Modélisation des câbles électriques utilisés dans les éoliennes flottantes.

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éoliennes flottantes.

Fabien Menard

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Fabien Menard. Modélisation des câbles électriques utilisés dans les éoliennes flottantes.. Energie électrique. École centrale de Nantes, 2020. Français. �NNT : 2020ECDN0040�. �tel-03179691�

(2)

T

HESE DE DOCTORAT DE

L'ÉCOLE

CENTRALE

DE

NANTES

ECOLE DOCTORALE N°602 Sciences pour l'Ingénieur

Spécialité : Mécanique des solides, des matériaux, des structures et des surfaces

Modélisation des câbles électriques utilisés dans les éoliennes flottantes

Thèse présentée et soutenue à Nantes, le 14 Décembre 2020

Unité de recherche : UMR 6183, Institut de recherche en Génie Civil et Mécanique (GeM) Par

Fabien MÉNARD

Rapporteurs avant soutenance :

Jean-François Ganghoffer Professeur des universités, Université de Lorraine, Metz David Dureisseix Professeur des universités, INSA Lyon, Villeurbanne Composition du Jury :

Présidente: Hélène Dumontet Professeure des universités, Sorbonne Université, Paris Examinateurs : Pierre-Alain Guidault Maître de conférences, ENS Paris Saclay, Gif-sur-Yvette

Fabien Treyssède Chargé de recherche HDR, Université Gustave Eifel, Bouguenais Dir. de thèse : Patrice Cartraud Professeur des universités, École Centrale de Nantes

Co-encadrant : Cyril Lupi Maître de conférences, Université de Nantes

Invité

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Remerciements :

Ce travail n’aurait jamais pu être mené à bien sans le soutien et la disponibilité de nombreuses personnes à qui je souhaite adresser mes remerciements les plus sincères.

Je tiens tout d’abord à remercier Patrice CARTRAUD, mon directeur de thèse, pour m’avoir apporté son aide tout au long de ce travail. De part ses qualités humaines et professionnelles, il m’a appris à aborder avec plus de rigueur les différentes problématiques que j’ai pu rencontrer. Au-delà de son appui scientifique, il a toujours su se rendre disponible pour me soutenir et me conseiller en particulier pour la rédaction de ce travail.

Je remercie vivement Cyril LUPI, qui m’a encadré dans cette thèse. Bien que certaines problé-matiques sortaient de son domaine d’expertise initial, il a toujours su donner de bonnes recomman-dations apportant plus de clarté à mon travail. J’ai apprécié travailler à ses côtés et je le remercie encore pour tous ses conseils qui m’aideront dans ma vie professionnelle.

Je remercie France Énergies Marines et le projet de recherche OMDYN 2 pour le financement de mes travaux de thèse. Je souhaite aussi remercier l’ensemble des partenaires du projet, avec qui il était très plaisant d’échanger. Ils ont su m’intégrer, avec beaucoup de bienveillance, au sein de ce fantastique projet. Grâce à nos différentes réunions, j’ai pu enrichir mes connaissances scientifiques et professionnelles.

J’adresse tous mes remerciements à Monsieur Jean-François GANGHOFFER ainsi qu’à Mon-sieur David DUREISSEIX de l’honneur qu’ils m’ont fait en acceptant d’être rapporteurs de cette thèse. J’exprime également ma gratitude envers Madame Hélène DUMONTET, Monsieur Pierre-Alain GUIDAULT, Monsieur Fabien TREYSSEDE et Monsieur Antoine MAISON pour leur intérêt pour mon travail et leur présence au sein de ce jury de thèse. Je tiens à remercier aussi Monsieur Stéphane BOURGEOIS, membre de mon comité de suivis de thèse, pour ses conseils très appréciés. En outre, je souhaite remercier l’ensemble de mes collègues du GeM qui ont pu m’accompagner lors de ces trois années. Ce laboratoire est à l’origine de belles rencontres, je pense particulièrement à Hong Duc, Dasha, Elie et Soukaina avec qui j’ai pu nouer une amitié sincère. Je remercie mes amis Nantais et anciens collègues de master : en particulier Johann, Clément, Maxime et Erwan pour toutes les « aventures ». Bien sûr, j’adresse un grand merci aux copains Erdevenois pour leurs amitiés et leurs sourires.

Je remercie bien évidemment ma famille pour leur soutien : mes parents, Mimi, Dr. Pierre, Anne, Yann et maintenant Noah (sans oublier Kali pour les balades).

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Introduction générale 1

Contexte . . . 2

Objectifs de la thèse . . . 5

Plan de l’étude . . . 6

1 État de l’art : méthode et outils 9 1.1 Les câbles métalliques mono et multi-torons . . . 10

1.1.1 Description générale . . . 10

1.1.2 Géométrie des câbles . . . 11

1.1.2.1 Géométrie d’un câble mono-toron . . . 11

1.1.2.2 Géométrie d’un câble multi-toron . . . 13

1.1.3 Interaction de contact au sein d’un câble . . . 14

1.1.3.1 Contact circonférentiel . . . 15

1.1.3.2 Contact radial . . . 15

1.1.4 Modèles analytiques des câbles mono-toron . . . 16

1.1.4.1 Comportement axial . . . 16

1.1.4.2 Comportement en flexion . . . 20

1.1.5 Modèle analytique des câbles multi-torons . . . 24

1.1.6 Modèles éléments finis . . . 24

1.1.6.1 Modélisation avec des éléments volumiques . . . 25

1.1.6.2 Modélisation avec des éléments poutres . . . 26

1.1.6.3 Modélisation 2D avec des éléments surfaciques . . . 27

1.1.7 Conclusion . . . 27

1.2 Câble dynamique utilisé dans les éoliennes flottantes . . . 28

1.2.1 Description du câble dynamique . . . 29

1.2.2 Matériaux et géométrie du câble dynamique . . . 32

1.2.2.1 Composants et matériaux du câble étudié . . . 32

1.2.2.2 Géométrie du câble étudié . . . 34

1.2.3 Analyse mécanique du câble dynamique : étude bibliographique . . . 35

1.2.3.1 Approche analytique . . . 35

1.2.3.2 Approche numérique . . . 36

(7)

1.3 Méthode d’homogénéisation des poutres périodiques . . . 40

1.3.1 Description générale . . . 40

1.3.2 Cadre théorique de la méthode . . . 42

1.3.2.1 Développement asymptotique . . . 42

1.3.2.2 Formulation du problème . . . 44

1.3.3 Résolution numérique . . . 45

1.3.3.1 Résolution numérique du problème d’homogénéisation . . . 45

1.3.3.2 Les mouvements de solide-rigide . . . 47

1.4 Modélisation du contact . . . 48

1.4.1 Cadre général de la mécanique du contact . . . 48

1.4.1.1 La loi de contact normal . . . 49

1.4.1.2 La loi de contact tangentiel . . . 50

1.4.2 Résolution du contact par la méthode éléments finis . . . 50

1.4.2.1 Détection et Discrétisation des zones de contact . . . 51

1.4.2.2 Résolution des problèmes de contact . . . 54

1.4.2.3 Hypothèse du petit glissement . . . 56

2 Création et validation des modèles éléments finis 59 2.1 Création des modèles éléments finis . . . 60

2.1.1 Construction du modèle . . . 60

2.1.1.1 Méthodologie . . . 60

2.1.1.2 Création de la géométrie et du maillage . . . 61

2.1.1.3 Applications des conditions aux limites périodiques . . . 63

2.1.1.4 Matériaux . . . 64

2.1.2 Interactions de contact . . . 64

2.1.2.1 Contact entre deux éléments volumiques . . . 64

2.1.2.2 Contact entre deux éléments poutres . . . 67

2.1.2.3 Contact entre éléments poutres et volumiques . . . 70

2.1.3 Paramètres de calculs . . . 70

2.1.3.1 Paramètres Abaqus . . . 70

2.1.3.2 Chargement . . . 71

2.1.3.3 Mouvements solides-rigides . . . 71

2.2 Modélisation d’un câble mono-couche . . . 72

2.2.1 Géométrie et maillage du câble mono-couche . . . 72

2.2.2 Chargement en traction du câble mono-couche . . . 73

2.2.2.1 Comportement en traction . . . 73

2.2.2.2 Étude de l’état de contrainte en traction . . . 75

2.2.3 Chargement en torsion du câble mono-couche . . . 76

2.2.3.1 Comportement en torsion . . . 76

2.2.3.2 Étude de l’état de contrainte en torsion . . . 77

2.2.4 Chargement en flexion du câble mono-couche . . . 79

(8)

