En conclusió, atès que tot són constructes simbòlics inexactes, la causalitat no és una propietat de l’univers sinó una nova idea construïda que pren realitat i sentit quan es fan servir analogies amb discursos sobre fets que tenen regularitats estadístiques. Un cop en una societat es crea la causalitat com a real (una creença que no a tot arreu i no sempre ha de passar), tot allò (i a vegades només allò) que els humans veuen que té conseqüències reals, serà real. Això, és clar, és un bucle.
Els bucles estranys de Hofstadter, l'auto-referència i el significat
Un cop mostrat que els constructes humans (els conceptes) són els únics ingredients pertinents de la realitat humana i també la base dels seus processos, em cal parlar del significat, el sentit de les coses, que les fa consistents, naturals, podríem dir. Com que el significat és una característica del llenguatge, verbal i no verbal, començo examinant el llenguatge suposadament més neutre que s’ha inventat.
La matemàtica és un sistema de representació que s'ocupa de demostrar les conseqüències lògiques de determinats conjunts de suposicions. És una eina molt útil per a les ciències però no és pas cap ciència. La matemàtica aplicada és l'estudi d'aquelles estructures que es produeixen en les teories científiques, però la matemàtica també estudia les estructures que es podien haver donat o que es poden donar en el futur. Aleshores, es pot dir que la matemàtica és l'estudi dels mons hipotètics (Gell-Mann, 1985:126), i ho és mitjançant un llenguatge gramatical rigorós. Crec que és necessari aprofitar-lo.
29 Sovint, allò que realment té sentit és considerar com a causes coses tan abstractes i imprecises com sigui possible. Es conta el cas d'Abraham Lincoln que, quan va conèixer Harriet Beecher, l'autora de la novel·la Uncle Tom’s Cabin, li va dir: "així que és vostè, la doneta que va escriure aquell llibre que va provocar aquella grandiosa guerra!!"
El matemàtic i filòsof Bertrand Russell i el seu antic professor Alfred North Whitehead van voler escriure l’obra fonamental de les veritats matemàtiques: els Principia Mathematica, un llibre de lògica publicat entre 1910 i 1913. Russell deia que les fórmules que hi havia incloses no tenien “significat” intrínsec, però que podien ser interpretades, si es volia, com a proposicions formals entorn els nombres i les seves propietats. Per tant, el "significat" depenia d'una lectura que vinculés els "signes" escrits en el paper d'aquesta gran obra, amb magnituds (nombres), operacions (adició...), relacions (igualtat...), conceptes lògics (i, o...) etcètera. 30
Per a construir els Principia Mathematica, Russell havia volgut basar la matemàtica en la teoria de conjunts, que considerava fonamental. Fins que va arribar al gran forat d'aital teoria:
l'existència contradictòria, però vàlida, d'un conjunt R definit com "el conjunt de tots els conjunts que no es contenen a si mateixos". Aquest conjunt és un problema: si es considera que R no es conté ell mateix, aleshores hauria de pertànyer a R atès que R és el conjunt dels conjunts que no es contenen ells mateixos, però si R pertany a R contradiu la seva pròpia definició! Si, al contrari, R es conté ell mateix, aleshores, atès que ell mateix és R i és el conjunt dels conjunts que es caracteritzen per no contenir-se a si mateixos, R no pot ser-hi, i cau en una nova contradicció. Russell explica el cas també amb una analogia més popular: la de "el barber que afaita tots aquells homes del poble que no s'afaiten a si mateixos". El fet que existeixi un barber amb una definició com aquesta és paradoxal quan es tracta d'afaitar-se ell mateix. Si ho fa, ja no és el barber que afaita aquells homes que no s'afaiten, perquè ell és un home que s'afaita ell mateix, per tant, no pot afaitar-se. Però si no ho fa, llavors és un dels homes del poble que no s'afaita a si mateix, i cal que s'afaiti. En resum: el barber només es pot afaitar a si mateix si no s'afaita.
