Dans cette section, les différents modèles numériques du câble dynamique sont introduits. Dans un premier temps, la géométrie de deux modèles numériques sera présentée, l’un reposant sur des simplifications fortes permettant d’obtenir un résultat rapide et l’autre incluant une description plus précise de différents composants considérés à risque. Par la suite les étapes de modélisation sera présenté, telles que le choix des matériaux, l’identification et la modélisation des interactions de contact ainsi que les chargements appliqués au modèle. Ainsi les différents paramètres physique et numériques influençant le comportement en flexion du câble pourront être mis en avant.
3.2.1 Description
La construction des modèles numériques doit répondre à plusieurs points importants. La géo-métrie du modèle numérique doit décrire et représenter avec la meilleure précision possible, les dimensions et la forme des constituants du câble. Il s’agit alors de ne pas apporter de simplifica-tion concernant les constituants dont le rôle est important dans le calcul de la raideur du câble et ceux dont les contraintes doivent être analysées avec précision. La longueur de chaque modèle numérique doit être représentative d’une période du câble pour pouvoir appliquer les conditions aux limites de la méthode d’homogénéisation des poutres périodiques. Associée à la géométrie, la modélisation du contact doit tenir compte de toutes les surfaces de contact et ainsi des phénomènes de glissement possible. Par conséquent, le choix du coefficient de frottement doit permettre de bien représenter le comportement collant du câble en flexion. Les propriétés de chaque matériau du câble doivent être connues de façon précise. Les contraintes résiduelles issues du procédé de fabri-cation doivent être introduites au sein du modèle numérique. Finalement, le temps de calcul des modèles numériques doit être le plus court possible. Dans ce but, quelques simplifications peuvent être envisagées sans dégrader la réponse du câble en flexion.
L’objectif ici est de déterminer le comportement global de type poutre et de faire une première estimation des contraintes au sein des constituants. Pour cela, deux modèles numériques sont générés. Le premier consiste à simplifier le mieux possible les constituants des 3 phases du câble. En supposant que ces modifications apportent peu d’erreur sur le calcul du comportement, ce modèle pourra être facilement et rapidement utilisé pour analyser l’influence et calibrer les différents paramètres de calcul. Le second modèle proposé, consiste à représenter le plus fidèlement possible la géométrie et les interactions au sein de chaque phase. Il s’agit alors de représenter les écrans et les conducteurs en cuivre pour obtenir une meilleure appréciation de l’état de contrainte de ces derniers.
3.2.2 Géométrie des modèles
Tout comme le câble mono-couche et le câble multi-couche, la création des modèles numériques se fait à partir du logiciel externe développé sous Matlab. Chaque constituant est classé dans une géométrie spécifique et peut être représenté soit par des éléments poutres avec surface de contact, pour la géométrie de type brin, soit par des éléments volumiques.
D’une façon générale, des incertitudes sur la géométrie initiale du câble sont présentes. Il est important de noter que la déformation initiale du câble, en sortie de fabrication, change drastique-ment la géométrie et les surfaces en contact des différents constituants. Plusieurs simplifications seront donc menées et la géométrie des différents modèles ne tiendra pas compte des déformations initiales.
Afin de décrire les simplifications faites pour les différents modèles, nous proposons de reprendre la schématisation de la géométrie du câble dynamique sur la Figure 3.10.
Figure 3.10 – Schématisation de la section du câble dynamique : (a) détail des composants "externes" et (b) détail des composants au sein d’une phase
3.2.2.1 Modèle avec simplification des phases
Le premier modèle, proposé sur la Figure 3.11, a pour but de réaliser rapidement les calculs afin d’analyser l’influence des différents paramètres du modèle et de calibrer le comportement en flexion du câble sur les essais obtenus dans la section 3.1.