2.2.5 Chargement en traction-flexion du câble mono-couche . . . 82

2.2.5.1 Comportement en traction-flexion . . . 82

2.2.5.2 Étude de l’état de contrainte en traction-flexion . . . 84

2.2.6 Temps de calcul pour un câble mono-couche . . . 86

2.3 Modélisation d’un câble multi-couche . . . 87

2.3.1 Géométrie et maillage du câble multi-couche . . . 87

2.3.2 Chargement en traction du câble multi-couche . . . 89

2.3.2.1 Comportement en traction . . . 89

2.3.2.2 Étude de l’état de contrainte en traction . . . 91

2.3.3 Chargement en torsion du câble multi-couche . . . 93

2.3.3.1 Comportement en torsion . . . 93

2.3.3.2 Étude de l’état de contrainte en torsion . . . 93

2.3.4 Chargement en flexion pure du câble multi-couche . . . 96

2.3.4.2 Étude de l’état de contrainte en flexion . . . 98

2.3.5 Chargement en traction-flexion du câble multi-couche . . . 99

2.3.5.1 Comportement en traction-flexion . . . 99

2.3.5.2 Étude de l’état de contrainte en traction-flexion . . . 101

2.3.6 Temps de calcul pour un câble multi-couche . . . 103

2.3.7 Conclusion . . . 103

3 Application au câble dynamique 105 3.1 Étude expérimentale du câble ombilical . . . 106

3.1.1 Objectifs de l’étude . . . 106

3.1.2 Description de la procédure pour la mesure de la raideur en flexion . . . 106

3.1.2.1 Principe et description du banc d’essai . . . 106

3.1.2.2 Mesure des forces et des déplacements . . . 109

3.1.2.3 Les différentes étapes de mesure . . . 109

3.1.2.4 Calcul de la raideur en flexion . . . 111

3.1.3 Présentation des résultats et discussion . . . 111

3.1.3.1 Les cycles de flexion mesurés . . . 111

3.1.3.2 Résultats des mesures pour les différentes amplitudes de flexion . . 112

3.1.4 Conclusion . . . 114

3.2 Création du modèle éléments finis du câble dynamique . . . 115

3.2.1 Description . . . 115

3.2.2 Géométrie des modèles . . . 116

3.2.2.1 Modèle avec simplification des phases . . . 116

3.2.2.2 Modèle complet avec prise en compte de l’écran métallique . . . 117

3.2.3 Les matériaux utilisés . . . 118

3.2.4 La modélisation du contact . . . 119

3.2.5 Modélisation des contraintes résiduelles . . . 120

3.2.6 Application des sollicitations et paramètres de calculs . . . 121

3.2.7 Conclusion . . . 122

3.3 Influence des paramètres physiques et numériques et calibration du modèle . . . 122

3.3.1 Description de l’étude . . . 122

(9)

3.3.2.1 Maillage et modélisation des armures . . . 123

3.3.2.2 Coefficient de frottement . . . 126

3.3.2.3 Paramètre β lié à la modélisation de la loi de Coulomb . . . 127

3.3.2.4 Pression externe . . . 128

3.3.2.5 Bilan sur les paramètres numériques . . . 130

3.3.3 Calibration et comparaison avec les essais . . . 130

3.3.4 Conclusion . . . 133

3.4 Essai numérique sur le modèle complet . . . 134

3.4.1 Description du modèle numérique . . . 134

3.4.2 Temps de calcul du modèle complet . . . 135

3.4.3 Comportement en flexion . . . 135

3.4.4 Données de sorties . . . 137

3.4.5 Conclusion . . . 139

Conclusion générale et perspectives 141 Conclusion . . . 142

Perspectives . . . 145

A Modèles analytiques de câbles mono et multi-couche 159 A.1 Comportement axial . . . 159

A.1.1 Modèle de Hruska . . . 159

A.1.2 Modèle de MCConnel et Zemcke . . . 159

A.1.3 Machida et Dureli . . . 160

A.1.4 Modèle de Costello . . . 160

A.1.5 Modèle de Labrosse . . . 163

A.1.6 Modèle de Foti . . . 163

A.2 Comportement en flexion . . . 165

A.2.1 Modèle de Knapp et Cruickelan . . . 165

A.2.2 Modèle de Costello . . . 165

A.2.3 Modèle de Labrosse . . . 165

A.2.4 Modèle de Papailiou . . . 165

B Estimation des efforts et raideurs de contact par la théorie de Hertz 169 B.1 Contact ponctuel . . . 169

B.2 Ligne de contact . . . 171

C Blocage des mouvements solides-rigides par un coefficient d’amortissement 173 C.1 Géométrie et maillage du modèle . . . 173

C.2 Conditions aux limites cinématiques . . . 173

C.3 Comparaison des résultats . . . 174 D Matériaux des modèles numériques du câble dynamique 177

(10)

1 Structure de la production d’électricité mondiale en 2012 (a) et structure de la production électrique d’origine renouvelable en 2012 (b) [Observ’ER, 2013] . . . 2 2 Illustrations des différentes technologies d’un système éolien offshore . . . 3 3 Représentation de la position du câble dynamique dans un système éolien flottant (a)

et photographie de la section d’un câble dynamique (b) (sources : Centrale Nantes et France Énergies Marines) . . . 4 1.1 Exemples d’application d’un câbles métallique (Extrait de [Feyrer, 2007]) . . . 10 1.2 (a) Câble mono-toron composé de 6 brins hélicoïdaux sur la couche externe et d’une

âme rectiligne (1+6). (b) Câble mono-toron composé respectivement de 6 et 12 brins hélicoïdaux sur la couche interne et externe enroulés autour d’une âme rectiligne (1+6+12).(c) Câble multi-toron de type IWRC composé de 7 torons (1+6) . . . 11 1.3 Représentation sur la longueur (a) et sur la section (b) d’un câble mono-toron à deux

couches de fils hélicoïdaux. (c) Relation entre l’angle d’enroulement et la longueur du pas d’hélice . . . 12 1.4 Définition de la base de Frenet dans le plan cartésien attaché à une simple hélice de

Rayon Rh . . . 13

1.5 Représentation de la géométrie d’un câble multi-torons (a) et représentation de la position angulaire des fils à doubles hélices dans la base de Frenet (b) . . . 14 1.6 (a) Représentation des contacts radiaux et circonférentiels au sein d’une section ;

(b) représentation de la ligne de contact et (c) représentation du point de contact . 15 1.7 Comparaison entre les modèles analytiques pour un câble mono-couche à 7 fils

(1+6) : Rc= 2.675mm ; Rs= 2.59 mm ; α = 8.18˚ ; E = 210 GPa et ν = 0.3 . . . 18

1.8 Comparaison entre les modèles analytiques pour un câble multi-couche à 19 fils (1+6+12) : Rc = 2.675 mm ; Rs1 = Rs2 = 2.59 mm ; α1 = 8.18˚ ; α2 = −8.24˚ ;

E = 210 GPa et ν = 0.3 . . . 19 1.9 Représentation du moment de flexion en fonction de la courbure (a) et de la Raideur

en flexion en fonction de la courbure (b) pour un câble mono-toron . . . 20 1.10 Comparaison entre les modèles analytiques pour un câble mono-couche à 7 fils (1+6)

en flexion : Rc = 2.675mm ; Rs = 2.59 mm ; α = 8.18˚ ; E = 210 GPa et ν = 0.3 . . 21

1.11 Représentation des différents états de glissement au sein de la section d’un câble multi-couche pendant un chargement en flexion avec pré-tension : état collant (a) et début du glissement (b) . . . 22

(11)

1.12 Comparaison entre les modèles analytiques pour un câble mono-couche (a) et multi-couche (b) en flexion avec une pré-tension Ee _{= 0.001}_{: R}

c= 2.675mm ; Rs= 2.59

mm ; α = 8.18˚pour le câble mono-couche et Rc = 2.675 mm ; Rs1 = Rs2 = 2.59

mm ; α1 = −8.24˚ ; α2 = −8.24˚pour le câble multi-couche ; E = 210 GPa et

ν = 0.3 . . . 23

1.13 Illustration d’un câble dynamique d’éolienne flottante (source : NREL) . . . 29

1.14 Illustrations de l’utilisation des câbles dynamiques dans le domaine de l’offshore pétrolier : (a) lien entre une plateforme flottante (a) ou une plateforme de type jacket (b) et le fond marin (sources : OceanHub) . . . 30

1.15 Configurations classiques du câble dynamique [Spraul, 2018] . . . 30

1.16 Diagramme moment-courbure issu d’une étude expérimentale d’un câble ombilical soumis à un chargement cyclique en flexion [Ottesen, 2017] . . . 31

1.17 Photographie d’une section du câble dynamique à analyser (source : Centrale Nantes et France Énergies Marines) . . . 31

1.18 Schématisation de la section du câble dynamique : (a) détail des composants "ex-ternes" et (b) détail des composants au sein d’une phase . . . 32

