Chargement en traction-flexion du câble multi-couche

2.3.5.1 Comportement en traction-flexion

Le câble est maintenant déformé en traction et en flexion. Les contacts sont initialisés par une déformation axiale de 0.1%, puis, une courbure de 0.1 m−1 autour de l’axe ~y1 est appliquée à la structure. La valeur de courbure a été choisie dans le but d’observer le comportement non-linéaire en flexion tout en respectant l’hypothèse des petits déplacement et petites déformations à l’échelle de la période.

Le comportement en flexion obtenu par les modèles numériques est présenté sur la Figure 2.44. Trois régions peuvent être identifiées : l’état collant initial, le glissement de la couche externe et le glissement de la couche interne. Dans la théorie de Papailiou, la courbure critique d’entrée en glissement est définie par une courbure critique moyenne pour chaque couche de fils. Ainsi, la courbe du moment de flexion obtenue par le modèle analytique est linéaire par morceau. Pour les modèles numériques, le glissement d’un fil est évalué tout au long de la simulation, ce qui conduit à une relation moment-courbure plus lisse.

Comme pour le cas du câble mono-couche, on observe une influence du paramètre β sur l’évolu-tion du comportement en flexion. Pour une faible valeur du paramètre β, la raideur initiale estimée numériquement tend à être plus importante, s’approchant ainsi de la raideur maximale proposée par le modèle analytique de Papailiou, voir Tableau 2.26.

Modèle K₂₂ état collant [N.m2] K₂₂ état glissant [N.m2] Maillage volumique 1738.4 139.54

Maillage poutre 3366.7 148.9 Maillage poutre

avec surface de contact ^{2912.9 140.3} Théorie de Papailiou 3306.8 140.8

Table 2.26 – Raideur en flexion du câble multi-couche sollicité en flexion avec pré-tension dans le cas d’un contact collant et glissant avec β = 0.0005

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 20 40 Courbure [m−1] Momen t de flexion [N.m]

(a) Éléments volumiques

β = 0.005 β = 0.001 β = 0.0005 Théorie de Papailiou 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 20 40 Courbure [m−1] (b) Éléments poutres 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 20 40 Courbure [m−1] Momen t de flexion [N.m]

(c) Éléments poutres et surfaciques

Figure 2.44 – Comportement du câble multi-couche sous une sollicitation en flexion avec une pré-tension initiale

Les résultats numériques convergent lorsque β atteint la valeur de 0.0005. Les différentes mo-délisations du contact influencent aussi le comportement en flexion du câble. Les résultats obtenus par les modèles poutres sont proches des valeurs analytiques. Pour le modèle basé sur des éléments volumiques, le comportement est dépendant des interactions de contact et du maillage utilisé. En comparaison avec l’analyse du câble mono-couche, un écart plus important en contact collant peut être observé entre le modèle analytique et le modèle avec éléments volumiques. Ceci résulte d’une force de contact plus faible au niveau des points de contact situés à l’interface entre les deux couches de fils. Cependant, l’ensemble des modèles numériques s’accorde sur la valeur de la raideur lors de l’état de glissement total, voir Tableau 2.26.

Suite à l’extension initiale, un chargement en flexion cyclique avec une amplitude de 0.2 m−1

est proposé sur la Figure 2.45, montrant la capacité des modèles numériques à capturer le compor-tement hystérétique du câble. La différence entre le modèle analytique de Papailiou et les résultats numériques tend à augmenter lors de la phase de décharge et pendant la seconde phase de charge. Toutefois, un bon accord est observé entre les différentes modélisations.

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1 −40 −20 0 20 40 Courbure [m−1] Momen t de flexion[N.m] Éléments volumiques Éléments poutres

Éléments poutres et surfaciques Théorie de Papailiou

Figure 2.45 – Comportement du câble multi-couche sous une sollicitation en flexion avec une pré-tension initiale

2.3.5.2 Étude de l’état de contrainte en traction-flexion

Le champ de contrainte axiale lors de l’état collant est présenté sur la Figure 2.46. On constate que les contraintes axiales sont essentiellement reliées à la déformation en traction du câble. Des concentrations de contraintes sont observées sur la couche externe en raison de la répartition des contacts ponctuels entre la couche interne et la couche externe. Le chargement en flexion augmente la valeur maximale des contraintes. Par ailleurs, il diminue la valeur minimale des contraintes de chaque modèle numérique (cf. Tableau 2.27).

(a) Volumique (b) Poutre (c) Poutre avec surface de contact

Figure 2.46 – Champ de contrainte axiale σ33 pour le câble multi-couche sollicité en flexion avec pré-tension pendant la phase du contact collant : EE = 0.001 et EF1 = 0.005 m−1

La Figure 2.47 montre le champ de contrainte axiale au sein du câble pour un comportement glissant. Comme dans le cas du câble mono-couche, on peut voir que l’ensemble des fils subit une flexion pure. Ainsi, la variation entre la valeur maximale et minimale des contraintes augmente pour un comportement glissant, voir Tableau 2.28. Les deux modélisations poutres donnent des

résultats similaires. Contrairement aux modèles poutres, les contraintes axiales sont localement plus importantes au niveau des points de contact dans la couche interne pour le modèle avec des éléments volumiques.

(a) Volumique (b) Poutre (c) Poutre avec surface de contact

Figure 2.47 – Champ de contrainte axiale σ33 pour le câble multi-couche sollicité en flexion avec pré-tension pendant la phase du contact glissant : EE = 0.001 et EF1 = 0.1 m−1

Les contraintes axiales estimées par le modèle de Papailiou sont données à titre informatif dans les Tableaux 2.27 et 2.28. Les modélisations poutres s’accordent avec la théorie sur l’estimation des contraintes dans la couche interne. Cependant, la théorie de Papailiou, qui ne considère pas la répartition ponctuelle du contact, sous-estime les contraintes axiales dans la couche externe.

Modèle ^{Couche externe Couche interne} σ₃₃ max [MPa] σ₃₃ min [MPa] σ₃₃ max [MPa] σ₃₃ min [MPa] Maillage volumique 258.8 67.0 247.5 -48.9 Maillage poutre 248.6 169.7 214.7 201.8 Maillage poutre

avec surface de contact ^{243.7 172.7 213.8 201.2} Théorie de Papailiou* 221.2 194.5 215.9 199.8

Table 2.27 – Contraintes axiales minimales et maximales au sein des deux couches du câble multi-couche sollicité en flexion avec pré-tension pendant la phase de contact collant : EE = 0.001 et EF1 = 0.005m−1; (*) Hypothèse d’une ligne de contact entre la couche externe et la couche interne

Modèle ^{Couche externe Couche interne} σ₃₃ max [MPa] σ₃₃ min [MPa] σ₃₃ max [MPa] σ₃₃ min [MPa] Maillage volumique 318.9 -71.3 338.0 -116.8 Maillage poutre 299.4 166.2 283.6 122.3 Maillage poutre

avec surface de contact ^{300.9 162.6 287.0 112.3} Théorie de Papailiou* 276.1 139.6 290.5 125.2

Table 2.28 – Contraintes axiales minimales et maximales au sein des deux couches du câble multi-couche sollicité en flexion avec pré-tension pendant la phase de contact glissant : EE = 0.001 et EF1 = 0.1 m−1; (*) Hypothèse d’une ligne de contact entre la couche externe et la couche interne