Chapitre 6 : La sélection d’algorithme
6. Mesure des performances des solveurs d’EDO
6.4. Le modèle de canal calcique de type N
En général, il est difficile de modéliser les canaux calciques dépendants de la dépolarisation membranaire (VDCC), en raison de l'existence d'un pic de courant à la désactivation du canal aussi appelé courant de queue. Dans cette étude comparative pour la sélection d’un solveur optimal, il a été proposé de simuler le VDCC de type N. Ce canal possède une dynamique d’activation très rapide (0 – 5 msec), comme le montre le courant calcique de la Figure 6.30.A dont la stimulation est une dépolarisation de –70 mV à 0 mV pendant 10 millisecondes.
Figure 6.30 : Courants unitaire du modèle de canal calcique de type N. A : Courants résultant d’une stimulation durant 10 msec et calculés par tous les solveurs de cette étude. Le courant en insert est un courant expérimental à partir de [Regan
et al. 1991], qui montre la forme générale d’un courant pour un ensemble de canaux calcique de type N. B : Zoom sur le pic
de courant de queue qui se produit à 110 msec.
En regardant plus attentivement le courant de queue du courant calcique (Figure 6.30.B), il est possible de remarquer que tous les solveurs ne fournissent pas exactement le même courant de queue.
Etude de l’activité neuronale : optimisation du temps de simulation et stabilité des modèles 97
Cette différence est due au pas d’intégration adaptatif spécifique de chaque méthode de résolution numérique qui entraîne donc des temps de calcul différents. De plus, les trois derniers solveurs (CVODE Adams, CVODE BDF et LSODE) intègrent, en plus d’un pas d’intégration adaptatif, un algorithme permettant d’adapter l’ordre de la méthode de résolution. Cette adaptation de l’ordre permet de fournir des résultats plus précis sans avoir à diminuer brusquement le pas d’intégration. L’adaptation du pas d’intégration ainsi que de l’ordre du solveur produit les différences observées sur le courant de queue. Toutefois, étant donné les petites valeurs de MSE et de NRMSD obtenues pour les protocoles de stimulation, disponible en Annexe 1 dans les Tableaux A1–9 et A1–10, il est possible de négliger ces différences pour le domaine des neurosciences et donc de considérer que tous les solveurs fournissent des résultats précis.
Les quatre critères de mesure pour les performances de ce modèle rapide sont affichés sur la Figure 6.31 pour les simulations du premier protocole P1 et sur la Figure 6.32 pour les simulations du second protocole P2. Tout comme pour les modèles précédents, et pour les mêmes raisons, la consommation de mémoire est remplacée par le nombre de points nécessaires à finaliser la simulation. Ces deux mesures, consommation de mémoire et nombre de points, sont étroitement liées entre elles.
Figure 6.31 : Quantification des quatre critères pour le VDCC de type N, stimulé avec le protocole P1, sous la forme d’un graphique en forme de radar. A : pour les paramètres de tolérance Tol1. B : pour les paramètres de tolérance Tol2.
Figure 6.32 : Quantification des quatre critères pour le VDCC de type N, stimulé avec le protocole P2, sous la forme d’un graphique en forme de radar. A : pour les paramètres de tolérance Tol1. B : pour les paramètres de tolérance Tol2.
Pour la simulation du VDCC de type N, tous les solveurs génèrent approximativement le même nombre de points, à l’exception de TR–BDF2 qui nécessite plus de points avec les tolérances Tol2. En plus du nombre de points, les solveurs ont également généré des déviations normalisées (NRMSD) très similaires, exception faite de RKF (pour les deux protocoles de simulation) et TR–BDF2 (pour les simulations sous la tolérance Tol2). Compte tenu du critère d'erreur quadratique (MSE), les solveurs hybrides sont les moins précis pour ce modèle de VDCC.
Le passage du paramètre de tolérance Tol1 au paramètre de tolérance Tol2 a pour conséquence de diminuer les valeurs d’erreur (MSE et NRMSD), donc d’améliorer la précision du solveur TR–BDF2. Cependant, une telle précision se paie par une augmentation du temps d’exécution, d’un facteur 10 pour le premier protocole, et d’un facteur 50 pour le second protocole, et de la consommation de mémoire, d’un facteur 13 pour le premier protocole et d’un facteur 56 pour le second protocole. Pour la simulation du VDCC de type N, le prix est tellement fort que les critères liés au temps d’exécution et à la consommation de mémoire dépassent les valeurs de la référence RK4. Ces simulations, sur un modèle très rapide et difficile à calculer, démontrent clairement qu’une valeur de tolérance relative restrictive (Rtol < 1e-6) n’est pas nécessaire pour que l’algorithme TR–BDF2 fournisse des résultats suffisamment précis.