1.19 Photographies de découpes du câble : (a) mise en évidence des 3 phases et des matériaux de remplissage, (b) mise en évidence des différents composants d’une phase après découpe, (c) mise en évidence du ruban de cuivre et des fils de cuivre formant l’écran métallique et (d) mise en évidence de la pâte conductrice entre les différents fils du conducteur . . . 33

1.20 Représentation de la ligne moyenne pour les éléments à simple hélice (a) et pour les éléments à double hélice (b) . . . 34

1.21 Courbe loxodromique et géodésique (Extrait de [Sævik, 2011]) . . . 36

1.22 Représentation de la période dans le cas d’un câble composé d’une seule couche de 6 fils hélicoïdaux. . . 41

1.23 Représentation du câble et de la période de diamètre d et de longueur l . . . 42

1.24 Représentation de la normale de contact ~e1 entre deux corps. . . 49

1.25 Loi de contact normal . . . 49

1.26 Loi de contact tangentiel . . . 50

1.27 Discrétisation nœud-nœud . . . 51

1.28 Discrétisation nœud-surface (extrait de [Eleni Chatzi, 2013]) . . . 52

1.29 Contact sans et avec lissage des surfaces de contact [Wriggers and Laursen, 2006] . 52 1.30 Discrétisation surface-surface (extrait de [Eleni Chatzi, 2013]) . . . 53

1.31 Discrétisation ligne-ligne : (a) formulation "cross" et (b) formulation radiale. . . 53

1.32 Surface de contact couplée à l’élément poutre par des poutres rigides [Bussolati, 2019] 54 1.33 Résolution du contact normal par la méthode de pénalité . . . 55

1.34 Résolution du contact tangentiel par la méthode de pénalité : Régularisation de la loi de Coulomb . . . 55

2.1 Principe général de la construction du modèle éléments finis . . . 60

2.2 Capture de l’interface du logiciel maison pour la création de la géométrie et du maillage . . . 61

2.3 Représentation du repère attaché à la structure : l’axe ~y3correspond à l’axe principal du câble . . . 61

(12)

2.5 Construction du maillage en 3 étapes : (a) maillage de la section et construction de la ligne moyenne du composant, (b) translation de la section le long de la ligne moyenne et (c) mise à jour de la table des connexions . . . 63 2.6 Onglet "Material" du logiciel maison programmé sur MATLAB . . . 64 2.7 Représentation de deux discrétisations dans le cas d’un contact entre deux

compo-sants de type brin . . . 65 2.8 Représentation de la géométrie du modèle test mettant en évidence la ligne de

contact entre un brin droit et un brin hélicoïdal . . . 66 2.9 Distribution des forces de contact normal entre le brin central et le brin à simple

hélice pour une approche noeud-surface . . . 67 2.10 Distribution des forces de contact normal entre le brin central et le brin à simple

hélice pour une approche ligne-ligne . . . 68 2.11 Connexion entre les éléments surfaciques et les éléments poutres en utilisant des

poutres rigides . . . 69 2.12 Distribution des forces de contact normal entre le brin central et le brin à simple

hélice pour un couplage entre éléments poutres et surfaciques . . . 69 2.13 Distribution des forces de contact normal entre le brin central et le brin à simple

hé-lice pour un couplage entre éléments poutres et surfaciques dans le cas de différentes méthodes de résolution . . . 70 2.14 Affichage des différents maillages du câble mono-couche : (a) maillage volumique,

(b) maillage poutre et (c) maillage poutre avec surface de contact . . . 73 2.15 Comportement du câble mono-couche sous une sollicitation axiale en traction . . . . 74 2.16 (a) Évolution des forces de contact sommées le long d’une ligne de contact et (b)

distribution de la force de contact linéique entre l’âme et un fil de la couche externe 75 2.17 Champ de contrainte axiale σ33 à y3 = 0 pour le câble mono-couche sollicité en

traction : EE _{= 0.001}_{. . . 76}

2.18 Comportement du câble mono-couche sous une sollicitation axiale en torsion . . . . 77 2.19 Champ de contrainte axiale σ33 à y3 = 0 pour le câble mono-couche sollicité en

torsion : ET _{= 0.1} _rad.m−1_{. . . 78}

2.20 Champ de contrainte de cisaillement σ13à y3 = 0pour le câble mono-couche sollicité

en torsion : ET _{= 0.1} _rad.m−1 _{. . . 79}

2.21 Comportement du câble mono-couche sous une sollicitation axiale en flexion . . . . 80 2.22 Glissement longitudinal le long de ~y3 d’un fil de la couche externe du câble

mono-couche pour une courbure EF1 _{= 0.1} m−1 . . . 81

2.23 Champ de contrainte axiale σ33 à y3 = 0 pour le câble mono-couche sollicité en

flexion : EF1 _{= 0.1} m−1 . . . 82

2.24 Comportement du câble mono-couche sous une sollicitation en flexion avec une pré-tension initiale . . . 83 2.25 Champ de contrainte axiale σ33 pour le câble mono-couche sollicité en flexion avec

pré-tension pendant la phase du contact collant : EE _{= 0.001}_{et E}F1 _{= 0.00875} m−1 84

2.26 Champ de contrainte axiale σ33 pour le câble mono-couche sollicité en flexion avec

pré-tension : EE _{= 0.001} _{et E}F1 _{= 0.1} m−1 pendant la phase du contact glissant . . 85

2.27 Représentation de la position des points de contact dans l’espace (~y1, ~y2, ~y3) entre la

couche externe et interne . . . 88 2.28 Représentation de la position des points de contact entre la couche externe et interne,

(13)

2.29 Affichage des différents maillages du câble multi-couche : (a) maillage volumique, (b) maillage poutre et (c) maillage poutre avec surface de contact . . . 88 2.30 Comportement du câble multi-couche sous une sollicitation axiale en traction . . . . 89 2.31 Évolution des forces de contact sommés le long du contact ponctuel entre un fil de

la couche externe et la couche interne (a) et le long de la ligne de contact entre un fil de la couche interne et l’âme (b) . . . 90 2.32 Distribution de la force de contact linéique entre l’âme et un fil de la couche interne 90 2.33 Champ de contrainte axiale σ33 au sein de la couche interne et de l’âme pour le

câble multi-couche sollicité en traction : EE _{= 0.001}_{, mise en évidence du contact}

entre la couche interne et externe . . . 91 2.34 Champ de contrainte axiale σ33 au sein de la couche externe pour le câble

multi-couche sollicité en traction : EE _{= 0.001} _{. . . 92}

2.35 Comportement du câble multi-couche sous une sollicitation axiale en torsion . . . . 93 2.36 Champ de contrainte axiale σ33 au sein de la couche interne et de l’âme pour le

câble multi-couche sollicité en torsion : ET _{= 0.1} _rad.m−1 _{. . . 94}

2.37 Champ de contrainte axiale σ33 au sein de la couche externe pour le câble

multi-couche sollicité en torsion : ET _{= 0.1} _rad.m−1 _{. . . 94}

2.38 Champ de contrainte de cisaillement σ13 au sein de la couche interne et de l’âme

pour le câble multi-couche sollicité en torsion : ET _{= 0.1} rad.m−1 _{. . . 95}

2.39 Champ de contrainte de cisaillement σ13 au sein de la couche externe pour le câble

multi-couche sollicité en torsion : ET _{= 0.1} _rad.m−1 _{. . . 96}

2.40 Comportement du câble multi-couche sous une sollicitation en flexion pure . . . 97 2.41 Glissement longitudinal le long de ~y3 d’un fil de la couche externe et de la couche

interne du câble multi-couche en fonction de sa position angulaire dans la section pour une courbure de EF1 _{= 0.1} m−1 . . . 97

2.42 Champ de contrainte axiale σ33 au sein de la couche interne et de l’âme pour le

câble multi-couche sollicité en flexion : EF1 _{= 0.1} m−1 . . . 98

2.43 Champ de contrainte axiale σ33 au sein de la couche externe pour le câble

multi-couche sollicité en flexion : EF1 _{= 0.1}m−1 . . . 98

2.44 Comportement du câble multi-couche sous une sollicitation en flexion avec une pré-tension initiale . . . 100 2.45 Comportement du câble multi-couche sous une sollicitation en flexion avec une

pré-tension initiale . . . 101 2.46 Champ de contrainte axiale σ33 pour le câble multi-couche sollicité en flexion avec

pré-tension pendant la phase du contact collant : EE _{= 0.001}_{et E}F1 _{= 0.005}m−1 . 101

2.47 Champ de contrainte axiale σ33 pour le câble multi-couche sollicité en flexion avec

pré-tension pendant la phase du contact glissant : EE _{= 0.001} _{et E}F1 _{= 0.1} m−1 . . 102

