Comportement axial

. (1.11)

Pour un câble multi-toron, l’enroulement des fils des différentes couches externes des torons fait que le contact entre le toron central et les toron périphériques s’établit en plusieurs point de contact. Après chargement, la surface des différents point de contact peut être approché par une ellipse, voir Figure 1.6c.

1.1.4 Modèles analytiques des câbles mono-toron

De nombreux modèles analytiques, concernant les câbles métalliques mono-toron, sont présents dans la littérature et traitent de différents cas de chargement, qu’ils soient de traction, de torsion ou bien de flexion. Généralement, il est possible de différencier deux catégories de modèles analytiques : — les modèles avec une description à l’échelle du fil où chaque composant du câble est assimilé

à des poutres courbes définies par la théorie de Kirchhoff-Love [Love, 1944],

— les modèles semi-continus où les différentes couches de fils sont homogénéisées en un maté-riau continu orthotrope.

Le comportement global du câble peut être défini sous la forme suivante :     N M_x M_y M_z     =     K₁₁ K₁₂ K₁₃ K₁₄ K₂₁ K₂₂ K₂₃ K₂₄ K₃₁ K₃₂ K₃₃ K₃₄ K₄₁ K₄₂ K₄₃ K₄₄         Ee E^f1 Ef2 Et     , (1.12)

où N, Mx, My, Mz, sont respectivement l’effort axial, les moments de flexion autour de ~x, ~y et le moment de torsion autour de ~z. Les termes Kij, [i; j] ∈ [1, 4], caractérisent la matrice raideur du comportement global. Les notations Ee, Ef1, Ef2 et Et, représentent respectivement la déformation axiale, les déformations en flexion et la déformation en torsion. De part la géométrie hélicoïdale des câbles, un couplage traction-torsion est présent lors d’un chargement axial pur en traction ou en torsion. Si une symétrie du câble est considérée, aucun couplage flexion-traction et flexion-torsion n’est présent pour une sollicitation axiale ou en flexion pure, [Lanteigne, 1985] et [Ghoreishi, 2005]. Dans la suite de cette étude, nous traiterons séparément les comportements axial et en flexion.

1.1.4.1 Comportement axial

Lors d’un chargement axial, chaque fil hélicoïdal des couches externes est soumis à de la trac-tion, flexion et de la torsion. Au fur et à mesure des recherches effectuées sur les câbles, les modèles présents dans la littérature prennent en considération d’autres phénomènes pouvant avoir un im-pact sur le comportement global axial du câble, à savoir :

— la variation de l’angle d’enroulement,

— la prise en compte de la contraction radiale due à l’effet Poisson,

— la prise en compte des interactions de contact radial et tangentiel ainsi que du frottement, — la déformation des fils due au contact ("flattening effect").

Modèles poutre courbe

Pour les premiers modèles de câbles existants dans la littérature, seule la raideur en traction est prise en compte, négligeant ainsi la rigidité en flexion et torsion de chaque fil externe, voir [Hruska, 1951]. Dans [McConnell and Zemeke, 1982], une modification du modèle de Hruska est apportée en tenant compte de la raideur en torsion de tous les constituants du câble. Le modèle de Machida et Durelli [Machida and Durelli, 1973] apporte à son tour une modification en tenant compte des raideurs en flexion et torsion de chaque constituant, améliorant ainsi le calcul du comportement en torsion ainsi que le couplage torsion-traction. Il est noté que dans chaque modèle cité précédemment, la contraction radiale due à l’effet poisson et les interactions de contact entre constituants ne sont pas considérées.