Les différentes valeurs de performance obtenues avec les deux paramètres de tolérance (Tol1 et Tol2) sous la stimulation du protocole P1 sont résumées dans la Figure 6.33. Les mêmes résultats sous la stimulation du protocole P2 sont résumés dans la Figure 6.34. Toutes les quantifications des performances pour le VDCC de type N sont accessibles dans le Tableau 6.7.
Figure 6.33 : Valeurs des performances normalisées pour le modèle VDCC de type N stimulé avec P1. Toutes les valeurs ||p|| de chaque solveur sont normalisées avec la norme de la référence RK4 ||pRK4||.
Aucune différence significative entre les algorithmes n'est observée, sauf pour TR–BDF2 qui produit la plus grande valeur de performance pour toutes les simulations effectuées sur ce modèle de VDCC. Cela fait de TR–BDF2 le solveur le moins performant pour le VDCC de type N. En comparant les valeurs de performance des solveurs du Tableau 6.7, il est possible de conclure que LSODE fournit les meilleures performances pour les deux protocoles de stimulation ainsi que les deux paramètres de tolérance. Cependant, les valeurs de performance du solveur RKF sont assez proches de celles fournies par LSODE. En effet, la différence de performance mesurée entre ces deux algorithmes est inférieure à 1e-6. En outre, l'observation des variations de performance montrent que les performances de RKF sont moins sensibles aux protocoles d'entrée ou au changement des tolérances.
Etude de l’activité neuronale : optimisation du temps de simulation et stabilité des modèles 99
Figure 6.34 : Valeurs des performances normalisées pour le modèle VDCC de type N stimulé avec P2. Toutes les valeurs ||p|| de chaque solveur sont normalisées avec la norme de la référence RK4 ||pRK4||.
RK4 RKF TR–BDF2 Rosen-brock IMEX CVODE Adams CVODE BDF LSODE Protocole P1
Tol1 1.0 50.04e-3 51.54e-3 50.06e-3 50.07e-3 50.08e-3 50.08e-3 50.03e-3 Tol2 1.0 50.04e-3 0.683 50.06e-3 50.07e-3 50.08e-3 50.08e-3 50.03e-3 ΔP1Tol1/Tol2 - 2.5e-6 0.6314 0.984e-6 0.094e-6 1.056e-6 1e-6 0.012e-6 Protocole P2
Tol1 1.0 50.01e-3 56.47e-3 50.18e-3 50.19e-3 50.37e-3 50.37e-3 0.5e-3 Tol2 1.0 50.01e-3 3.215 50.18e-3 50.19e-3 50.37e-3 50.37e-3 0.5e-3
ΔP2Tol1/Tol2 - 0.27e-9 3.1587 0.028e-6 0.108e-6 0.064e-6 2e-9 1e-9 ΔTol1P1/P2 - 5.976e-6 4.933e-3 11.98e-6 11.92e-6 29.88e-6 28.99e-6 5.99e-6 ΔTol2P1/P2 - 6e-6 2.5322 11.02e-6 12.13e-6 30.06e-6 0.29e-3 6.01e-6
Tableau 6.7 : Quantification et comparaison des performances normalisées des solveurs pour le VDCC de type N. Tol1 et Tol2 représentent la valeur de ||p|| pour chaque solveur avec les protocoles P1 et P2. ΔP1Tol1/Tol2 représente la différence absolue entre les paramètres de tolérance Tol1 et Tol2 sous le protocole P1, alors que ΔP2Tol1/Tol2 représente la même différence absolue sous le protocole P2. ΔTol1P1/P2 représente la différence absolue des performances entre les protocoles P1 et P2 sous le paramètre de tolérance Tol1, alors que ΔTol2P1/P2 représente la même différence absolue sous le paramètre de tolérance Tol2.
6.5. Le modèle de synapse glutamatergique
La plateforme de simulation RHENOMS, modélisant une synapse glutamatergique, est considérée comme un modèle complexe et de dynamique inconnue. Cette plateforme est assemblée à l’aide de 21 modèles de récepteurs synaptiques qui comptabilisent un total de 326 équations à résoudre à chaque étape d’intégration. Chacun des 21 modèles composant la synapse glutamatergique possède sa propre dynamique d’activation ainsi que sa propre structure de schéma cinétique. En plus du grand nombre d’équations, le modèle de libération de neurotransmetteurs utilise la notion d’événement de la norme SBML (System Biology Markup Language) [Hucka et al. 2003]. Ces événements peuvent être considérés comme une suite de tests similaires aux boucles des langages de programmation répandus. L’utilisation de ces événements introduit plus de non-linéarités et de difficultés à résoudre les équations lors de la simulation.