Atès el gran problema de l'auto-referència, Russell va concebre una nova teoria de conjunts en la qual, entre altres precaucions, cap definició d'un conjunt podia invocar el propi conjunt, i cap expressió tampoc es podia referir a ella mateixa, llavors l'obra monumental dels Principia Mathematica quedaria impecable. Tanmateix, establir limitacions d'aquesta mena és anar contra el sentit comú. El món quotidià està ple d'expressions auto-referents. Per exemple, es pot fer que aquest text digui una frase com ara: "aquest paràgraf té 97 paraules i 2 números";
o bé: "aquesta tesi ja no té solta ni volta".
No hi fa res que la primera frase sigui certa i la segona segurament no-certa (espero). La cosa és que són frases possibles i humanes. També són possibles, encara que no siguin corrents, les expressions auto-referides que es re-alimenten, com la clàssica frase: "aquesta frase és una mentida". Si aquesta frase és veritat, llavors, tal com diu ella mateixa, certament està dient
30 D'ara en endavant parlo de matemàtica en el pur sentit de llenguatge gramatical, el de les proposicions lògiques. No pas d'operacions amb magnituds concretes.
una mentida i es contradiu (atès que hem partit del fet que era veritat). Però, si realment la frase és mentida i el que diu és "aquesta frase és una mentida", llavors també es contradiu, per tant..., tornem al començament fins a no acabar mai més. Un ordinador clàssic col·lapsaria, explotaria o calcularia fins al dia del judici final (o fins al dia que s'acabés la seva energia), però un cervell humà s'ho pot passar la mar de bé trobant-hi la paradoxa, per acabar rient o trobant-hi un significat ocult o una explicació d'algun esdeveniment que fins ara no li trobava cap solta. De fet, encara que sigui una contradicció, és possible escriure tranquil·lament en aquesta tesi que "aquella frase només és veritat si és mentida" i, ni aquesta tesi col·lapsa, ni el lector ha patit cap mal (suposo).
Doncs malgrat Russell va voler evitar un fet tant humanament habitual i pacífic com l'auto-referència per a poder fer aguantar els fonaments de la matemàtica, el fet és que el treball de Kurt Gödel de 1931, que acaba amb el seu famós "Teorema de la incompletesa de l'aritmètica", li va demostrar que un procés de raonament impecablement matemàtic i coherent amb els Principia, de cop i volta pot girar-se sobre seu i aconseguir posar-se dins per parlar d'ell mateix, auto-referir-se.
El cas es pot resumir així. És sabut que, segons la matemàtica tradicional, una proposició vera ha de ser demostrable. Molts teoremes han hagut d'esperar segles per a la seva demostració però això no ha fet desesperar els matemàtics que són una espècie de gent molt perseverant.
El cas és que "veritat" i "demostrabilitat" són la mateixa cosa i la seva implicació funciona en les dues direccions: X és fals, perquè X és indemostrable (consistència); i X és fals, aleshores X és indemostrable (completesa). El procés de Gödel sobre aquestes matemàtiques clàssiques, molt abreujat, és el següent: en primer lloc, Gödel transforma les formules matemàtiques gramaticalment correctes (encara que fossin falses) en nombres X que les representen perfectament. 31 Un cop obtinguda una sèrie de nombres representatius per a cada fórmula matemàtica possible, va mostrar que aquests nombres es podien generar mitjançant una llavor inicial i unes regles de càlcul, com moltes altres sèries de nombres (la de Fibonacci, per exemple). La següent tasca va ser fer un nou conjunt d'aquests nombres que representessin únicament les fórmules demostrables i també va elaborar una regla computacional per a trobar els nombres d'aquesta nova sèrie. Un cop dominat el procés, finalment, mitjançat un procés sofisticadíssim, Gödel aconsegueix fer una fórmula demostrable que diu que "el nombre x no pertany al conjunt de les fórmules demostrables" i x és el nombre associat a la pròpia fórmula.
31 Gödel assigna un nombre arbitrari a cada símbol de la fórmula i un cop fet això, la fórmula és designada pel producte de successius números primers amb el nombre de cada un dels seus successius símbols com a exponents.
Aquest nombre ja no és arbitrari. Una descomposició factorial transformaria sempre aquest producte en la formula original.