3.1 Représentation de la flexion 4 points (Extrait du TDHVL) . . . 107 3.2 Diagramme du moment de flexion le long du banc d’essai pour la flexion 4 points

(Extrait du TDHVL) . . . 107 3.3 Vue d’ensemble du banc d’essai (source : TDHVL et France Énergies Marines) . . . 107 3.4 Photographie (a) et schématisation dans le plan vertical (b) du dispositif pivotant

aux extrémités du câble (source : TDHVL et France Energies Marines) . . . 108 3.5 Photographie de l’interface entre les actionneurs hydrauliques et le câble, vu de côté

(14)

3.6 Position initiale du câble dans le banc d’essai : (a) à 0˚et (b) à 90˚ ; (c) position du câble après premier cycle de flexion . . . 110 3.7 Représentation des points intermédiaires critiques du câbles dynamiques : le "SAG"

et le "HOG". . . 112 3.8 Chargement pour la caractérisation mécanique du câble dans le cas d’une

sollicita-tion lente (5 minutes par cycle) . . . 112 3.9 Mesures expérimentales des cycles de flexion du câble pour différentes amplitudes . 114 3.10 Schématisation de la section du câble dynamique : (a) détail des composants

"ex-ternes" et (b) détail des composants au sein d’une phase . . . 116 3.11 Représentation de la géométrie du modèle simplifié . . . 117 3.12 Représentation de la géométrie des phases du modèle tenant compte de l’écran . . . 118 3.13 Photographie du conducteur vu de face (a) et vu de profil (b) : mise en évidence

des déformations issues du procédés de fabrication . . . 118 3.14 Représentation des différentes étapes de chargement appliqué au câble dynamique . 121 3.15 Amplitude de chargement cyclique en flexion . . . 121 3.16 Représentation du repère principal lié au modèle numérique . . . 123 3.17 Affichage du maillage 1 pour une modélisation des armures avec des éléments

volu-miques : vue globale (a) et vue rapprochée des armures (b) . . . 124 3.18 Affichage du maillage 1 pour une modélisation des armures avec des éléments poutres

et une surface de contact : vue global (a) et vue rapprochée des armures (b) . . . . 124 3.19 Mise en évidence de l’influence du maillage et de la modélisation des armures sur le

comportement en flexion du câble . . . 125 3.20 (a) Comportement en flexion pour un chargement en flexion pure et pour différentes

valeurs du coefficient de frottement ; (b) Évolution de la raideur initiale et finale en fonction du coefficient de frottement ; (c) Évolution de l’énergie dissipée par le cycle de flexion en fonction du coefficient de frottement . . . 127 3.21 (a) Comportement en flexion pour un chargement en flexion pure et pour différentes

valeurs de β ; (b) Évolution de la raideur initiale et finale en fonction du paramètre β; (c) Évolution de l’énergie dissipée en fonction du paramètre β . . . 128 3.22 (a) Comportement en flexion pour un chargement en flexion pure et pour différentes

valeurs de pressions externes ; (b) Évolution de la raideur initiale et finale en fonction de la pression ; (c) Évolution de l’énergie dissipée en fonction de la pression . . . 129 3.23 Comparaison du diagramme moment-courbure entre les résultats expérimentaux et

numériques pour un chargement cyclique . . . 132 3.24 Affichage du maillage complet pour une modélisation des armures avec des

élé-ments poutres avec surface de contact et pour une représentation discrète des brins d’écrans : vue global (a) et vue éclaté du câble (b) . . . 135 3.25 Comparaison du comportement en flexion obtenu par le modèle numérique complet,

simplifié et les essais sur un intervalle de courbure K ∈ [−0.10 m−1_{; 0.10} _m−1_] _{. . . 136}

3.26 (a) Contrainte axiale dans les écrans pour une courbure maximale de 0.1 m−1 _:

σmax

33 = 9.87 MPa et σ33min = −15.06MPa ;(b) contrainte axiale dans les écrans pour

une courbure minimale de −0.1 m−1 _{: σ}max

33 = 9.65 MPa et σmin33 = −14.82 MPa . . 137

3.27 (a) Contrainte axiale dans les conducteurs pour une courbure maximale de 0.1 m−1_:

σmax

33 = 42.94MPa et σ33min = −43.23MPa ;(b) contrainte axiale dans les conducteurs

pour une courbure minimale de −0.1 m−1 _{: σ}max

33 = 41.15 MPa et σmin33 = −41.62

(15)

3.28 (a) Contrainte axiale dans la couche d’armure externe pour une courbure maximale de 0.1 m−1 _{: σ}max

33 = 43.93MPa et σmin33 = −67.46MPa ;(b) contrainte axiale dans la

couche d’armure externe pour une courbure minimale de −0.1 m−1 _{: σ}max

33 = 44.80

MPa et σmin

33 = −69.01MPa . . . 138

3.29 Glissement longitudinal des armures externe et interne en fonction de la position angulaire des fils pour une courbure maximale de 0.1 m−1 _{. . . 138}

A.1 (a) projection de la ligne moyenne d’un fil extérieur dans le plan dans la configuration initiale et déformée. (b) Représentation de la ligne hélicoïdale d’un fil extérieur et ainsi que les forces et moments appliqués à la structure. . . 161 A.2 Forces appliquées à un fil d’une couche j en contact avec un fil supérieur et inférieur

(Extrait de [Papailiou, 1997]) . . . 167 B.1 Contact entre deux cylindres d’axe rectiligne formant un angle α, vu du dessus. . . 170 B.2 Contact entre deux cylindres d’axes rectilignes et parallèles. . . 171 C.1 Section centrale du câble affichant les 4 noeuds d’application des conditions aux

limites cinématiques . . . 174 C.2 Comparaison des résultats obtenus sur le comportement du câble pour les deux

mé-thodes : Applications de conditions aux limites cinématiques ou d’un amortissement visqueux . . . 175

(16)

2.1 Géométrie du modèle test . . . 65 2.2 Présentation des différents maillages du modèle test composés d’éléments

volu-miques héxaédriques linéaires . . . 66 2.3 Présentation des différents maillages du modèle test composés d’éléments poutres

linéaires . . . 67 2.4 Présentation des différents maillages du modèle test composés d’éléments poutres

linéaires et surfaciques . . . 69 2.5 Géométrie et matériaux du câble monocouche à 7 brins . . . 72 2.6 Nombre de nœuds et d’éléments des différents maillages du câble mono-couche à 7

brins . . . 73 2.7 Raideur en traction et traction-torsion pour le câble mono-couche sous une

sollici-tation axiale en traction . . . 74 2.8 Contrainte axiale minimale et maximale au sein des fils de la couche externe pour

le câble mono-couche sollicité en traction : EE _{= 0.001} . . . 76

2.9 Raideur en torsion pour le câble mono-couche sous une sollicitation axiale en torsion : ET _{= 0.1} _rad.m−1 _{. . . 77}

2.10 Contrainte axiale minimale et maximale au sein des fils de la couche externe pour le câble mono-couche sollicité en torsion : ET _{= 0.1} _rad.m−1 _{. . . 78}

2.11 Contrainte de cisaillement minimale et maximale au sein des fils de la couche externe pour le câble mono-couche sollicité en torsion : ET _{= 0.1} _rad.m−1 _{. . . 79}

2.12 Raideur en flexion pour le câble mono-couche sous une sollicitation axiale en flexion : EF1 _{= 0.1} m−1 . . . 80

2.13 Contrainte axiale minimale et maximale au sein des fils de la couche externe pour le câble mono-couche sollicité en flexion : EF1 _{= 0.1} m−1 . . . 81

2.14 Raideur en flexion du câble mono-couche sollicité en flexion avec pré-tension dans le cas d’un contact collant et glissant avec β = 0.0005 . . . 84 2.15 Contrainte axiale minimale et maximale au sein des fils de la couche externe pour

le câble mono-couche sollicité en flexion avec pré-tension pendant l’état de contact collant : EE _{= 0.001} _{et E}F1 _{= 0.0875} m−1 . . . 85

2.16 Contrainte axiale minimale et maximale au sein des fils de la couche externe pour le câble mono-couche sollicité en flexion avec pré-tension pendant l’état de contact glissant : EE _{= 0.001} _{et E}F1 _{= 0.1} m−1 . . . 85

(17)

2.17 Comparaison des temps de calcul entre les différentes modélisations du câble mono-couche pour un chargement en traction-flexion (i7-6700HQ CPU 2.6 GHz avec 8 Go de Ram) . . . 86 2.18 Géométrie et matériaux du câble multi-couche à 19 brins . . . 87 2.19 Raideur en traction et traction-torsion pour le câble multi-couche sous une

sollici-tation axiale en traction . . . 89 2.20 Contraintes axiales minimales et maximales au sein des deux couches du câble

multi-couche sollicité en traction : EE _{= 0.001}_{; (*) Hypothèse d’une ligne de contact entre}

la couche externe et la couche interne . . . 92 2.21 Raideur en torsion pour le câble multi-couche sous une sollicitation axiale en torsion :