Figure 3.11 – Représentation de la géométrie du modèle simplifié
Pour cela, la longueur du modèle numérique est fixé à 1/3 du pas total des phases (numéro 6, cf. Figure 3.10), correspondant à plus de 200 mm. Sur cette longueur, il est alors possible de représenter la géométrie des phases. L’angle d’enroulement des couches d’armure (numéros 7 et 8) est légèrement modifié pour obtenir un pas d’hélice identique à celui des phases. Ainsi, cela permet d’avoir une périodicité axiale du modèle pour appliquer les conditions aux limites périodiques. L’écart de l’angle d’enroulement des armures entre le modèle numérique et les valeurs mesurées sur le câble est faible (<2%). Un seul "bedding" (numéro 2) est représenté entre les armures favorisant la prise en compte des contacts dans le modèle numérique. Son épaisseur est néanmoins légèrement augmentée pour éviter toute distorsion du maillage lors du chargement. Les matériaux de remplissage (numéro 4) sont composés de plusieurs cordes en poly-propylène difficile à représenter fidèlement. De ce fait, ils sont modélisés ici par un matériau homogène sous une forme compacte. Ayant un impact faible sur la réponse du câble et ne représentant pas un intérêt majeur pour cette étude, le tube contenant les différentes fibres optiques (numéro 5) n’est pas représenté dans le modèle numérique. Les conducteurs (numéro 12) au sein de la phase sont représentés par un cylindre plein homogène en cuivre, ce qui signifie que les fils individuels ne sont pas représentés. Les écrans (numéro 11), tout comme les rubans étanches (numéros 10 et 13) et les membranes en poly-éthylène (numéro 14) de l’isolant (numéro 15) ne sont pas représentés.
3.2.2.2 Modèle complet avec prise en compte de l’écran métallique
Dans le but de détailler la géométrie et les interactions au sein des phases, un second modèle est proposé sur la Figure 3.12. La modélisation et l’ensemble des constituants formant la couche externe du câble et les matériaux de remplissage est similaire à celle utilisée pour le modèle simplifié. Ayant une faible épaisseur et un impact supposé nul sur la caractérisation du comportement du câble et de l’état de contrainte, les rubans étanches (numéros 10 et 13) ne sont pas représentés. L’isolant est modélisé entièrement en tenant compte des membranes en polyéthylène l’entourant (numéros 14 et 15). Les brins de cuivre de l’écran (numéro 11) sont modélisés par une géométrie de type brin à double hélice. Compte tenu de la faible épaisseur du ruban de cuivre entourant les brins, ce dernier n’est pas pris en compte dans la modélisation. Le conducteur (numéro 12) est un toron composé d’une âme, d’une couche interne de 6 fils et d’une couche externe de 12 fils. Lors du procédé de fabrication, les fils constituant le conducteur sont fortement déformés, voir Figure 3.13. La section des brins, initialement circulaire, se déforme en une section polygonale. Un contact
sur-facique est donc observé entre les brins d’une même couche. De ce fait, il apparaît délicat de vouloir représenter chaque brin dans le modèle numérique avec une description réaliste de la géométrie de la section et des interactions de contact avec les brins voisins. Par conséquent, l’approche choisie ici, est de représenter chaque couche de fils par un cylindre creux dont la ligne moyenne est une simple hélice avec un angle d’enroulement identique à celui des phases. D’une part, cela pourra représen-ter le contact inreprésen-ter-couche et d’autre part, le glissement entre les différentes couches sera représenté.
Figure 3.12 – Représentation de la géométrie des phases du modèle tenant compte de l’écran
(a) (b)
Figure 3.13 – Photographie du conducteur vu de face (a) et vu de profil (b) : mise en évidence des déformations issues du procédés de fabrication
3.2.3 Les matériaux utilisés
Les différents matériaux sont définis dans le domaine élastique par le module d’Young et le coefficient de Poisson, voir Tableau D.1 en annexe D. L’ensemble des valeurs choisies est issu de la littérature, voir [Leroy et al., 2017] et [Tjahjanto et al., 2017] et de sites spécifiques comme www.matweb.com et www.ineos.com. Bien que le choix des matériaux puisse avoir un impact sur le comportement du câble, en particulier pour la raideur à l’état glissant, chaque donnée sera considérée comme exacte et sera alors fixée par la suite.
3.2.4 La modélisation du contact
Comme nous avons pu le voir dans les sections 2.2 et 2.3, la modélisation du contact a une forte influence sur la réponse mécanique du câble, en particulier dans le cas de la flexion. Par conséquent, nous proposons de parcourir l’ensemble des interactions de contact entre les différents constituants du câble dynamique dans les paragraphes suivants.