En definitiva, que aital fórmula que té el número associat x no és demostrable, i com que la fórmula que codifica x és la mateixa fórmula que fa l'afirmació, llavors aconsegueix que una fórmula, demostrable i ver, digui que ella és indemostrable. Per tant, el teorema de Gödel diu (demostra) que hi ha una proposició aritmètica vera (amb tota la certesa) que és indemostrable (amb tota la certesa). Però no és solament que aquests dos fets són contradictoris i fa la matemàtica inconsistent (que déu n'hi do) sinó que resulta que la proposició és indemostrable justament "pel fet de" ser vera, i allò que fa que sigui indemostrable és el seu significat auto-referent: si fos demostrable, el seu significat en forma de bucle la convertiria automàticament en indemostrable.
El cas és que el sistema matemàtic, com tots els que són prou flexibles, és incomplet degut a la seva potència expressiva (Hofstadter, 2008:209). Les expressions que calen per a definir un axioma sempre són mal definides. Altra vegada la causa són els conceptes imprecisos, en la matemàtica i en la resta del món. Però la sorprenent conclusió de Hofstadter (2008:207-222) és sobre aquesta estranya característica del resultat de Gödel: allò ver i allò indemostrable són conseqüència un de l'altre. Per aquest autor, això explica la propietat dels sistemes que, havent generat significat d'alt nivell i una nova realitat, es pot considerar que aquest nivell superior "causa" l'inferior. El bucle estrany provoca una mena de causalitat descendent que explica, per exemple, el fet pel qual el nivell de partícules sembla que s'adapti a les causalitats establertes pels conceptes a nivell humà, evidentment construïts socialment.
El cas que importa en aquesta tesi és que, igualment que algunes sèries de nombres, també les fórmules demostrables dels Principia Mathematica creixen mitjançant regles d'inferència a partir d'unes d'anteriors que fan de llavor. Després d'obtenir la primera generació de proposicions vers, s'obtindrà la segona, i després la tercera. Finalment, segons el propòsit de Russell i Whitehead, s'obtindrien totes les proposicions vers. Aquest procés, que poden fer matemàtics humans o bé màquines, no té perquè tenir cap significat, com ja s'ha dit que afirmava Russell. Però segons la interpretació de Hofstadter (2008:190), si Russell ja preveia una lectura de les fórmules amb nombres, operacions i relacions, etc., per a que les matemàtiques parlessin de qualsevol cosa, allò que no estava previst era una lectura en la qual, gràcies a les substitucions entre números i fórmules que va fer Gödel, tot el formulari es referís a fórmules mateixes. Malgrat la prevenció de Russell i, per tant, sense fer servir explícitament l'auto-referència, les matemàtiques parlaven igualment de les matemàtiques mateixes! La lectura d'aquest segon nivell del mateix patró és igual de vàlid i igual de real (es pot dir que és causat i alhora causa el nivell inferior, paradoxalment).
Per tant, per a Hofstadter (2000:202,203), el bucle i l’auto-referència no sorgeixen de fer servir la negació, o bé la paraula “aquest/aquesta” (“aquesta frase és una mentida”). Tampoc les paraules “jo”, “aquí”, “ara”..., paraules que fan referència al qui parla o a alguna cosa relacionada i que fan auto-referència.
René Magritte escriu “Això no és una pipa”, a la seva obra La trahison des images (1929)
En el cas que s’ha explicat, Russell va tenir la precaució d’eliminar totes aquestes possibilitats en el llenguatge de les fórmules matemàtiques i no obstant això, Gödel hi fa una auto-referència. Un sistema que era dissenyat per a parlar exclusivament de nombres, acaba parlant de si mateix, ho fa a partir de la complexitat i riquesa dels nombres que fa que els seus patrons poden reproduir qualsevol altre patró.
