Construction du modèle

2.1.1.1 Méthodologie

La construction des différents modèles éléments finis repose sur plusieurs étapes présentées sur la Figure 2.1. Dans un premier temps, un programme a été réalisé à l’aide du logiciel MATLAB afin de générer la géométrie, le maillage et les conditions aux limites périodiques du modèle numérique. Ce programme permet de générer tout type de structure câble et offre un moyen rapide de créer les modèles numériques. La donnée de sortie consiste en un fichier INP ("input") pouvant être lu par le code éléments finis ABAQUS, qui sera utilisé par la suite comme solveur des équations éléments finis. La seconde étape de création du modèle se fait à l’aide de l’interface graphique du logiciel ABAQUS. On y renseigne les différentes interactions de contact entre les composants, les paramètres de calcul, les cas de chargement et les sorties nécessaires au post-traitement des résultats. Finalement, une fois toutes les données complétées, la résolution du problème éléments finis se fait sur un cluster de calcul, Liger, présent sur le site de l’école Centrale Nantes.

2.1.1.2 Création de la géométrie et du maillage

Les données géométriques de la structure câble sont directement prises en tant que données d’entrée du logiciel "maison" réalisé sous le logiciel MATLAB, voir Figure 2.2. La géométrie et le maillage des différents composants sont créés à partir de cette interface. Une visualisation directe du maillage de la section de la structure permet de donner un premier aperçu du rendu final.

La longueur l de la période de chaque modèle est définie en utilisant les équations (1.14) et (1.15). On considère que le repère lié à la période est tel que l’axe principal du câble coïncide avec l’axe ~y3 et que l’origine du repère est centré au milieu de la structure, voir, par exemple, la Figure 2.3 dans le cas d’un câble composé de deux couches de fils hélicoïdaux.

Figure 2.2 – Capture de l’interface du logiciel maison pour la création de la géométrie et du maillage

Figure 2.3 – Représentation du repère attaché à la structure : l’axe ~^y3 correspond à l’axe principal du câble

Chaque composant du câble est catégorisé dans une famille de géométrie spécifique. On y retrouve les catégories suivantes :

— les brins rectilignes, Figure 2.4a : ce composant représente un fil droit dont la ligne moyenne est une droite et la section est circulaire dans le plan (~y1, ~y₂). Il est principalement utilisé pour représenter l’âme des câbles multi-couche et peut être modélisé par des éléments vo-lumiques ou poutres,

— les brins à simple hélice, Figure 2.4b : ce composant représente un fil de section circulaire dont la ligne moyenne est une simple hélice définie par l’équation (1.3). Dans le plan (~y1, ~y₂), la section du fil est elliptique. Ce composant permet de représenter les fils d’armure ou les couches externes des câbles multi-couche et peut être modélisé par des éléments volumiques ou poutres,

— les brins à double hélice, Figure 2.4c : ce composant est un fil de section circulaire dont la ligne moyenne est une double hélice définie par l’équation (1.8). Dans le plan (~y1, ~y₂), la section du fil est elliptique. Il permet de représenter les couches de fils externes des câbles multi-torons ou bien celles des écrans et des conducteurs dans le cas de l’ombilical et peut être modélisé par des éléments volumiques ou poutres,

— les membranes droites, Figure 2.4d : ce composant est un cylindre creux de section circulaire dont la ligne moyenne est une droite. Il permet de représenter les membranes externes plastiques présentes sur la circonférence des câbles. La modélisation de ce composant se fait par des éléments volumiques,

— les membranes à simple hélice, Figure 2.4e : Ce composant est un cylindre creux de section circulaire dont la ligne moyenne suit une simple hélice. Dans le plan (~y1, ~y₂), la section de cet élément est une ellipse. Il permet de représenter, par exemple, les membranes plastiques des phases hélicoïdales d’un câble ombilical. La modélisation de ce composant se fait par des éléments volumiques,

— les matériaux de remplissage ou autres composants , Figure 2.4f : ces composants possèdent une géométrie bien spécifique et ne sont pas générés au sein du programme. Leur géométrie et leur maillage associé, sont directement importés depuis un logiciel de CAO, ou, dans le cas présent, du logiciel ABAQUS. La modélisation de ce composant se fait par des éléments volumiques.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Dans le cas d’un composant utilisant des éléments volumiques, la première étape de la gé-nération du maillage consiste à discrétiser la section du composant dans le plan (~y1, ~y₂) par des éléments surfaciques quadrangles, voir Figure 2.5a. Le maillage de la section obtenu est ensuite translaté le long de la ligne moyenne du composant en effectuant une translation définie en fonction de la discrétisation axiale et une rotation afin d’orienter la section du composant dans la section du câble, voir Figure 2.5b. La dernière étape consiste à arranger la table des connectivités per-mettant de créer un maillage volumique d’éléments héxaédriques linéaires ou quadratiques, C3D8 ou C3D20 dans ABAQUS, voir Figure 2.5c. Dans le cas particulier du maillage des matériaux de remplissage, la discrétisation éléments finis peut se faire à l’aide d’éléments pentaédriques linéaires ou quadratiques, C3D6 ou C3D15 dans ABAQUS.

Figure 2.5 – Construction du maillage en 3 étapes : (a) maillage de la section et construction de la ligne moyenne du composant, (b) translation de la section le long de la ligne moyenne et (c) mise à jour de la table des connexions

Pour des composants utilisant des éléments poutres, le maillage est directement généré à partir des équations paramétriques de la ligne moyenne. La section perpendiculaire à la ligne moyenne de chaque élément poutre est définie, dans ABAQUS, comme étant circulaire. La prise en compte des interactions de contact entre les différents composants induit des efforts de cisaillement sur les éléments poutres, voir [Ivanco et al., 2016]. De ce fait, des éléments poutres de Timoshenko sont utilisés, B31 dans ABAQUS.

2.1.1.3 Applications des conditions aux limites périodiques

La construction du maillage par une translation de la section le long de la ligne moyenne du composant permet d’obtenir un maillage l-périodique de la structure. Cela veut dire que le maillage d’une section reste inchangé après translation de longueur l dans la direction axiale du câble. Les nœuds des sections limites du modèle numérique sont ainsi en vis-à-vis, ce qui permet d’appliquer les conditions aux limites périodiques de la méthode d’homogénéisation des poutres périodiques. Afin d’implémenter les équations linéaires, nécessaires à la méthode d’homogénéisation, nous nous sommes inspirés d’un programme existant appelé HomTools [Lejeunes and Bourgeois, 2010]. De la même façon, le programme développé sous MATLAB vient rechercher les nœuds du maillage sur les deux extrémités de la structure et pour chaque paire de nœuds opposés, des contraintes sont

appliquées correspondant aux trois équations linéaires, (1.33)-(1.35), pour un maillage volumique et aux six equations, (1.33)-(1.38), pour un maillage poutre.

2.1.1.4 Matériaux

L’ajout de matériaux se fait directement à partir de l’interface du logiciel programmé sous MATLAB, grâce à l’onglet matériaux, voir Figure 2.6. Chaque matériau est défini dans le domaine élastique par le module d’Young, E, et le coefficient de Poisson, ν.

Figure 2.6 – Onglet "Material" du logiciel maison programmé sur MATLAB