Introduction du chapitre
3.1. INDICATEURS DE FORME URBAINE, ` A PLUSIEURS ´ ECHELLES Distance moyenne entre deux individus
Bertaud et Malpezzi (2003) utilisent la distance moyenne entre deux habitants (´equation 3.12), pour distinguer des structures spatiales th´eoriques plus ou moins ´etal´ees, ou compactes. A population et surface constantes, cette distance est d’autant plus petite que les individus sont proches d’un mˆeme point, et maximale pour des distributions spatiales incurv´ees (cf. annexe, page 402).
DsN = N X i=1 N X j=1 dsijpsipsj PN(PN − 1) (3.12) Grasland (2008) utilise la distribution des distances entre individus dans le cadre de comparaisons du tissu urbain de diff´erents pays, insistant sur le fait que l’indi- cateur de distance moyenne varie peu avec l’´echelle d’obtention des donn´ees. Dans le cas d’une distribution qui serait monocentrique, on constate empiriquement que la distance moyenne entre deux individus est proportionnelle au 1
b du mod`ele de
Bussi`ere (1972)11.
La distance moyenne entre deux habitants, g´en´eralisation de la notion de disper- sion bien compr´ehensible dans le cas d’une r´ef´erence monocentrique, ne peut ˆetre utilis´ee telle quelle pour comparer des villes de tailles tr`es diff´erentes : en effet, D est fortement li´e `a la surface totale de la ville, et `a la population totale de la ville. On utilisera alors une distance moyenne relative, par rapport `a un rayon fictif de la ville :
– Le rayon fictif de la ville, Rs
N , rayon d’un disque fictif d’une superficie ´egale `a la
superficie totale de la ville, SN : RsN =
q
SN
π . On peut ainsi calculer la distance
relative entre deux individus : Drel = D s N Rs
N, qui sera typiquement utilis´ee `a une
´echelle locale, pour comparer des communes de superficie diff´erente. – Le rayon fictif de la zone urbanis´ee, Rs
ρ0, rayon d’un disque fictif d’une super-
ficie ´egale `a la superficie urbanis´ee de la ville, en l’occurrence la superficie de l’ensemble des cellules pour lesquelles la densit´e de population est sup´erieure `a un seuil de densit´e, ρ0. On peut ainsi calculer, pour ρ0 = 10, Rs10=
q
n(10)×s π
et la distance relative « nette » entre deux habitants 12 :
D10 = Ds 10 Rs 10 (3.13) 11
C’est-`a-dire l’extension spatiale de la distribution de population.
12
Ds
ρ0 ´etant la distance moyenne entre deux individus au sein des zones d’une densit´e sup´erieure
` a ρ0.
3.1.3
La courbe d’ « acentrisme », une exploration spatiale
de la loi rang-taille
L’indicateur de distance moyenne entre deux habitants est tr`es stable avec le pas de la grille sur laquelle la r´epartition de la population est projet´ee (Grasland, 2008). Toutefois, cet indicateur est fortement sensible au seuil de densit´e mini- male fix´ee pour d´efinir la ville. A titre d’exemple, l’extension spatiale d’une ag- glom´eration monocentrique est d’autant plus grande que le seuil de densit´e minimale est faible ; en fonction de ce seuil, la distance moyenne entre deux habitants varie consid´erablement. L’indice d’ « acentrisme » qui va ˆetre pr´esent´e vise `a tirer partie de l’information donn´ee par cette variabilit´e pour quantifier la structure spatiale de la ville ´etudi´ee. La pr´esentation ci-dessous reprend largement un travail personnel ant´erieur (Le N´echet, 2010).
L’id´ee est la suivante : pour des espaces polycentriques (configurations B/, C/ et D/ de la figure 3.2), la distance moyenne entre deux habitants est tr`es ´elev´ee, que ce soit pour des seuils de densit´e faible (la ville enti`ere), ou ´elev´es (les « pics » de population ´etant alors consid´er´es seuls). A l’inverse, pour des configurations mo- nocentriques (E/ de la figure 3.2), la distance moyenne entre deux individus croˆıt rapidement `a mesure que le seuil de densit´e est abaiss´e.
Formalisons le calcul de l’indicateur d’acentrisme ; les populations ps
i des zones
zi sont suppos´ees class´ees par ordre d´ecroissant. Soit alors Vis =
Si
j=0zi la r´eunion
des i zones les plus peupl´ees13). On calcule la distance entre deux habitants au sein
de l’agr´egat de zones Vs
i , qu’on note Dis. Empiriquement, la distance moyenne entre
deux individus est croissante avec le nombre de zones dans le cas d’une ville mo- nocentrique ; on trace alors le graphe (Ps
i, Dsi), respectivement la population totale
de l’agr´egat de zones Vs
i et la distance moyenne entre deux individus au sein de
cette agr´egat de zones. On appelle « courbe d’acentrisme » ce graphe, dont la forme renseigne sur l’´eloignement de la distribution au mod`ele monocentrique.
Pour montrer l’int´erˆet d’une telle approche, la courbe de distance va ˆetre cal- cul´ee pour des configurations th´eoriques simples. Huit configurations permettent de r´ealiser une transformation entre une forme urbaine monocentrique et polycentrique, par un « ´eclatement » progressif d’une forme compacte et monocentrique (A/ de la figure 3.3) `a une forme dispers´ee et polycentrique (H/ de la figure 3.3). La figure 3.4 montre la distribution des populations utilis´ees, obtenues `a partir des configurations de la figure 3.3 en affectant deux individus au centre de chaque cellule rouge, et un pour chaque cellule voisine. Les courbes d’acentrismes th´eoriques sont alors illustr´ees donn´ees dans la figure 3.5. On peut observer une rupture claire dans l’apparence de ces courbes d’acentrisme entre les configurations « monocentriques » (A `a E) et les configurations « quadricentriques » (F `a H). Observons que l’´etape permettant de
3.1. INDICATEURS DE FORME URBAINE, `A PLUSIEURS ´ECHELLES
passer de la configuration E `a la configuration F est pr´ecis´ement celle qui scinde la partie centrale en quatre (voir figure 3.3). La forme de la courbe d’acentrisme paraˆıt ainsi porteuse de sens : plus tˆot elle atteint un palier, moins la configuration serait monocentrique.
Fig. 3.3 – Sch´ema th´eorique : transition entre monocentrisme et polycentrisme
Fig. 3.5 – Courbes d’acentrisme des huit configurations th´eoriques utilis´ees.
La figure 3.6 montre la forme de la courbe d’acentrisme dans trois cas th´eoriques, d’abord une distribution th´eorique de Bussi`ere (1972), puis une superposition de plu- sieurs formes monocentriques (Anas et al., 1998) dont la population totale respecte la loi rang-taille (Pumain et al., 1989) (qu’on appellera configuration polycentrique), et enfin une distribution compl`etement uniforme, correspondant `a la ville infinie de Wright (1932). Empiriquement, on constate que la configuration est d’autant plus monocentrique que la courbe d’acentrisme est proche d’une droite passant par l’ori- gine.
Pour mesurer l’´ecart `a une droite, on calcule l’aire sous la courbe de distance, rapport´e `a la population totale et `a la distance moyenne entre deux individus (res- pectivement Pn et Dn), qui vaut 0.5 dans le cas d’une droite passant par l’origine
et 1 dans le cas d’une droite horizontale (´equation 3.14).
Ac = Z P 0 D(p)dp PnDn (3.14)
3.1. INDICATEURS DE FORME URBAINE, `A PLUSIEURS ´ECHELLES