Dans [Costello, 1997], une synthèse est proposée, réunissant les modèles analytiques dévelop-pés dans [Philips and Costello, 1973], [Costello and Philips, 1976], [Velinsky S. A., 1984] ainsi que dans [Philips and Costello, 1985]. Dans cet ouvrage, l’auteur prend en compte la variation de la géométrie lors de la déformation des fils. Il introduit alors des non-linéarités, tout en considérant la contraction radiale due à l’effet de Poisson et au contact radial. Le contact circonférentiel a aussi été étudié dans le cas particulier d’un câble à trois fils sans âme. Une particularité de ces modèles est que la matrice raideur, étant non symétrique, ne respecte pas le théorème de réciprocité de Maxwell Betti. Dans [Kumar and Cochran, 1987] et [Kumar and Botsis, 2001] une formulation li-néarisée des équations de Costello est effectuée en considérant une variation d’angle d’enroulement très petite. Dans sa thèse [Ghoreishi, 2005], Ghoreishi, exploite la formulation de Costello afin d’écrire une formulation analytique explicite de la matrice raideur du comportement axial d’un câble mono-couche.

De nombreux modèles, proposant une formulation analytique adaptée au cas de câble mono-couche, sont présentés dans la littérature, comme par exemple, [Huang, 1978], [Labrosse, 1998], [Utting and Jones, 1987a] et [Utting and Jones, 1987b]. Il est montré que le coefficient de Poisson, le frottement et la déformation radiale des fils, due au contact, influencent peu la réponse axiale d’un câble, voir [Utting and Jones, 1987a] et [Utting and Jones, 1987b].

Les travaux [Gnanavel et al., 2010] montrent l’impact de l’angle d’enroulement et du contact radial sur le comportement axial d’un câble mono-torons. L’augmentation de l’angle d’enroulement tend à faire légèrement chuter la valeur de la raideur en traction, en torsion, en traction-torsion ainsi que les efforts de contact radial. D’autre part, il est montré dans [Gnanavel and Parthasarathy, 2011] que le contact circonférentiel couplé au contact radial influencent le comportement axial du câble lors d’une faible déformation axiale. Pour une élongation plus importante, la déformation des fils fait que les composants situés sur les couches externes se séparent, empêchant tout contact circonférentiel.

Le modèle proposé par [Argatov, 2011], basé sur une résolution par une méthode asymptotique, montre que l’impact de la déformation radiale, liée au contact sur le comportement axial, peut être négligé pour des angles d’enroulement inférieurs à 15˚, correspondant à la majorité des câbles en service.

Plus récemment, Foti et al [Foti and de Luca di Roseto, 2016] proposent de prendre en compte le comportement élasto-plastique des composants du câble intégrant la limite élastique des brins métalliques. Dans [Foti and Martinelli, 2019], Foti et al développent leur modèle afin de prendre en compte la contraction du rayon d’hélice induite par l’effet de Poisson et des déformations locales dues au contact radial. Ils montrent que négliger la variation d’hélice tend à sur-estimer les raideurs en traction, torsion ainsi qu’en traction-torsion. De plus, le modèle respecte le théorème de réciprocité de Maxwell Betti en obtenant une matrice raideur symétrique.

Dans le cas général , les contraintes de contact liées à un chargement axial sont déduites de la théorie de Hertz [Hertz, 1881] comme dans [Kumar and Botsis, 2001], [Costello, 1997], [Argatov, 2011], [Foti and Martinelli, 2019].

(a) Raideur en traction

0 _{3 · 10}−2 6 · 10⁻² 9 · 10⁻² 2.98 3 3.02 3.04 3.06 ·107 Déformation axiale [%] K¹¹ [N] (b) Raideur en torsion 0 _{3 · 10}−2 6 · 10⁻² 9 · 10⁻² 20 30 40 50 60

Angle de torsion [rad.m-1] K⁴⁴ [N.m 2 ] (c) Raideur en traction-torsion 0 _{3 · 10}−2 6 · 10⁻² 9 · 10⁻² 1.85 1.9 1.95 ·104 Déformation axiale [%] K¹⁴ [N.m]