Contact entre armures et membranes plastiques :
Les couches d’armure sont en contact avec la membrane externe, le "bedding" et la membrane interne. Le contact, établi le long d’une ligne de contact, est modélisé par un algorithme nœud-surface. Bien que l’élément le plus raide doit généralement être choisi pour surface maître, la discrétisation faible des brins d’armures sur la ligne de contact nous amène à choisir les mem-branes comme étant les surfaces maîtres et les armures constituent les nœuds esclaves. En tenant compte de l’équation (1.10), le contact latéral entre les différents fils d’une couche d’armure est négligé. En effet pour la couche interne, le rapport entre le rayon d’un fils d’armure et le rayon externe de la membrane interne est inférieur à 1 (ξ0 = 0.053) et l’angle d’enroulement est inférieur à l’angle d’enroulement maximal d’entrée en contact (αmax = −27.55˚). Concernant la couche d’armure externe nous avons : ξ0 = 0.048 et αmax= 24.54˚.
Contact entre la membrane interne et la membrane externe des phases :
Le contact entre ces deux constituants est établi le long d’une ligne de contact. Par conséquent, une discrétisation nœuds-surface est utilisée pour modéliser cette interaction. Les nœuds esclaves sont choisis sur la membranes externe de la phase et la membrane interne constitue la surface maître.
Contact entre les membranes externes des phases :
Chaque phase est en contact avec les deux autres au niveau de sa membrane externe. Le contact, établi le long d’une ligne de contact, est modélisé par une discrétisation nœud-surface.
Contact avec les matériaux de remplissage :
Les matériaux de remplissage sont en contact avec les membranes externes de chaque phase et avec la membrane interne du câble. Les interactions entre ces composants mettent en jeu une surface importante en comparaison à une ligne de contact ou un contact ponctuel. Par conséquent, ces contact sont modélisés par une discrétisation surface-surface où la surface maître est choisie comme étant celle des matériaux de remplissage.
Contact au sein de la phase simplifiée :
Dans le cas de la phase simplifiée, le contact entre la membrane externe de la phase et l’isolant est modélisé par un contact collant. C’est-à-dire que ces deux constituants sont modélisés en un seul composant avec une surface de contact définie par des nœuds communs. Pour le contact entre l’isolant et le conducteur, il est considéré comme étant glissant-frottant. La surface de contact étant importante entre ces deux éléments, une discrétion surface-surface est utilisée, où le conducteur forme la surface maître.
Contact au sein de la phase avec écran métallique :
le contact entre la membrane externe de la phase et les brins de cuivre formant l’écran est modé-lisé par une ligne de contact avec une discrétisation nœud-surface. Les nœuds esclaves sont pris
sur chaque fils de l’écran et la surface interne de la membrane externe des phases constitue la surface maîtresse. De la même façon, une discrétisation nœud-surface est utilisé pour modéliser la ligne de contact entre les fils de l’écran et la membrane externe de l’isolant. Aucun contact n’est considéré entre les brins d’écrans. De part les observations faites lors de la découpe du câble, le contact entre les deux membranes externes de l’isolant et l’isolant est collant. Ce constituant est donc modélisé en un seul composant possédant une surface de nœuds communs. Le contact entre l’âme du conducteur et la couche interne du conducteur, entre la couche interne du conducteur et la couche externe du conducteur ainsi que le contact entre la couche externe du conducteur et la membrane interne de l’isolant sont modélisés par un contact glissant frottant. Pour cela, un algorithme surface-surface est utilisé.
Comme auparavant, une méthode de pénalité est choisie afin de résoudre le contact normal et tangentiel lorsque des éléments volumiques sont en contact. Dans le cas d’une modélisation poutre avec surface de contact, la méthode du Lagrangien augmenté est choisie pour résoudre les pro-blèmes liés au contact normal. Une attention est portée sur le paramètre β permettant de définir le seuil entre comportement collant et glissant dans la loi de Coulomb. Une influence non négligeable de ce paramètre sur la raideur en flexion à l’état collant a pu être observée dans les sections 2.2 et 2.3.
Le coefficient de friction utilisé pour toutes les interactions de contact est, à ce stade, fixé à 0.2. Ce choix a été fait en tenant compte d’une étude tribologique entre un cylindre en Acier et une surface en HDPE, voir [Dhouibi et al., 2013] ainsi que les caractéristiques mécanique du polyéthylène haute densité donnée par différent site, voir www.matweb.com et www.ineos.com. Néanmoins, en considérant ici une géométrie initiale dite "parfaite", les déformations initiales ne sont pas représentées. Ces dernières modifient les surfaces en contact et induisent une répartition hétérogène du contact. Par conséquent, le modèle numérique a tendance à sous-estimer l’aire des surfaces en contact et une augmentation du coefficient de frottement pourrait être envisagée pour mieux appréhender les phénomènes de frottement. Le choix de ce coefficient fera l’objet d’une étude sur le comportement dans la section 3.3.