Le calcul de la solution du modèle de synapse glutamatergique avec le solveur TR–BDF2 sous le deuxième paramètre de tolérance Tol2 n’est pas en mesure d’aboutir avec les ressources disponibles sur la machine utilisée pour cette étude. Ces simulations nécessitent plus de 12 Giga-octets de mémoire vive (RAM) pour être achevées et fournir des résultats. Ce type de simulation se doit d’être effectué sur un système (ordinateur) avec plus de ressources, comme par exemple un cluster. En fait, la deuxième série de tolérance (Tol2) place la méthode de résolution numérique TR–BDF2 dans sa configuration la plus défavorable. Du fait de sa structure algorithmique, notamment des différentes boucles qu’elle intègre, la méthode TR–BDF2 nécessite des pas d’intégration très petits avec ce jeu de tolérance (Tol2). TR–BDF2 n'a pas besoin d'une tolérance restrictive pour fournir des résultats précis. De plus, les utilisateurs ne changent que très rarement les paramètres de tolérance, qui sont couramment similaires au premier paramètre Tol1 défini par défaut. Pour ces raisons, les performances des différents algorithmes avec les deux protocoles de stimulation (P1 et P2) sont présentées en utilisant uniquement le premier paramètre de tolérance Tol1. Les courants postsynaptiques calculés et normalisés (par la valeur maximale) lors de chaque simulation pour le protocole P1 sont illustrés sur la Figure 6.35.A alors que ceux pour le protocole de stimulation P2 sont illustrés sur la Figure 6.35.B.
Figure 6.35 : Courants postsynaptiques, normalisés par la valeur maximale, du modèle de synapse glutamatergique simulé avec le paramètre de tolérance Tol1. A : pour le protocole de stimulation P1. B : pour le protocole de stimulation P2.
Etude de l’activité neuronale : optimisation du temps de simulation et stabilité des modèles 101
Tout comme avec le modèle de VDCC, des différences dans les résultats fournis par l’ensemble des solveurs sont observables. Cependant, à la vue des valeurs d’erreur quadratique, de déviation normalisée, accessibles en Annexe 1 dans le Tableau A1–11, ainsi que du domaine d’application qui est les neurosciences, il est possible de négliger ces différences et de considérer que tous les courants postsynaptiques obtenus sont équivalents.
La quantification des quatre critères de mesure, pour toutes les simulations du modèle de synapse glutamatergique, est représentée sur la Figure 6.36. Leurs valeurs détaillées sont accessibles dans le Tableaux A1–11 en Annexe 1 dont les critères d’erreur (MSE et NRMSD) indiquent que tous les résultats sont précis. Les différentes valeurs de performances obtenues avec les deux protocoles de stimulation (P1 et P2) sous le paramètre de tolérance Tol1 sont résumées dans la Figure 6.37. Toutes les quantifications des performances pour ce modèle de synapse sont disponibles dans le Tableau 6.8.
Figure 6.36 : Quantification des quatre critères pour le modèle de synapse glutamatergique, simulé avec le paramètre de tolérance Tol1, sous la forme d’un graphique en forme de radar. A : pour le premier protocole de stimulation P1. B : pour le second protocole de stimulation P2.
Figure 6.37 : Valeur des performances normalisée pour le modèle de synapse glutamatergique, avec le paramètre de tolérance Tol1 et les deux protocoles de stimulation. Toutes les valeurs ||p|| de chaque solveur sont normalisées avec la norme de la référence RK4 ||pRK4||.
Bien que la méthode de résolution numérique des EDO Rosenbrock fournisse la plus large des erreurs quadratiques ainsi que la plus grande des déviations normalisées de l’espace des algorithmes, elle fournit néanmoins les meilleures performances de simulation sur le modèle de synapse glutamatergique par rapport à l’espace des critères w. En revanche, IMEX, qui est aussi un solveur hybride basé sur le principe de RK, a généré une grande valeur de norme et se retrouve parmi les méthodes de résolutions les moins performantes pour ce modèle.
Étonnamment, TR–BDF2 est le seul solveur à améliorer sa valeur de performance entre les protocoles
P1 et P2. En effet, sur le second protocole, qui compte plus de stimulations, TR–BDF2 obtient une
valeur de performance plus petite qu’avec le premier protocole qui ne compte qu’une seule stimulation. Ce résultat est dû à la réadaptation du pas d’intégration à proximité d’une variation brusque (comme par exemple l’apparition d’une stimulation en entrée) avec la variable tstop. En théorie, plus le modèle recevra de stimulation en entrée, et plus cet algorithme sera performant [Bank et al. 1985]. D’après les variations de performance, TR–BDF2 est également le solveur le plus sensible aux protocoles d’entrée pour ce modèle de synapse glutamatergique, alors que l’algorithme RKF est toujours le moins sensible.