Hruska51 Mac73 Ghoreshi(Costello) Labrosse98 Foti16 Foti19

(d) Raideur en torsion-traction 0 _{3 · 10}−2 6 · 10⁻² 9 · 10⁻² 1.85 1.9 1.95 ·104

Angle de torsion [rad.m-1] K⁴¹

[N.m]

Figure 1.7 – Comparaison entre les modèles analytiques pour un câble mono-couche à 7 fils (1+6) : Rc= 2.675 mm ; Rs= 2.59 mm ; α = 8.18˚ ; E = 210 GPa et ν = 0.3

Une comparaison des différents modèles est présentée sur la Figure 1.7 dans le cas d’un câble mono-couche à 7 fils (1+6) et sur la Figure 1.8 dans le cas d’un multi-couche à 19 fils (1+6+12). Chaque modèle analytique utilisé pour cette comparaison est développé en annexe A . Comme montré dans [Ghoreishi, 2005] ou bien [Jolicoeur and Cardou, 1991], de grandes similitudes sont présentes entre les différents modèles de la littérature en particulier pour le comportement en traction.

(a) Raideur en traction 0 _{3 · 10}−2 6 · 10⁻² 9 · 10⁻² 8.16 8.17 8.18 8.19 8.2 ·107 Deformation axiale [%] K¹¹ [N] (b) Raideur en torsion 0 _{3 · 10}−2 6 · 10⁻² 9 · 10⁻² 150 200 250

Angle de torsion [rad.m-1] K⁴⁴ [N.m 2 ] (c) Raideur en traction-torsion 0 _{3 · 10}−2 6 · 10⁻² 9 · 10⁻² 5.765 5.77 5.775 ·104 Deformation axiale [%] K¹⁴ [N.m]

Hruska51 Mac73 Costello Foti16

(d) Raideur en torsion-traction 0 _{3 · 10}−2 6 · 10⁻² 9 · 10⁻² 5.765 5.77 5.775 ·104

Angle de torsion [rad.m-1] K⁴¹

[N.m]

Figure 1.8 – Comparaison entre les modèles analytiques pour un câble multi-couche à 19 fils (1+6+12) : Rc = 2.675 mm ; Rs1 = R_s2 = 2.59 mm ; α1 = 8.18˚ ; α2 = −8.24˚ ; E = 210 GPa et ν = 0.3

Modèles semi-continus

Les modèles semi-continus de câble mono-toron reposent sur le principe d’homogénéisation, afin d’assimiler les couches de fils hélicoïdaux à des couches homogènes équivalentes. Ce type de modèle est adapté aux câbles mono-toron constitués d’un grand nombre fils considérés initialement en contact les uns avec les autres.

Dans [Hobbs and Raoof, 1982], [Raoof and Hobbs, 1988] et [Blouin and Cardou, 1989], chaque couche est traitée comme une série de feuilles cylindriques orthotropes dont les propriétés élas-tiques non-linéaires sont moyennées afin de déterminer le matériau homogène équivalent. Pour le modèle de [Raoof and Hobbs, 1988], on considère un contact circonférentiel entre les fils de chaque couche en tenant compte du frottement. Un encadrement de la raideur axiale est obtenu selon deux hypothèses : i) un frottement nul pour déterminer la borne inférieure [Raoof, 1991] et ii) un glissement nul pour la borne supérieure [Raoof and Kraincanic, 1995b]. D’autres mo-dèles inspirés de Blouin [Blouin and Cardou, 1989], developpés dans [Jolicoeur and Cardou, 1996] et [Jolicoeur, 1997] montrent une bonne estimation du comportement axial pour des câbles

multi-couche en comparaison aux modèles discrets de Costello [Costello, 1997] et de Lanteigne

[Lanteigne, 1985]. L’influence de l’angle d’enroulement a pu être étudiée dans [Raoof, 1997] et [Raoof and Davies, 2006] et montre que l’augmentation de l’angle de l’hélice entraîne une perte de raideur axiale.