“Kurt Gödel va ser el primer en constatar i explotar el fet que els enters positius, encara que puguin semblar en principi poca cosa, constitueixen un mitjà de representació extraordinàriament ric. Poden imitar o representar qualsevol classe de patró. Com qualsevol idioma, en el què els noms, els verbs, etcètera, poden acoblar-se uns amb altres i desplegar una dansa increïblement complexa, els nombres naturals són capaços també de relacionar-se entre si mitjançant l’addició, la multiplicació, etcètera, i “parlar” a traves de codis o analogies, sobre qüestions de tot tipus, numèriques o no numèriques” (Hofstadter, 2000:203-204)
El resultat que treu Hofstadter d'aquest procés matemàtic de Gödel és posar en relleu el fet que gràcies a una lectura determinada, pot sorgir un significat allà on no se l'espera. El teorema de Gödel mostra que un "bucle estrany" apareix com una conseqüència natural d'un isomorfisme inesperat entre dues situacions diferents: la cosa de la què es parla, i l'evolució del propi discurs.
Les conclusions de Gödel van suposar veure que la matemàtica no pot completar-se amb una sistematització, tal com es pretenia. També suposa que no es pot donar cap garantia de que moltes de les branques del pensament matemàtic no estiguin lliures de contradicció interna (Nagel, 1998:20). Aleshores, els intents de Russell d'evitar l'auto-referència establint una jerarquia de nivell en cada un dels quals només es podia referir als del nivell inferior, no feia sinó limitar la matemàtica amb uns prejudicis que ni tan sols van poder evitar la destrucció de l'ideal matemàtic. Però el cas és que la matemàtica és un llenguatge més. Encara que s'hagi fet com el llenguatge de la ciència natural, la que no pot parlar d'emocions ni de consciència, ni de passions, ni de creences, ni d'art, ni de valors... doncs ha resultat tan imprecís com la resta de llenguatges. Per això, el cas de la matemàtica permet veure de la manera més clara que el llenguatge simbòlic en general parla inevitablement en uns patrons que es poden llegir en diversos nivells, que s'amaguen uns dins dels altres i són mútuament causals.
Així, qualsevol altre llenguatge més flexible i ambigu que el de les matemàtiques, i encara més el dels els bons acudits, la literatura, el teatre, el llenguatge dels enamorats, el llenguatge ritual..., que parlen d’estranys, però reals, àmbits finits de significació, amb les seves gramàtiques i les seves regles actuant sobre conceptes sempre imprecisos, són capaços de generar noves lectures extraordinàries i parlar en dos o més nivells alhora.
Perquè, tal com s’ha mostrat, els conceptes construïts socialment inevitablement s'articulen en narracions i, per la seva inherent indefinició, també inevitablement els relats acaben parlant de si mateixos, o es parla d'un mateix que parla, o es parla d'allò de què es parla, o de qualsevol altra cosa, tot plegat provoca una estranya causalitat bi-direccional que fa que les
Algunes imatges, com aquestes publicitàries, acaben parlant d’elles mateixes perquè fan servir un efecte recursiu de la pròpia imatge a escala més petita, una interacció que, si no fos per les limitacions tècniques i sensorials, seria infinita i formaria un “bucle estrany”.
coses adoptin un isomorfisme i es reflecteixin en elles de manera que puguin tenir un sentit. El més important que cal remarcar aquí és que, segons Hofstadter, una lectura “causarà” l'altra i vice-versa! Al meu parer, es podria dir que una lectura és real a causa de l’altra, perquè li apareix un patró “semblant”. És en aquest moment que es genera la traducció o la regla que reclama Lévi-Strauss, i és en aquest moment que neix el “significat”.
Qualsevol classificació és naturalitzada mitjançant discursos analògics que la signifiquen.