RK4 RKF TR–BDF2 Rosen-brock IMEX CVODE Adams CVODE BDF LSODE
Protocole 1 1.0 50.04e-3 51.54e-3 50.06e-3 50.07e-3 50.08e-3 50.08e-3 50.03e-3 Protocole 2 1.0 50.04e-3 0.683 50.06e-3 50.07e-3 50.08e-3 50.08e-3 50.03e-3 ΔTol1P1/P2 - 5.976e-6 4.933e-3 11.98e-6 11.92e-6 29.88e-6 28.99e-6 5.99e-6
Tableau 6.8 : Quantification et comparaison des performances normalisées des solveurs pour le modèle de synapse glutamatergique. ΔTol1P1/P2 représente la différence absolue des performances entre les protocoles P1 et P2 sous le paramètre de tolérance Tol1.
Avec ce modèle de synapse glutamatergique qui est assez complexe et important en termes de nombre d’équations, il est possible d’imaginer que l’utilisateur soit amené à vouloir modifier les paramètres du vecteur w de l’équation (6.14) correspondant à l’espace des critères du problème de sélection d’algorithme. Possédant trois mesures (temps de simulation, consommation de mémoire et précision des résultats) dans l’espace des critères que nous avons défini, l’utilisateur pourra être susceptible de choisir parmi quatre configurations possibles et représentées par la Figure (6.38).
Le premier choix de l’utilisateur correspond au cas où il donnerait le même niveau de priorité (importance) à chacun des critères de quantification représentés dans le vecteur w. L’utilisateur implémente le vecteur w de sorte à obtenir un vecteur de un. Les performances de cette première configuration représentées par la Figure (6.37) sont également rappelées dans la Figure (6.38.A). Dans le cas de figure où l’utilisateur est restreint par le temps, il sera amené à donner plus d’importance au temps d’exécution par rapport aux autres critères de quantification dans le vecteur w. La quantification des performances de cette configuration donnant plus de poids au temps d’exécution est représentée par la Figure (6.38.B). L’algorithme Rosenbrock qui était la meilleure solution pour optimiser la simulation de la synapse glutamatergique lors de la première configuration (Figure (6.38.A)), fournit des valeurs de performance très élevées pour cette seconde configuration (Figure (6.38.B)). Cette dernière figure nous informe que les algorithmes CVODE BDF et CVODE ADAMS sont respectivement les plus rapides en minimisant les autres critères de quantification pour les protocoles P1 et P2.
Il est possible que l’utilisateur puisse être limité par les ressources de l’ordinateur, ce qui l’amènera à donner un coefficient plus élevé à la consommation de mémoire dans le vecteur w de l’espace des critères. Lorsque la simulation sera effectuée sur un centre de calcul dédié, comme par exemple un cluster, l’utilisateur sera incité à donner plus d’importance à la précision des résultats dans cette situation. Les performances de cette troisième et quatrième configuration sont respectivement représentées par les Figures (6.38.C) ainsi que (6.38.D).
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Figure 6.38 : Valeur des performances normalisée pour le modèle de synapse glutamatergique, avec le paramètre de tolérance Tol1 et les deux protocoles de stimulation. Toutes les valeurs ||p|| de chaque solveur sont normalisées avec la norme de la référence RK4 ||pRK4||. A : Tous les critères possèdent le même poids d’importance pour la quantification des performances. B : Le temps d’exécution possède un poids plus important pour la quantification des performances. C : La consommation de mémoire possède un poids plus important pour la quantification des performances. D : La précision des résultats possède un poids plus important pour la quantification des performances.
L’évolution des valeurs de quantification de chaque algorithme par rapport aux quatre configurations présentées par la Figure (6.38) (A : pas de priorité sur les critères, B : priorité sur le temps d’exécution, C priorité sur la consommation de mémoire et D : priorité sur la précision des résultats) montre que les préférences de l’utilisateur jouent un rôle assez important dans la quantification des performances algorithmes. Effectivement, l’algorithme Rosenbrock est le plus performant sur le protocole P1 lorsque l’utilisateur tous les paramètres du vecteur w possèdent le même poids (Figure (6.38.A)). Cependant, en donnant un poids plus important à la précision des résultats, cette algorithme fournit les valeurs de performances les plus élevées pour le même protocole, ce qui en fait un choix critique pour la simulation du modèle de synapse glutamatergique.