section et interpolées sur le périmètre de la section. La contrainte axiale maximale se produit au niveau de l’âme et la contrainte minimale est localisée sur la partie externe de la couche de fil. On constate que les fils de la couche externe travaillent en flexion, ce qui réduit leur contribution à la raideur axiale. Le Tableau 2.8 montre un bon accord entre les résultats numériques et ceux issus des modèles analytiques de Costello. Le modèle analytique de Costello,

reposant sur la théorie des poutres courbes, est plus proche des modèles numériques poutres que celui utilisant des éléments volumiques.

(a) Volumique (b) Poutre

(c) Poutre avec surface de contact

Figure 2.17 – Champ de contrainte axiale σ33 à y3 = 0 pour le câble mono-couche sollicité en traction : EE = 0.001.

Modèle σ₃₃ max [MPa] σ₃₃ min [MPa] Maillage volumique 204.9 185.0

Maillage poutre 207.8 203.7 Maillage poutre

avec surface de contact ^{207.7 203.7} Théorie de Costello 207.1 197.2

Table 2.8 – Contrainte axiale minimale et maximale au sein des fils de la couche externe pour le câble mono-couche sollicité en traction : EE = 0.001