Chapitre 4 : Généralités sur les équations différentielles ordinaires
1. Intégration des EDO
Le couple est appelé condition initiale de l’EDO. Comme l’illustre la Figure 4.1, le calcul d’une équation sous la forme présentée par l’équation (4.1) commence au temps avec la valeur et conduit à trouver la valeur des couples ( , avec l’index indiquant la position tout au long de la solution approchée. L’intégration numérique est donc un algorithme à temps discret (pas par pas) allant à chaque étape d’intégration de vers
Figure 4.1 : Représentation schématique d’une étape d’intégration par la méthode de résolution numérique d’Euler, avec y(t) la solution exacte, yi(t) la solution approchée par la résolution numérique, h le pas d’intégration et l’erreur de troncature.
1.1. Série de Taylor
La série de Taylor est l’outil mathématique pour la plupart des analyses numériques d’intégration des EDO. La procédure d’échantillonnage, illustrée par la Figure 4.1, peut être représentée mathématiquement pas une série de Taylor, au voisinage de :
(4.2)
où . La série (4.2) peut être tronquée à l’ordre 1, c’est-à-dire après le terme linéaire en h et la solution de devient alors :
(4.3)
Cette approximation de la série de Taylor (4.3), utilisée sur la Figure 4.1, est aussi plus communément connue sous l’appellation de méthode d’Euler. Il s’agit d’une solution valable autour du voisinage de
. En effet, la dérivée est approché par :
(4.4)
On peut noter que l’équation (4.3) revient à projeter une ligne tangente de i à i+1. En d’autres termes, la solution est représentée par une approximation linéaire.
Une erreur apparaît donc sur la Figure 4.1, suite à cette approximation linéaire, qui semble être assez importante. Cependant, cette erreur a été accentuée sur l’illustration afin de mettre en évidence l’importance du pas d’intégration h. En effet, avec un pas d’intégration suffisamment petit, l’erreur est réduite à un niveau acceptable et la réponse approchée représente la véritable valeur de l’EDO. Nous pouvons visualiser cela sur la Figure 4.1. Pour cela, considérons la différence entre la solution exacte, , et la solution approchée, . Si h est réduite de moitié, alors l’erreur sera considérablement réduite. Toutefois, une valeur de h proche de zéro augmente le temps de calcul nécessaire à la résolution numérique de l’équation. Cela met en évidence la sensibilité de la solution approchée suivant la valeur de h.
Une autre possibilité permettant de diminuer l’erreur consiste à augmenter le nombre de terme de la série de Taylor, ce qui revient à augmenter le domaine de validité de l’approximation. Bien que ce soit techniquement vrai, une difficulté persiste dans l’application de cette solution. En effet, pour les systèmes d’EDO de la forme (4.1), seul le calcul de la dérivée première est accessible facilement. De ce fait, l’augmentation des termes dans la série de Taylor implique une augmentation du temps de calcul pour la résolution numérique du système [Lee and Schiesser 2003].
1.2. Erreur de troncature
L’une des caractéristiques importante d'un algorithme d'intégration numérique est le moyen utilisé pour estimer l'erreur de troncature , de sorte que le pas d'intégration h puisse être ajusté pour obtenir une solution avec une précision déterminée par l’utilisateur. Au premier abord, cela peut sembler contradictoire puisque a été défini comme la différence entre la solution approchée (numérique) et la solution exacte (analytique), que nous ne connaissons pas. Cela dit, si la solution exacte était connue, il n’y aurait plus aucune raison de calculer la solution numérique.
La réponse à cette contradiction apparente est que le calcul porte sur une estimation de l'erreur de troncature et non pas sur l'erreur de troncature exacte qui impliquerait une connaissance de la solution
Etude de l’activité neuronale : optimisation du temps de simulation et stabilité des modèles 45 exacte. Regardons comment approximer l’erreur sur la méthode d’Euler. Pour approximer l’erreur de
troncature de la méthode d’Euler, revenons à la série de Taylor tronquée à la seconde dérivée, soit :
(4.5)
Afin de résoudre la série de Taylor (4.5), la connaissance du troisième terme de droite de cette série est nécessaire. Pour cela, posons la dérivée de l’équation (4.5) qui est :
(4.6)
Ainsi, le troisième terme de droite de l’équation (4.5) peut être approximée par :
(4.7)
En intégrant l’équation (4.7) dans l’expression (4.5), l’approximation de la solution tronquée après le terme en h² devient alors :
(4.8)
L’expression (4.8) est connue sous le nom de méthode d’Euler étendue. En supposant que l’erreur de troncature de la méthode d’Euler est due en grande partie au terme de la dérivée seconde,
, alors nous pouvons réarranger l’équation (4.8) pour obtenir :
(4.9)
Pour plus de précision sur l’approximation de l’erreur de troncature, le lecteur intéressé pourra consulter l’ouvrage de [Lee and Schiesser 2003].
1.3. Prédicteur – correcteur
La combinaison des équations (4.3), (4.7) et (4.9) permet la construction d’un algorithme numérique de résolution des EDO, assez simple et facile à mettre en œuvre, nommé prédicteur-correcteur. Comme son nom l’indique, cet algorithme réalise une prédiction de la solution, puis avec l’aide de l’erreur de troncature, va effectuer une correction de la solution afin de l’affiner et de réduire l’erreur
. Pour cela, posons les équations suivantes :
(4.10.a)
(4.10.c)
où est la prédiction de la solution et le terme de correction.
Les équations (4.10.a) à (4.10.c) forment la base du prédicteur-correcteur. Ainsi, l’expression (4.10.a) permet de faire une première estimation (prédiction) de la solution . L’erreur de troncature (4.10.b) permet de valider ou non la prédiction . Si l’erreur est inférieure à une tolérance (tol), choisie en fonction de la précision exigée par l’utilisateur, alors la prédiction sera acceptée. Sinon, cela signifie que le pas d’intégration h est trop élevé pour la précision demandée et qu’il faut reprendre l’étape de prédiction en réduisant le pas d’intégration. Une fois la prédiction validée, il est possible de réduire son erreur grâce à l’équation (4.10.c), qui représente la correction de la solution .
La solution générée par la méthode du prédicteur-correcteur, pour un pas d’intégration h, est illustrée sur la Figure 4.2. Le prédicteur (méthode d’Euler) va générer la solution avec l’erreur . Le correcteur va utiliser cette erreur afin d’affiner la solution finale , avec une erreur moins importante. Comme observé sur la Figure 4.2, est moins important que et la solution est plus proche de la solution exacte comparée à la solution
Figure 4.2 : Représentation schématique d’une étape d’intégration avec la méthode du prédicteur-correcteur, où y(t) est la solution exacte, yi(t) la solution approximée par la résolution numérique, h le pas d’intégration et l’erreur de troncature.
Pour la résolution numérique des EDO, la solution idéale serait de disposer d’une méthode qui utilise un grand nombre de termes dans la série de Taylor, mais qui ne nécessite pas des dérivées de degré très élevé des EDO, ce qui semble contradictoire. Cependant, cette solution est réalisable avec la méthode de Runge–Kutta (RK) [Lee and Schiesser 2003]. La méthode RK est élaborée sur le principe du prédicteur-correcteur pour trouver la solution numérique la plus exacte en utilisant un nombre arbitraire de termes dans la série de Taylor sans avoir à calculer de dérivée supérieure du système.