ET _{= 0.1} _rad.m−1 _{. . . 93}

2.22 Contraintes axiales minimales et maximales au sein des deux couches du câble multi-couche sollicité en torsion : ET _{= 0.1}_rad.m−1_{; (*) Hypothèse d’une ligne de contact}

entre la couche externe et la couche interne . . . 95 2.23 Contraintes de cisaillement minimales et maximales au sein des deux couches du

câble multi-couche sollicité en torsion : ET _{= 0.1} _rad.m−1_{; (*) Hypothèse d’une}

ligne de contact entre la couche externe et la couche interne . . . 96 2.24 Raideur en flexion pour le câble multi-couche sous une sollicitation en flexion :

EF1 _{= 0.1} m−1 . . . 97

2.25 Contraintes axiales minimales et maximales au sein des deux couches du câble multi-couche sollicité en flexion : EF1 _{= 0.1} m−1; (*) Hypothèse d’une ligne de contact

entre la couche externe et la couche interne . . . 99 2.26 Raideur en flexion du câble multi-couche sollicité en flexion avec pré-tension dans

le cas d’un contact collant et glissant avec β = 0.0005 . . . 99 2.27 Contraintes axiales minimales et maximales au sein des deux couches du câble

multi-couche sollicité en flexion avec pré-tension pendant la phase de contact collant : EE _{= 0.001} _{et E}F1 _{= 0.005} m−1; (*) Hypothèse d’une ligne de contact entre la

couche externe et la couche interne . . . 102 2.28 Contraintes axiales minimales et maximales au sein des deux couches du câble

multi-couche sollicité en flexion avec pré-tension pendant la phase de contact glissant : EE _{= 0.001}_{et E}F1 _{= 0.1}m−1; (*) Hypothèse d’une ligne de contact entre la couche

externe et la couche interne . . . 103 2.29 Comparaison des temps de calcul entre les différentes modélisations du câble

multi-couche pour un chargement en traction-flexion (4×12-core Intel Xeon (Haswell) E5-2680v3 CPUs 2,50 GHz avec 32 Go de Ram) . . . 103 3.1 Nombre de noeuds et d’éléments pour les différents maillages du modèle simplifié . . 124 3.2 Raideur en flexion initiale et finale pour différents maillages et différentes

modéli-sations des armures . . . 125 3.3 Temps de calculs en minute des différents modèles (4×12-Core Interl Xeon (Haswell)

E5-2680v3 CPUs 2.50 GHz avec 512 Go de RAM) . . . 126 3.4 Valeurs des raideurs initiales et finales pour différentes valeurs du coefficient de

frottement . . . 126 3.5 Valeurs des raideurs initiales et finales pour différents paramètres β . . . 128 3.6 Valeurs des raideurs initiales et finales pour différentes valeurs de pression externe . 130 3.7 Comparaison des valeurs de raideur finale en fin de phase de charge et de décharge

(18)

3.8 Nombre de noeuds et d’éléments du modèle complet tenant compte des écrans de cuivre . . . 134 3.9 Comparaison du temps de calcul entre les deux modèles numériques pour un cycle

de flexion compris entre −0.1 m−1 _{et 0.1 m}−1 _{(4×12-Core Intel Xeon (Haswell)}

E5-2680v3 CPUs 2.50 GHz avec 512 Go de RAM) . . . 135 3.10 Comparaison Essai-Numérique (modèle avec prise en compte de l’écran) pour K ∈

[−0.10 m−1; 0.10 m−1] . . . 136 C.1 Comparaison des raideurs obtenues sur le comportement du câble pour les deux

mé-thodes : Applications de conditions aux limites cinématiques ou d’un amortissement visqueux . . . 174 C.2 Comparaison des raideurs en traction-flexion obtenues sur le comportement du câble

pour les deux méthodes : Applications de conditions aux limites cinématiques ou d’un amortissement visqueux . . . 174 D.1 Propriétés matériaux . . . 177

(19)

(20)

Sommaire

Contexte . . . 2 Objectifs de la thèse . . . 5 Plan de l’étude . . . 6

(21)

Contexte

Partout dans le monde, le besoin énergétique est grandissant. La diminution des énergies fos-siles et leur impact négatif sur l’environnement imposent d’adapter les modes de productions et de consommations d’énergie. Bien que la production d’énergie primaire dépende encore de la com-bustion du charbon, du pétrole ou du gaz naturel, de plus en plus de pays se tournent vers le développement de l’énergie renouvelable. En 2012, 20.8% de la production électrique mondiale est d’origine renouvelable dont 11.4% est issue de l’éolien, voir Figure 1. En ce qui concerne la France, le parlement a adopté depuis le 22 Juillet 2015 la loi relative à la transition énergétique qui a pour objectif de placer l’énergie renouvelable à 32% de la consommation énergétique française en 2030.

(a) (b)

Figure 1 – Structure de la production d’électricité mondiale en 2012 (a) et structure de la pro-duction électrique d’origine renouvelable en 2012 (b) [Observ’ER, 2013]

Étant le 2ème _{gisement de vent d’Europe ainsi que la 2}ème _{zone économique exclusive maritime}

mondiale, juste derrière les États-Unis, la France possède un fort potentiel exploitable dans les énergies renouvelables, en particulier dans l’éolien. En 2017, la production d’électricité d’origine éolienne a été estimée à 24 TWh, soit 4.5% de la production nationale [EDF-France, 2017]. Pour l’année 2023, la Programmation Pluriannuelle de l’Énergie a fixé un cap de 24.1 GW de production pour l’éolien terrestre et de 2.4 GW pour l’éolien offshore [PPE, 2020].

Avec ces 11 millions de km2 _{de zone maritime la France se prépare à recevoir plusieurs sites de}

parc éolien offshore dont ceux de Nazaire, Fécamp, Courseulles-sur-Mer, Le Tréport, Saint-Brieux et Noirmoutier pour une puissance totale de 3300 MW. La mer apporte certains avantages comme un vent régulier et des espaces importants pour la mise en place d’éolienne de grande puissance (de 6 à 10 MW). Bien que l’espace maritime soit important, l’éolien posé reste limité en terme de profondeur. Les structures de type Monopieu, Jacket ou bien Béton gravitaire, voir Figure

(22)

2a, sont généralement utilisées pour des profondeurs de 50 m au maximum. Afin de dépasser cette limitation, plusieurs technologies d’éoliennes flottantes voient le jour, à savoir un flotteur vertical fortement ballasté ("SPAR"), une plateforme semi-submersible et une plateforme maintenue par un ancrage tendu ("Tension leg Platform"), voir Figure 2b. Trois aspects poussent à développer la technologie de l’éolien flottant. Le premier concerne la productivité, les éoliennes flottantes placées au large, tirent profit d’un vent plus fort et constant. Le second garantit un impact environnemen-tal plus faible en limitant le nombre de résidus sur site lorsque l’éolienne, en fin de vie, est retirée. On peut aussi estimer que les éoliennes plus loin de la côte et donc moins visible par les habitants recueillent une meilleure acceptabilité. Finalement, le troisième point touche l’aspect financier car une installation plus économique peut être envisagée à quai avant que l’ensemble soit placé sur site. Cependant, la conception des systèmes flottants reste plus délicate que sur terre du fait des conditions environnementales plus difficiles à appréhender et du problème lié au transport de l’élec-tricité vers le continent. C’est pourquoi de nombreux projets voient le jour et se concentrent sur le développement de composants fiables et économiques.

(a) Systèmes posés (b) Systèmes flottants

Figure 2 – Illustrations des différentes technologies d’un système éolien offshore

Les travaux présentés ici sont inscrits dans le cadre d’un projet ANR, appelé "OMbilicaux DYNamiques pour les énergies marines renouvelables-phase 2" (OMDYN2) et porté par France Énergies Marines (FEM) et ses partenaires. Faisant suite à une première étude de même nature, ce projet s’intéresse à un des points clés d’un système éolien flottant : le câble dynamique, ou câble ombilical, permettant de transporter l’énergie électrique produite par la turbine, voir Figure 3. Ce câble, dont le nom vient de l’analogie avec un cordon ombilical, est immergé et garantit la liaison fond-surface entre le flotteur et le câble statique dont le rôle est de créer la jonction avec le poste électrique de raccordement situé sur le continent. Déployé sur une centaine de mètres, le câble dynamique est contraint par le déplacement du flotteur, le mouvement de la houle et du courant. Ces mouvements perpétuels et cycliques exposent, à long terme, les composants du câble à de la fatigue mécanique. D’autre part, des sollicitations thermiques, résultant du transport d’électricité, créées un échauffement et une dilatation de la section du câble pouvant respectivement modifier les

(23)

caractéristiques mécaniques et la mise en contact de ses constituants. De plus, le recouvrement de la structure par des différentes espèces marines peut aussi être à l’origine d’une dégradation précoce du câble. En effet, la bio-colonisation peut modifier le comportement mécanique du câble du fait de l’augmentation des efforts hydrodynamiques résultant de l’accroissement de son diamètre et de sa rugosité. Par conséquent, cet élément est clairement identifié comme un composant critique pour un système éolien flottant.

