Analyse de la stabilité des systèmes linéaires

(7.19)

où est le vecteur des variables d’états, est le vecteur des entrées du système avec la commande du système et sa matrice de constante associée [Mohler 1973; Elliott 2009].

Les modèles considérés durant ce travail de thèse sont bilinéaires, et donc non-linéaires. Comme mentionné par Chen [Chen et al. 1991], la plupart des travaux portant sur la stabilité des systèmes bilinéaires considère ces systèmes comme étant continus et invariables dans le temps avec une boucle de rétroaction linéaire [Luesink and Nijmeijer 1989; Lu and Ho 2006; Spinu et al. 2012]. La plupart de ces références démontre la stabilité des systèmes bilinéaires par des contraintes suffisantes prouvant l’existence d’une boucle de rétroaction linéaire qui permet à l’ensemble du système en boucle fermée d’être asymptotiquement stable. Dans certains résultats, les conditions suffisantes pour la stabilité nécessitent l'existence de fonctions de Lyapunov pour les systèmes ou alors l’existence de certaines matrices définies négatives (ou positives), de façon à ce que l’entrée combinée à la boucle de rétroaction soit dépendante de ces matrices [Gauthier and Bornard 1980; Lu and Wey 1993]. Tout comme pour la construction d’une fonction candidate de Lyapunov, il n’est pas toujours possible de déterminer ces matrices pour les systèmes étudiés.

Dans l’équation bilinéaire (7.19), la bilinéarité est apportée par la variable . Afin de simplifier l’analyse des systèmes bilinéaires, il est possible de considérer l’entrée comme étant constante par morceaux. En réalisant cette hypothèse de travail, le système d’équation (7.19) peut être ramené à un système linéaire. Pour la suite de cette étude de stabilité, les équations bilinéaires seront étudiées sous l’hypothèse de travail qui vient d’être proposée. Il devient donc intéressant de présenter la stabilité des systèmes linéaires.

4. Analyse de la stabilité des systèmes linéaires

Pour présenter la notion de stabilité d’un modèle, qui est en fait la généralisation de la stabilité du point d’équilibre, ramenons le système (7.19) au système linéaire autonome (sans entrée) suivant :

(7.20)

où est le vecteur d’état du système et la matrice représentant la dynamique du système. La solution analytique de cette équation (7.20) est donnée par :

Etude de l’activité neuronale : optimisation du temps de simulation et stabilité des modèles 119

où correspond aux conditions initiales du système (7.20). Si les valeurs propres de la matrice sont à partie réelle négative, il est possible alors de conclure que :

_(7.22)

et qu’il existe donc un point d’équilibre attractif à l’origine de l’espace d’état [Khalil 2001]. Il devient donc assez facile de conclure sur la stabilité d’un système linéaire. Pour un Système Linéaire autonome et Invariant dans le Temps (SLIT) représenté par l’équation (7.20), le point d’équilibre est :

 globalement stable si et seulement si toutes les valeurs propres de ont une partie réelle négative au sens large, c’est-à-dire si :

(7.23)

 globalement asymptotiquement stable si et seulement si toutes les valeurs propres de ont une partie réelle strictement négative, c’est-à-dire si et seulement si :

(7.24)

 instable si l’une des valeurs propre de est positive, c’est-à-dire si :

(7.25)

où correspond aux valeurs propres de la matrice . Les trois équations (7.23) à (7.25) montrent que les valeurs propres de la matrice A doivent être situées dans la zone des réels négatifs sur l’ensemble des complexes [Khalil 2001].

Il est important de noter que l’équation (7.24) est équivalente à l’expression suivante :

(7.13)

avec qui représente une fonction de Lyapunov. Ainsi, les fonctions de Lyapunov restent valide pour l’étude de stabilité des systèmes linéaires.

4.1. Le polynôme caractéristique

En algèbre linéaire, toute matrice carrée d’un espace vectoriel de dimension finie est associée à un polynôme appelé polynôme caractéristique. Ce polynôme renferme d’importantes informations sur la matrice, comme par exemple ses valeurs propres, son déterminant ou encore sa trace [Blyth and Robertson 2002].