3.2.5 Modélisation des contraintes résiduelles
Une influence des déformations et contraintes résiduelles a pu clairement être observée à travers les essais. Nous avons pu identifier deux sources étant à l’origine de cette état initial. Le stockage du câble sur un touret génère une courbure résiduelle non nulle et crée une dissymétrie des cycles de flexion. Le procédé de fabrication engendre des contraintes résiduelles entre les différentes couches du câble et produit un comportement non-linéaire du câble en flexion. Ici, nous considérons uni-quement l’état initial après fabrication.
Étant donné le manque d’informations sur les valeurs de contraintes résiduelles issues du procédé de fabrication, il a été choisi de modéliser ces dernières par une pression externe appliquée à la surface externe du câble. Cela permet ainsi de générer un état de contact non nul entre les différents composants, en particulier entre les couches de renforts et les membranes plastiques du câble. La pression est donc initiée avant chaque phase de chargement en flexion, voir Figure 3.14. Néanmoins la valeur de la pression n’a pas pu être quantifiée à travers les essais. Les effets d’une pression externe sur le modèle numérique seront donc étudiés dans la section 3.3 afin d’analyser son influence sur le comportement en flexion du câble.
3.2.6 Application des sollicitations et paramètres de calculs
La résolution des problèmes éléments finis est réalisée dans le cadre de la quasi-statique. Pour chaque modèle proposé, les chargements, représentés sur la Figure 3.14, sont effectués en deux étapes.
Dans un premier temps, les contacts au sein du câble sont initiés en imposant une extension de 0.0001% de la longueur à partir des conditions aux limites périodiques de la méthode d’homogé-néisation (EE = 10−6; EF1 = EF2 = 0 m−1; ET = 0 rad.m−1). La pression résiduelle est appliquée simultanément durant cette première phase de chargement. Par la suite, le chargement en flexion est appliqué au câble à partir des conditions aux limites périodiques de la méthode d’homogénéisa-tion en imposant une courbure K aux nœuds macroscopiques. Chaque cycle de flexion est modélisé en définissant l’amplitude de courbure par une fonction sinus, voir Figure 3.15.
L’ensemble des mouvements solides rigides, issus de la méthode d’homogénéisation, est bloqué en ajoutant un amortissement virtuel dans le schéma classique de Newton-Raphson.
Figure 3.14 – Représentation des différentes étapes de chargement appliqué au câble dynamique
0 0.01 0.01 0.02 0.02 −1 −0.5 0 0.5 1
Incrément [Sans unité]
Amplitude
[Sans
unité]
3.2.7 Conclusion
Deux modèles numériques ont été proposés ici pour caractériser le comportement et l’état de contrainte au sein du câble dynamique. Le premier modèle consiste à simplifier au maximum les composants au sein des trois phases du câble. En supposant que ces modifications influencent peu le comportement du câble, il sera alors plus facile et rapide d’étudier et de calibrer les différents paramètres du modèle numérique sur les résultats obtenus par les essais. Quant au second modèle, nous proposons de détailler de manière discrète l’ensemble des brins de l’écran métallique pour mieux estimer les contraintes au sein de ces constituants. De plus, chaque couche du conducteur y est représentée, pouvant potentiellement entrer en glissement les unes par rapport aux autres.
La difficulté pour créer un modèle numérique du câble dynamique réside clairement dans le choix de certains paramètres physiques et numériques. Du point de vue de la physique, la pression résiduelle présente entre les différentes couches du câble est difficilement quantifiable et doit faire l’objet d’une analyse plus détaillée. L’utilisation d’une étape intermédiaire de chargement pour tenir compte de la courbure résiduelle sera aussi analysée par la suite. Concernant, les paramètres numériques, la finesse du maillage du modèle, le coefficient de frottement et le paramètre β consti-tuent les principales inconnues pouvant influencer le comportement en flexion du câble. Ils feront donc l’objet d’une analyse plus détaillée dans la section suivante.
Le temps de calcul des différents modèles numériques constitue aussi un objectif important dans l’étude du câble dynamique. Pour les différentes géométries utilisées, les brins d’armures ou de l’écran pourront être modélisés par des éléments poutres avec surface et ainsi réduire le nombre de degrés de liberté des différents modèles. L’influence de ce choix sera analysée dans la section suivante.