(a) (b)

Figure 3 – Représentation de la position du câble dynamique dans un système éolien flottant (a) et photographie de la section d’un câble dynamique (b) (sources : Centrale Nantes et France Énergies Marines)

La fatigue mécanique des constituants du câble dynamique apparait comme étant primordiale pour estimer la durée de vie du câble. Comme le montre l’étude menée dans [Spraul, 2018], des incertitudes présentes dans les caractéristiques du câble peuvent influencer le comportement global et ainsi la durée de service du câble.

La conception des câbles repose sur le calcul de leur réponse en service. D’un point de vue mécanique, il s’agit de déterminer la réponse temporelle du câble à différents états de mer, en par-ticulier dans le cas de sollicitation cyclique en fatigue ("Fatigue limit state : FLS") et dans le cas de chargement extrême ("Ultimate limit state : ULS"). Comme présenté dans [Thies et al., 2012], [Yang et al., 2018] ou bien dans [Leroy et al., 2017], dans ce type d’analyse, le câble est décrit à l’aide d’un modèle numérique de type poutre, soumis à des efforts hydrodynamiques et aux mou-vements du flotteur qui supporte l’éolienne. Ce calcul est en général réalisé à l’aide de logiciels commerciaux tels que Deeplines ou Orcaflex. Il importe donc, d’une part d’alimenter ce modèle par les caractéristiques de raideur de la poutre, mais aussi à partir des résultats obtenus sur ce modèle poutre, de calculer les contraintes locales dans le câble. Le comportement global de poutre du câble et l’état de contraintes local sont obtenus à partir d’un modèle détaillé de la section. Dans la littérature, différents modèles existent, qu’ils soient analytiques ou bien numériques, voir par exemple [Sævik and Ekeberg, 2002], [Skeie, 2006] et [Tjahjanto et al., 2017]. Néanmoins, la com-plexité géométrique et matérielle de ce type de câble nécessite l’utilisation d’un certain nombre

(24)

d’hypothèses permettant de simplifier la construction des modèles. Ainsi, les phénomènes phy-siques ne sont pas toujours retranscrits avec précision, ce qui engendre une incertitude importante sur le calcul de la durée de vie du câble.

Dans ce contexte, l’objectif principal des travaux présentés dans ce document est de proposer un nouveau modèle numérique détaillé des câbles dynamiques. D’une part, ce modèle devra prendre en compte les phénomènes physiques présents au sein d’une section de câble afin de décrire avec précision son comportement mécanique global pour plusieurs sollicitations. D’autre part, ce modèle devra être capable d’estimer les contraintes au sein des différents constituants du câble dans le but d’obtenir des caractéristiques précises pour aborder son étude en fatigue.

Objectifs de la thèse

Avant de pouvoir réaliser toute modélisation, il est bien sûr important de connaître dans les détails, la géométrie et les matériaux des constituants de la structure. Les câbles dynamiques sont des structures très hétérogènes, composées notamment de plusieurs constituants métalliques : en cuivre dans la zone centrale du câble (partie conductrice), en acier sur sa périphérie (pour renforcer la structure). Ces constituants métalliques sont généralement réalisés sous la forme de fils hélicoïdaux, assemblés en couches concentriques. L’ensemble est maintenu et protégé par des membranes plastiques. Un des premiers objectifs est alors d’identifier les différents paramètres géométriques permettant de décrire la forme et la position des constituants dans la cross-section du câble. Connaître le rôle et l’importance des constituants permettra, d’autre part, de faire cer-taines hypothèses sur la géométrie, afin de simplifier le modèle numérique tout en garantissant un impact négligeable sur la solution. La compréhension des interactions de contact au sein du câble est aussi primordiale. En effet, au vu de la complexité géométrique de la structure, plusieurs zones de contact doivent être identifiées. Les pressions résiduelles, présentes au sein du câble à l’état non déformé, constituent un autre facteur ayant un rôle important. Le procédé de fabrication de ce type de câble introduit des contraintes de contact résiduelles pouvant modifier le comportement de la structure, en particulier pour des sollicitations en flexion.

La caractérisation du comportement global et l’état de contrainte local se fait numériquement, à partir d’un ensemble de calculs sur un modèle éléments finis d’un tronçon du câble. Les paramètres de sollicitation sont choisis pour permettre de balayer l’espace correspondant aux sollicitations su-bies, avec une attention particulière sur la flexion. Les raideurs globales de poutre sont obtenues à partir d’une méthode d’homogénéisation permettant d’une part de tenir compte des effets 3D et d’autre part d’isoler convenablement un période du câble, en imposant des conditions aux limites bien spécifiques évitant tout effet de bords. Bien que cette méthode, connue sous le nom de méthode d’homogénéisation des poutres périodiques, soit bien établie en élasticité linéaire pour des compo-sants collés entre eux, voir [Cartraud and Messager, 2006] et [Messager and Cartraud, 2008], un des objectifs est de la transposer au cas de l’ombilical tout en tenant compte de deux types de non-linéarités. Le premier concerne les non-linéarités géométriques, car les déplacements transver-saux du câble ne sont pas négligeables par rapport aux dimensions de la cross-section et le second correspond à la non-linéarité de contact, principalement pour des sollicitations en flexion, voir par exemple [Kmet et al., 2013] et [Zhang and Ostoja-Starzewski, 2016]. En effet, selon les efforts de contact normaux et de la valeur de flexion que subit le câble, le contact entre ses constituants peut être collant ou glissant avec frottement, et influence la valeur de sa rigidité à la flexion. Une

(25)

réflexion est également à mener sur la modélisation du contact établi le long des différents consti-tuants déformables.

La modélisation volumique d’une telle structure engendre inévitablement des temps de calcul considérables. Bien que l’approche d’homogénéisation proposée permette de restreindre l’étude à une portion du câble, la prise en compte des nombreuses interactions de contact et des non-linéarités qui en découlent, peut tout de même entraîner un important coût de calcul. De ce fait, un des objectifs sera de proposer différentes modélisations permettant de réduire la taille du mo-dèle. Dans ce contexte, des éléments poutres pourront être utilisés afin de diminuer le nombre de degrés de liberté des modèles éléments finis.

Par ailleurs, même si des logiciels sont spécialement dédiés à ce type de modèle, comme UFLEX [Sævik and Ekeberg, 2002] ou bien HELICA [Sødahl et al., 2009], il importe d’utiliser un logiciel de calcul éléments finis standard, ABAQUS dans le cas présent. L’utilisation de code standard demande néanmoins quelques développements en amont du calcul et pour le post-traitement des résultats. Dans ce but, la création d’un outil externe constituera un nouvel objectif afin de générer facilement et rapidement les modèles numériques.

Dans le contexte du projet OMDY2 la mise en place d’essais sur le câble dynamique sera réalisé grâce à une sous-traitance, en parallèle des calculs, afin de caractériser les raideurs globales du câble, en particulier pour une sollicitation en flexion. Les résultats expérimentaux permettront d’évaluer et de calibrer les modèles numériques développés dans cette étude.

Plan de l’étude

Le premier chapitre de ce document est consacré à un état de l’art des différents sujets abordés lors de cette étude. Dans un premier temps, nous nous intéresserons aux câbles métalliques qui, de part leur géométrie, possèdent de grandes similitudes avec les câbles dynamiques. La géométrie, les différents contact présents au sein du câble seront présentés. Une étude bibliographique des différents modèles de câbles métalliques, qu’ils soient analytiques ou numériques, pourra mettre en avant les différents comportements mécanique du câble. Par la suite, les câbles dynamiques et leur modélisation seront présentés. Dans les dernières sections de ce chapitre, nous détaillerons les différentes notions de la méthode d’homogénéisation utilisée pour caractériser le comportement du câble et les différentes approches pour modéliser et résoudre les problèmes de contact avec la méthode des éléments finis.

Nous présenterons dans le second chapitre, une méthodologie pour générer les différents modèles de câbles. Deux cas de validation seront détaillés, à savoir, un câble mono-couche correspondant à la structure câble la plus simple possible et un câble multi-couche afin d’augmenter la difficulté au sein des modèles numériques. Les résultats obtenus seront ensuite comparés aux modèles ana-lytiques présents dans la littérature.

