Chargement en traction-flexion du câble mono-couche

2.2.5.1 Comportement en traction-flexion

Dans le but de mettre en évidence les non-linéarités de contact, une étude du câble sollicité en traction et flexion est maintenant présentée. Pour cela, le câble est initialement pré-contraint en traction par une extension de 0.1%, puis, une courbure de 0.1 m−1 est appliquée autour de l’axe ~y1 (EE = 0.001 et EF1 = 0.1 m−1; ET = 0 rad.m−1; EF2 = 0 m−1). La valeur en courbure est choisie suffisamment importante pour observer le comportement non-linéaire du câble tout en restant dans l’hypothèse des petits déplacements et petites déformations.

Le comportement global en traction-flexion obtenu pour chaque modèle numérique est repré-senté sur la Figure 2.24. Le comportement peut être séparé en plusieurs régions dépendantes de l’intensité de la courbure. Initialement, la raideur en flexion est maximale car l’ensemble des com-posants du câble est maintenu par les forces de contact normal produites par le chargement en traction. Dans le cas présent, les fils de la couche externe et l’âme du câble se comportent comme une seule et même entité et la cross-section subit une flexion globale, voir Figure 2.25. La rai-deur en flexion obtenue par les modèles numériques pendant l’état collant est plus faible que celle estimée par le modèle analytique de Papailiou, voir Tableau 2.14. Cela peut être expliqué par le fait que le modèle analytique est basé sur une géométrie parfaite et considère un contact

parfai-tement collant à l’état initial excluant ainsi tout glissement. D’un autre point de vue, des petits glissements sont toujours présents dans les modèles numériques, ainsi que dans les cas pratiques [Hardy and Leblond, 2003], ce qui a pour effet de diminuer la raideur en flexion à l’état collant. Dans le but de s’approcher du modèle analytique, il est nécessaire d’augmenter le nombre d’élé-ments pour mailler les zones de contact, voir [Zhang and Ostoja-Starzewski, 2016]. Cependant cela augmente fortement les temps de calculs, particulièrement pour le modèle utilisant des éléments volumiques. Arrivés à une courbure critique, relevée ici autour de 0.015m−1, les fils de la couche externe proches de l’axe de flexion entrent en phase de glissement. Par la suite, chaque fil subit une flexion pure et la raideur en flexion décroît jusqu’à atteindre son minimum, correspondant à celle obtenue lors d’un chargement en flexion pure, voir Figure 2.26.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 2 4 6 8 10 Courbure [m−1] Momen t de flexion [N.m]

(a) Éléments volumiques

β = 0.005 β = 0.001 β = 0.0005 Théorie de Papailiou 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 2 4 6 8 10 Courbure [m−1] (b) Éléments poutres 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 2 4 6 8 10 Courbure [m−1] Momen t de flexion [N.m]

(c) Éléments poutres et surfaciques

Figure 2.24 – Comportement du câble mono-couche sous une sollicitation en flexion avec une pré-tension initiale

Une forte influence du coefficient β, régularisant la loi de Coulomb, est observée sur le résultat des modèles numériques. Avec la valeur par défaut de β proposée dans ABAQUS, i.e β = 0.005, le comportement collant est mal reproduit. Il est alors nécessaire de définir une valeur de β la plus faible possible afin de mieux approcher la loi de Coulomb tout en évitant la divergence de la

solution. Dans le cas présenté ici, la convergence de la courbe Moment-courbure est obtenue pour β = 0.0005.

Modèle K₂₂ état collant [N.m2] K₂₂ état glissant [N.m2] Maillage volumique 320.55 52.30

Maillage poutre 405.13 52.40 Maillage poutre

avec surface de contact ^{378.58 52.99} Théorie de Papailiou 409.43 52.52

Table 2.14 – Raideur en flexion du câble mono-couche sollicité en flexion avec pré-tension dans le cas d’un contact collant et glissant avec β = 0.0005

2.2.5.2 Étude de l’état de contrainte en traction-flexion

La distribution des contraintes axiales au sein du câble lors de l’état collant est donnée par la Figure 2.25. Comme expliqué précédemment, les contraintes axiales estimées par les éléments poutres varient linéairement le long de la section des fils tandis que dans le cas des fils modélisés par des éléments volumiques, l’effet des efforts de contact peut être observé. Les valeurs des contraintes axiales au sein de la couche externe des modèles numériques sont répertoriées dans le Tableau 2.15 et comparées à la théorie de Papailiou dans le cas d’un état collant. Du fait que de petits glissements apparaissent dans le cas des modèles numériques, les valeurs de contraintes maximales sont légèrement inférieures à celles estimées par le modèle analytique. Pour le cas du comportement glissant, observé sur la Figure 2.26, chaque fil est soumis à de la flexion pure. La contrainte axiale maximale est située au niveau de l’âme du câble car elle possède le plus grand rayon. Les valeurs numériques sont données dans le Tableau 2.16 et comparées avec celles estimées par le modèle de Papailiou. Un très bon accord est obtenu entre la théorie et les différentes modélisations.

(a) Volumique (b) Poutre (c) Poutre avec surface de contact

Figure 2.25 – Champ de contrainte axiale σ33 pour le câble mono-couche sollicité en flexion avec pré-tension pendant la phase du contact collant : EE = 0.001 et EF1 = 0.00875 m−1

(a) Volumique (b) Poutre (c) Poutre avec surface de contact

Figure 2.26 – Champ de contrainte axiale σ33 pour le câble mono-couche sollicité en flexion avec pré-tension : EE = 0.001 et EF1 = 0.1 m−1 pendant la phase du contact glissant

Modèle σ₃₃ max [MPa] σ₃₃ min [MPa] Maillage volumique 213.1 177.7

Maillage poutre 220.4 187.8 Maillage poutre

avec surface de contact ^{221.7 186.0} Théorie de Papailiou 221.4 192.7

Table 2.15 – Contrainte axiale minimale et maximale au sein des fils de la couche externe pour le câble mono-couche sollicité en flexion avec pré-tension pendant l’état de contact collant : EE = 0.001 et EF1 = 0.0875 m−1

Modèle σ₃₃ max [MPa] σ₃₃ min [MPa] Maillage volumique 257.3 134.6

Maillage poutre 267.8 143.0 Maillage poutre

avec surface de contact ^{268.2 139.7} Théorie de Papailiou 276.1 139.6

Table 2.16 – Contrainte axiale minimale et maximale au sein des fils de la couche externe pour le câble mono-couche sollicité en flexion avec pré-tension pendant l’état de contact glissant : EE = 0.001 et EF1 = 0.1 m−1

Il est important de noter que des calculs complémentaires ont été effectués afin de valider l’utilisation des conditions aux limites périodiques. Les mêmes calculs ont été réalisés sur une taille de période supérieure à 1/6ème de la longueur, en l’occurrence 3/6ème et 5/6ème de la longueur. Pour l’ensemble de ces longueurs, les déplacements aux nœuds des surfaces extrêmes de la période centrale sont identiques. De plus, le comportement global de type poutre, les valeurs de contrainte ainsi que le glissement des fils relevé au centre de la période sont similaires pour ces différentes longueurs. Cela montre donc que la périodicité de la structure après glissement reste inchangé même pour un chargement en traction-flexion. De ce fait et en considérant l’hypothèse des petits

déplacement et petites déformations, cela valide l’utilisation des conditions aux limites périodiques pour des composants en interactions les uns avec les autres.