Posem per cas la divisió humana més generalitzada: el gènere. Com se sap, la divisió per gènere és una construcció social del dimorfisme sexual humà. En general, el prestigi dels models masculins s’han articulat històricament sobre uns suposats beneficis de la masculinitat i la narrativa que els defensa parla de diferències biològiques i determinismes funcionals, però no acostuma a parlar explícitament de poder, de jerarquia, de classe, d’edat, de llinatge, de religió i de mil coses més que, malgrat tot, existeixen paral·lelament, hi ressonen i els donen sentit. Per exemple, el treball de l’antropòloga Carol Delaney (1998) mostra com en una comunitat rural musulmana de Turquia el gènere és construït segons un discurs sobre la
“procreació” que no es distingeix del concepte de producció, i ressona amb altres discursos com són els de “la llavor i el camp”, o “el llevat i la massa del pa”. Tant la “llavor” com el
“llevat” són entesos socialment mitjançant la idea del procés creatiu, engendrador, que passa de generació en generació. Aleshores, mitjançant un discurs procreatiu quotidià en aquests termes, la població entén que les criatures són creació del pare que és qui posa la llavor, mentre que la funció de la mare és la mateixa que fa la terra amb la llavor, o el forn amb el pa, la d’embolcall protector, la de nutrient. Mitjançant aquesta narració, que no és explícita sinó que ressona dins els conceptes quan cal parlar de criatures i de llinatges, els homes, amb la paternitat, transmeten la llavor o l’essència. Així es resolen conflictes diversos com ara la situació dels fills en cas de separació matrimonial, que són evidentment del pare perquè, com diuen allà “són fruit de la seva sement”; o la preponderància social de l’home respecte la dona atès la seva capacitat exclusiva de creació… Nogensmenys, segons els relats alcorànics (igual que els bíblics), Déu és creador, és pare i és home; i els homes “engendren” i les dones
“infanten”. Aquesta analogia i d’altres semblants, provinents de les religions d’origen agrari, o de revisions medievals de l’obra aristotèlica, que va en el mateix sentit, porta a crear la realitat d’una teoria monogenètica de la procreació. Per a Delaney,
“les definicions de gènere poden tenir alguna cosa a veure amb la procreació, i la procreació té a veure amb més coses que el sexe i la biologia” (Delaney, 1998:48)
Segons Hofstadter (2008:201), les successives lectures d'un plantejament de conceptes fan significats nous cada vegada i se sobreposen als originals. Aquestes analogies es causen mútuament, hi ha una mena de moviment, de procés, d'intenció, en el significat. 32 Fins i tot els
32 Aquesta idea d’intenció o voluntat s’analitzarà més endavant.
significats primaris depenen de lectures tàcites, i doncs, tots els significats depenen d'alguna classe de lectura, i això vol dir que tot significat prové d'una analogia.
En resum, com ja s'ha dit al començament de tot, el significat, com a funció o relació d'un símbol o significant, necessita una analogia. Es pot veure al diccionari i en tots els tractats de simbolisme. Per altra banda, s’ha vist que Durkheim s’adona de l’homologia fractal de les classificacions humanes, de les semblances innates dins d’un univers fet mitjançant llenguatge social. Crec que la interpretació de Hofstadter explica ara com és que les analogies i, per tant, els significats, sorgeixen necessàriament en qualsevol discurs en un sistema de representació on hi ha imprecisions i graus de llibertat, perquè arriba un moment que sorgeix una lectura analògica que produeix el significat. Apareix la sensació de sentit, la il·luminació, l’Eureka!, i les coses comencen a existir de debò.
En les converses amb molta incertesa (com per exemple les amoroses, on contínuament els interlocutors se cerquen respostes sense fer directament les preguntes), les afirmacions, justificacions, se solen buscar en terrenys o discursos anàlegs, metafòrics, de manera que aitals converses es poden donar en diferents plans: dient una cosa se'n diuen dues o tres més. No cal dir que és el gran recurs de la literatura, el teatre, la comicitat i el pensament religiós i d’aquells àmbits que en aquesta tesi en dic, com Schütz, àmbits finits de significació. El
En les converses amb molta incertesa (com per exemple les amoroses, on contínuament els interlocutors se cerquen respostes sense fer directament les preguntes), les afirmacions, justificacions, se solen buscar en terrenys o discursos anàlegs, metafòrics, de manera que aitals converses es poden donar en diferents plans: dient una cosa se'n diuen dues o tres més. No cal dir que és el gran recurs de la literatura, el teatre, la comicitat i el pensament religiós i d’aquells àmbits que en aquesta tesi en dic, com Schütz, àmbits finits de significació. El