Dans le troisième chapitre, nous appliquerons la méthode de calcul développée au cas d’un câble dynamique de 20 KV qui a par ailleurs fait l’objet d’essais mécaniques. Nous commencerons par présenter les résultats et le principe des essais réalisés sur le câble avant de décrire les diffé-rents modèles numériques utilisés. Par la suite, une analyse des diffédiffé-rents paramètres physiques

(26)

et numériques ayant une influence sur le comportement mécanique du câble sera détaillée et nous discuterons de la comparaison entre les essais et les résultats de calculs. Pour conclure ce troisième chapitre, une présentation des différentes possibilités de post-traitement du modèle numérique du câble sera effectué.

Une conclusion générale des travaux menés et les perspectives envisagées seront présentés dans le dernier chapitre de ce document.

Finalement, la dernière partie de ce manuscrit est consacrée aux annexes, discutant des diffé-rents modèles analytiques des câbles métalliques, de l’estimation des grandeurs liés au contact par la théorie de Hertz et de l’utilisation d’un amortissement visqueux associé au schéma classique de Newton-Rapshon.

(27)

(28)

ÉTAT DE L’ART : MÉTHODE ET OUTILS

Sommaire

1.1 Les câbles métalliques mono et multi-torons . . . 10 1.1.1 Description générale . . . 10 1.1.2 Géométrie des câbles . . . 11 1.1.3 Interaction de contact au sein d’un câble . . . 14 1.1.4 Modèles analytiques des câbles mono-toron . . . 16 1.1.5 Modèle analytique des câbles multi-torons . . . 24 1.1.6 Modèles éléments finis . . . 24 1.1.7 Conclusion . . . 27 1.2 Câble dynamique utilisé dans les éoliennes flottantes . . . 28 1.2.1 Description du câble dynamique . . . 29 1.2.2 Matériaux et géométrie du câble dynamique . . . 32 1.2.3 Analyse mécanique du câble dynamique : étude bibliographique . . . 35 1.2.4 Conclusion . . . 39 1.3 Méthode d’homogénéisation des poutres périodiques . . . 40 1.3.1 Description générale . . . 40 1.3.2 Cadre théorique de la méthode . . . 42 1.3.3 Résolution numérique . . . 45 1.3.4 Conclusion . . . 47 1.4 Modélisation du contact . . . 48 1.4.1 Cadre général de la mécanique du contact . . . 48 1.4.2 Résolution du contact par la méthode éléments finis . . . 50 1.4.3 Conclusion . . . 56

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1.1 Les câbles métalliques mono et multi-torons

De part les similitudes géométriques avec les câbles dynamiques, l’étude des câbles métalliques mono et multi-torons constitue une première approche. Elle révèle les différentes problématiques à traiter, à savoir, la géométrie hélicoïdale et la prise en compte des non-linéarités de contact. De nombreux travaux portant sur l’étude de câbles métalliques sont présents dans la littérature. Un état de l’art des câbles métalliques mono et multi-torons est donc proposé dans cette section qui détaille les différents modèles et résultats existants qu’ils soient analytiques, numériques ou bien expérimentaux.

1.1.1 Description générale

Les câbles métalliques sont des éléments de structures très utilisés dans différents domaines industriels et peuvent être soumis à plusieurs cas de chargement durant leur service. Des exemples d’applications sont proposés sur la Figure 1.1 [Feyrer, 2007]. Dans la majorité des cas, les câbles sont fortement contraints en traction comme dans le cas de haubans pour les ponts suspendus ou pour soulever de forte charge. Dans un second temps, ils peuvent être contraints en flexion lorsqu’ils sont utilisés pour du treuillage ou pour guider des chariots roulants. D’autres exemples d’applications utilisent leur conductivité pour transmettre le courant électrique comme pour les lignes à haute tension [Papailiou, 1995].

(a) Câble pour poulie (b) Câble stationnaire

(c) Câble de guidage (d) Câble de levage

Figure 1.1 – Exemples d’application d’un câbles métallique (Extrait de [Feyrer, 2007]) Le composant de base d’un câble est le brin métallique généralement fabriqué par des étapes successives d’étirage à froid ("cold drawing") ponctué par des phases de recuit pour atteindre une ductilité cible. La plupart des brins métalliques possèdent un revêtement spécifique afin d’être protégés contre la corrosion, habituellement fait de zinc [Feyrer, 2007].

L’ensemble des propriétés mécaniques d’un câble métallique est défini par le type de brin utilisé et la manière dont les brins sont assemblés. Ces derniers sont communément torsadés autour d’une âme métallique ou plastique afin d’obtenir une forte résistance à la traction et une flexibilité sous chargement en flexion. Il existe un nombre important d’arrangements dépendant de l’application visée. Pour la suite de ce travail, deux catégories de câbles, formant les composants de base d’un câble métallique, seront présentées, à savoir :

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• Les câbles mono-toron constitués d’une ou plusieurs couches de fils s’enroulant autour d’une âme rectiligne. Un exemple de toron mono-couche est présenté sur la Figure 1.2a, où 6 brins externes sont enroulés de manière hélicoïdale autour d’un brin central. La Figure 1.2b montre un câble composé de 2 couches de fils ayant respectivement 6 et 12 brins. Géné-ralement les différentes couches de fils possèdent un enroulement de signe opposé, afin de minimiser le couplage traction-torsion induit par la géométrie hélicoïdale des brins.

• Les câbles multi-toron constitués d’un arrangement de torons enroulés autour d’un grou-pement de brins ou d’un toron central. La Figure 1.2c montre le cas d’un multi-torons de type IWRC ("independent wire rope core") avec un toron central et 6 torons sur la péri-phérie. Chaque toron est composé d’une couche de 6 brins externes enroulés autour d’un brin central. Ce type de câble est principalement utilisé comme âme principale de câble à section plus complexe, à savoir le câble Seale IWRC ou bien le câble Warrington IWRC [Brand, 2016].

(a) (b) (c)

Figure 1.2 – (a) Câble mono-toron composé de 6 brins hélicoïdaux sur la couche externe et d’une âme rectiligne (1+6). (b) Câble mono-toron composé respectivement de 6 et 12 brins hélicoïdaux sur la couche interne et externe enroulés autour d’une âme rectiligne (1+6+12).(c) Câble multi-toron de type IWRC composé de 7 multi-torons (1+6)

1.1.2 Géométrie des câbles

La géométrie des câbles torsadés est très complexe puisque les lignes moyennes des brins peuvent être rectilignes, suivant une simple hélice ou bien une double hélice. Cette section a pour but d’introduire les différentes notations utilisées afin de définir la géométrie de la section des câbles mono-toron et multi-torons. Les expressions mathématiques obtenues pourront être alors employées par la suite pour définir la géométrie des modèles numériques.

1.1.2.1 Géométrie d’un câble mono-toron

Un câble mono-toron est composé de m couches de fils concentriques et d’une âme ayant respectivement une ligne moyenne hélicoïdale et rectiligne, voir Figure 1.3. Chaque couche j est définie par son nombre de fils nj, le rayon d’un fil Rsj, le rayon moyen de la couche Rhj et par son

angle d’enroulement αj. Le rayon du fil formant l’âme du câble est noté Rc. La position angulaire

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initiale. L’orientation de la section du fil i de la couche j est définie par l’angle θij. Dans le plan

(~x, ~y), défini par la section circulaire du fil central, la section d’un fil de la couche j peut être approchée par une section elliptique de petit axe aj et de grand axe, bj, dépendant de l’angle

d’enroulement, soient :

aj = Rsj et bj =

Rsj

cosαj

. (1.1)

Le pas d’hélice est la distance parcourue par un fil i de la couche hélicoïdale j en un tour complet autour de l’âme, soit φij = 2π, voir Figure 1.3c. Son expression est notée :

pj =

2πRhj

tan(αj)

. (1.2)

En tenant compte du rayon de l’hélice Rh, de la position angulaire φ, de la position angulaire

initiale φ0 et de l’expression du pas d’hélice 1.2, la position d’un point P situé sur une simple hélice

est donnée par le vecteur ~OP, voir Figure 1.4, tel que : ~

OP = Rhcos(φ + φ0)~x + Rhsin(φ + φ0)~y +

Rh

tan(α)φ~z. (1.3)

(a) (b) (c)

Figure 1.3 – Représentation sur la longueur (a) et sur la section (b) d’un câble mono-toron à deux couches de fils hélicoïdaux. (c) Relation entre l’angle d’enroulement et la longueur du pas d’hélice

Il est intéressant pour la suite, de définir ici la base de Frenet-Serret attachée à un fil hélicoï-dale. La construction de cette base constitue un moyen de déterminer la matrice de passage entre le repère global attaché au câble (O, ~x, ~y, ~z) et le repère locale définie par le plan perpendiculaire à la ligne moyenne d’un fil à simple hélice. La base de Frenet-Serret (P,~t, ~n,~b) est définie au point P avec ~t le vecteur tangent, ~n le vecteur normal et ~b le vecteur binormal, voir Figure 1.4.