Le polynôme caractéristique de la matrice A s’obtient par l’expression suivante :

(7.26)

avec les valeurs propres de la matrice A et I une matrice identité de taille n. L’application de l’équation (7.26) permet d’obtenir un polynôme caractéristique de la forme :

(7.27)

Les coefficients ai de l’équation (7.27) correspondent au polynôme caractéristique du système, et sont des constantes. Afin de vérifier la stabilité du système, les racines, de l’équation (7.21), devront être

calculées. Si ces valeurs sont à partie réelle négative, alors le point d’équilibre du système est dit asymptotiquement stable.

4.2. Le critère de Routh-Hurwitz

En automatique, le critère de stabilité de Routh-Hurwitz est un test mathématique fournissant une condition nécessaire et suffisante pour la stabilité d'un Système Linéaire Invariant dans le Temps (SLIT). Le test de Routh est un algorithme récursif efficace que le mathématicien anglais Edward John Routh a proposé en 1876 afin de déterminer si toutes les racines du polynôme caractéristique d'un système linéaire ont des parties réelles négatives [Routh 1877]. Le mathématicien allemand Adolf Hurwitz a proposé, indépendamment en 1895, une méthode pour organiser les coefficients du polynôme dans une matrice carrée, appelée matrice d’Hurwitz, et a montré que le polynôme est stable si et seulement si les déterminants de ses principales sous-matrices sont toutes positives [Hurwitz 1964]. Les deux procédures sont équivalentes. Le test de Routh fournit un moyen plus efficace et plus direct de calculer les déterminants, comparé à la méthode d’Hurwitz. Un polynôme vérifiant le critère de Routh-Hurwitz est appelé polynôme d’Hurwitz.

Le point crucial du critère de Routh-Hurwitz réside dans les racines du polynôme caractéristique d'un système linéaire. Ces racines, avec des parties réelles négatives, représentent les solutions stables du système (solutions bornées). Le calcul exact des racines est alors remplacé par le critère de Routh-Hurwitz permettant de savoir si les racines sont positives ou négatives. Ainsi, le critère fournit un moyen de déterminer si le point d’équilibre d'un système linéaire est stable, sans pour autant résoudre directement les équations différentielles qui le caractérisent.

Afin d’appliquer le critère de Routh-Hurwitz, les coefficients du polynôme caractéristique du système sont placés dans les deux premières lignes de la matrice d’Hurwitz. Le terme Tableau de

Routh-Hurwitz tout au long de ce manuscrit de thèse, fera allusion à la matrice d’Routh-Hurwitz.

Les deux premières lignes du tableau de Routh-Hurwitz sont remplies en colonne, avec les coefficients du polynôme caractéristique. La première ligne du tableau contient les coefficients des termes en

dans l’ordre des puissances n décroissantes, alors que la deuxième ligne contient les coefficients des termes en et se termine selon la parité de n. La Figure 7.5 illustre la construction du tableau de Routh-Hurwitz à partir du polynôme représenté par l’équation (7.27).

Si n pair Si n impair

Figure 7.5 : Représentation d’un tableau de Routh-Hurwitz pour un polynôme de degré n. La première colonne du tableau, entourée en rouge, représente la colonne des pivots du système.

Les lignes suivantes du tableau de Routh-Hurwitz sont remplies suivant les lois de formation suivante : (7.28) (7.29)

Etude de l’activité neuronale : optimisation du temps de simulation et stabilité des modèles 121

Une case vide est considérée comme égale à zéro, si nécessaire. Le calcul des différentes cases du tableau est poursuivi jusqu’à ce que la première colonne soit complétée. La première colonne de ce tableau est dite la colonne des pivots et elle est entourée en rouge sur la Figure 7.5.

Le critère de Routh-Hurwitz permet de conclure que le point d’équilibre du système considéré est asymptotiquement stable si tous les termes de la colonne des pivots possèdent le même signe. Chaque changement de signe dans la première colonne du tableau de Routh-Hurwitz indique l’existante d’une nouvelle racine à partie réelle positive pour le système étudié. Si un zéro apparaît dans la colonne des pivots, cela signifie que le modèle étudié correspond à un système pseudo-stable.