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La courbure de l’hélice, κ ainsi que la torsion de l’hélice, τ, sont définies par :          κ = sin 2_α Rh τ = sinαcosα Rh (1.4)

Figure 1.4 – Définition de la base de Frenet dans le plan cartésien attaché à une simple hélice de Rayon Rh

En notant s l’abscisse curviligne, les vecteurs unitaires de la base de Frenet-Serret sont définis tels que : ~t = ∂ −→ OP ∂s = ∂−→OP ∂φ ∂φ ∂s, ~n = 1 κ ∂~t ∂s ~b = ~t ∧ ~n (1.5) En tenant compte de l’équation (1.4) et de la longueur de l’hélice définie par l’abscisse cur-viligne : ∂φ/∂s = sin α/Rh, l’expression des vecteurs composant la base de Frenet-Serret peut

s’écrire sous la forme matricielle suivante :   ~n ~b ~t  =   −cosφ −sinφ 0 sinφcosα −cosφcosα sinα −sinφsinα cosφ sin α cos α

    ~ x ~ y ~ z   (1.6)

1.1.2.2 Géométrie d’un câble multi-toron

Dans le cas d’un câble multi-toron de type IWRC représenté par la Figure 1.2c, on considère plusieurs torons sur la périphérie s’enroulant sur un toron central. Le rayon moyen des torons placés sur la périphérie est noté Rt, voir Figure 1.5a. La ligne moyenne de l’âme d’un toron

périphérique est une simple hélice de rayon Rt, tandis que la ligne moyenne des fils des couches

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situés respectivement sur la ligne moyenne de l’âme et d’un fil externe d’un toron périphérique, il est possible de décrire le vecteur position −→P Qdepuis la base de Frenet-Serret, voir Figure 1.5b, tel que :

−→

P Q = −Rdcos(γ)~n + Rdsin(γ)~b, (1.7)

où γ est la position angulaire de la ligne moyenne d’un fil à double hélice. À partir de Eq(1.3) et Eq(1.6), la position du point Q d’une double hélice dans le repère cartésien (O, ~x, ~y, ~z) est donnée par : −→ OQ =     (Rt+ Rdcosγ)cosφ + Rdsinγsinφcosαc (Rt+ Rdcosγ)sinφ − Rdsinγcosφcosαc Rtφ tanαc + Rdsinγsinα     T   ~x ~ y ~ z   (1.8)

où γ = mφ + γ0 , γ0 étant la position angulaire initiale et m un paramètre reliant l’angle

d’enrou-lement de l’âme d’un toron externe à celui d’un fil à double hélice tel que :

m = Rt Rdtanαd

sin αc (1.9)

(a) (b)

Figure 1.5 – Représentation de la géométrie d’un câble multi-torons (a) et représentation de la position angulaire des fils à doubles hélices dans la base de Frenet (b)

1.1.3 Interaction de contact au sein d’un câble

La prise en compte des interactions de contact constitue un des points clé de la modélisation des câbles. Deux types de contact peuvent être observés, [Foti and de Luca di Roseto, 2016] et [Cardou and Jolicoeur, 1997], à savoir, le contact circonférentiel et le contact radial, voir Figure 1.6a.

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(a) (b) (c)

Figure 1.6 – (a) Représentation des contacts radiaux et circonférentiels au sein d’une section ; (b) représentation de la ligne de contact et (c) représentation du point de contact

1.1.3.1 Contact circonférentiel

Le contact circonférentiel au sein d’un câble mono-toron, appelé autrement contact intra-couche, met en jeu une normal circonférentielle au sein de la section du câble. Dans une section et à l’état non chargé, ce contact est généralement supposé ponctuel. À l’échelle du câble, il s’agit donc d’un contact établi le long d’une ligne de contact entre les fils appartenant à une même couche, voir Figure 1.6b. Cependant, les procédés de fabrication ou les paramètres géométriques peuvent main-tenir un écart entre les fils d’une même couche afin de réduire les forces de friction lors d’un charge-ment en flexion, [Costello, 1997],[Feyrer, 2007] et [Foti and Martinelli, 2019]. Ce contact apparait alors seulement si deux conditions sur la géométrie sont satisfaites [Foti and Martinelli, 2019] :

ξ0 = Rs Rh− Rs < 1, αs< αsmax = arcos s tan2(π/2 − π/n) (1 + ξ₀−1)2_{− 1} ! , (1.10) avec ξ0 le rapport entre le rayon d’un fil de la couche hélicoïdale et le rayon inférieur de la couche,

et αsmax l’angle maximal définissant l’entrée en contact des fils d’une même couche.

Dans le cas d’un câble multi-toron, chaque toron placé sur la périphérie du câble peuvent entrer en contact. De part l’enroulement de la couche externe des torons périphériques, le contact est établie en plusieurs points de contact. Avec l’augmentation du chargement et de la pression circonférentielle, la surface de contact augmente et forme un contact elliptique, voir Figure 1.6c.

1.1.3.2 Contact radial

Dans le cas d’un câble mono-toron, le contact radial, autrement appelé contact inter-couche, est présent entre les fils de deux couches adjacentes. A l’état non-déformé du câble, deux fils de deux couches adjacentes se croisent en un point de contact, voir Figure 1.6c. Dès lors que l’angle d’enroulement est suffisamment faible, inférieur à 40°, [Cardou and Jolicoeur, 1997] et [Foti and Martinelli, 2019], la surface de contact augmente avec la pression radiale et peut être approchée par une ellipse.

Le contact radial peut aussi être établi le long d’une ligne de contact entre l’âme et la première couche de fils. Dans ce cas, le contact suit une hélice de rayon Rcdont l’angle d’enroulement peut

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être définie par : αcontact = atan Rc Rh tanαs . (1.11)

Pour un câble multi-toron, l’enroulement des fils des différentes couches externes des torons fait que le contact entre le toron central et les toron périphériques s’établit en plusieurs point de contact. Après chargement, la surface des différents point de contact peut être approché par une ellipse, voir Figure 1.6c.

1.1.4 Modèles analytiques des câbles mono-toron

De nombreux modèles analytiques, concernant les câbles métalliques mono-toron, sont présents dans la littérature et traitent de différents cas de chargement, qu’ils soient de traction, de torsion ou bien de flexion. Généralement, il est possible de différencier deux catégories de modèles analytiques : — les modèles avec une description à l’échelle du fil où chaque composant du câble est assimilé

à des poutres courbes définies par la théorie de Kirchhoff-Love [Love, 1944],

— les modèles semi-continus où les différentes couches de fils sont homogénéisées en un maté-riau continu orthotrope.

Le comportement global du câble peut être défini sous la forme suivante :     N Mx My Mz     =     K11 K12 K13 K14 K21 K22 K23 K24 K31 K32 K33 K34 K41 K42 K43 K44         Ee Ef1 Ef2 Et     , (1.12)

où N, Mx, My, Mz, sont respectivement l’effort axial, les moments de flexion autour de ~x, ~y et le

moment de torsion autour de ~z. Les termes Kij, [i; j] ∈ [1, 4], caractérisent la matrice raideur du

comportement global. Les notations Ee_{, E}f1, Ef2 et Et, représentent respectivement la déformation

axiale, les déformations en flexion et la déformation en torsion. De part la géométrie hélicoïdale des câbles, un couplage traction-torsion est présent lors d’un chargement axial pur en traction ou en torsion. Si une symétrie du câble est considérée, aucun couplage flexion-traction et flexion-torsion n’est présent pour une sollicitation axiale ou en flexion pure, [Lanteigne, 1985] et [Ghoreishi, 2005]. Dans la suite de cette étude, nous traiterons séparément les comportements axial et en flexion.

1.1.4.1 Comportement axial

Lors d’un chargement axial, chaque fil hélicoïdal des couches externes est soumis à de la trac-tion, flexion et de la torsion. Au fur et à mesure des recherches effectuées sur les câbles, les modèles présents dans la littérature prennent en considération d’autres phénomènes pouvant avoir un im-pact sur le comportement global axial du câble, à savoir :

— la variation de l’angle d’enroulement,

— la prise en compte de la contraction radiale due à l’effet Poisson,

— la prise en compte des interactions de contact radial et tangentiel ainsi que du frottement, — la déformation des fils due au contact ("flattening effect").