Les espaces non-octaviants de régime onze et treize sont fondés sur un intervalle structurel classique, la septième majeure ou la neuvième mineure. En choisissant un intervalle structurel
dans le domaine micro-intervallique, on peut construire des espaces non-octaviants de densité plus …ne. Deux oeuvres de Wyschnegradsky sont construites selon d’autres régimes : la première des Deux compositions, opus 46 écrite pour les sixièmes de ton et Cosmos, pour quatre pianos à quarts de ton.
La première des Deux compositions opus 46 a été écrite dans un espace de structure ternaire à période contractée de régime 17. Cette période est formée de 17 tiers de ton ou 34 sixièmes de ton et est divisée en trois parties de structure 11-12-11 sixièmes de ton. Cette période engendre, dans l’univers des sixièmes de ton, un cycle complet de 36 positions. Le plus souvent, les positions sont employées en superposition comme le montre l’exemple suivant dans lequel on trouve la superposition d’une position 4 contre une position 35, puis 36 contre 3.
Exemple 45 - Composition 1, opus 46
Dans Cosmos, opus 28 pour quatre pianos à quarts de ton, Wyschnegradsky emploie un in- tervalle structurel de 27 quarts de ton, qui dépasse la neuvième mineure. C’est un espace non- octaviant, qui se reproduit à la neuvième neutre. La période est formée de quatre intervalles de cinq quarts de ton suivis d’un intervalle de sept quarts de ton (5-5-5-5-7) . Par répétition, cette période engendre un cycle complet de 27 positions.
Cet espace possède de nombreuses propriétés qui ont été exploitées par le compositeur. La propriété la plus importante est que les cycles forment des espaces à transpositions limitées. En e¤et, Wyschnegradsky constate que la quatrième transposition du premier cycle est la reproduction du premier une octave plus bas. Les périodes de deux cycles distants de trois
quarts de ton coïncident, mais avec un décalage d’une période. La deuxième période du premier cycle (ré demi-bémol, mi, sol demi-bémol, la, si demi-dièse, mi bémol ) se trouve être, à une octave près, la première période du quatrième cycle. De même, la troisième période du premier cycle est la deuxième période du quatrième cycle et ainsi de suite. Les cycles se reproduisent dans di¤érentes octaves, de sorte que les 27 positions se répartissent en trois groupes di¤érents. Le premier groupe comprend les cycles 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 et 25, le deuxième groupe, les cycles 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23 et 26 et le troisième groupe comprend les cycles restants, à savoir 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 et 27.
Une autre propriété importante est que dans cet espace non-octaviant, tous les intervalles ne sont pas présents. On trouve seulement neuf intervalles distincts (5/4, 7/4, quarte, triton, 15/4, 17/4, septième mineure, septième majeure et intervalle de 27/4 de ton). L’intervalle de 27/4 de ton ou neuvième neutre joue le rôle d’octave.
En…n, les cycles s’ordonnent par degrés de parenté. Le premier degré de parenté désigne les cycles qui ont quatre sons communs dans chaque période. Par exemple, la troisième période du premier cycle (mi bémol, fa demi-dièse, la bémol, si demi-bémol, ré bémol, mi demi-dièse) a quatre sons communs avec la troisième période du sixième cycle (fa demi-dièse, la bémol, si demi-bémol, ré bémol, mi demi-bémol, sol ) et quatre sons communs avec la troisième période du cycle 23 (do demi-dièse, mi bémol, fa demi-dièse, la bémol, si demi-bémol, ré). Le deuxième degré de parenté désigne les cycles qui ont, dans chaque période, trois notes communes, le troisième degré de parenté ceux qui ont deux notes communes et le quatrième degré de parenté ceux qui ont une seule note commune. Tous les autres cycles n’ont aucune note commune. Le premier degré se trouve en premier degré de parenté avec les cycles 6 et 23, en deuxième degré de parenté avec les cycles 11 et 18, en troisième degré de parenté avec les cycles 16 et 13 et en quatrième degré de parenté avec les cycles 21 et 8. Par transposition, il est facile d’obtenir toutes les relations parentales entre cycles. La table donnée par Wyschnegradsky dans la préface de Cosmos est erronée pour le quatrième degré de parenté à partir du douzième cycle. La table ci-après rétablie les valeurs des cycles en relations parentales.
Cycles Degré 1 Degré 2 Degré 3 Degré 4 1 6-23 11-18 16-13 21-8 2 7-24 12-19 17-14 22-9 3 8-25 13-20 18-15 23-10 4 9-26 14-21 19-16 24-11 5 10-27 15-22 20-17 25-12 6 11-1 16-23 21-18 26-13 7 12-2 17-24 22-19 27-14 8 13-3 18-25 23-20 1-15 9 14-4 19-26 24-21 2-16 10 15-5 20-27 25-22 3-17 11 16-6 21-1 26-23 4-18 12 17-7 22-2 27-24 5-19 13 18-8 23-3 1-25 6-20 14 19-9 24-4 2-26 7-21 15 20-10 25-5 3-27 8-22 16 21-11 26-6 4-1 9-23 17 22-12 27-7 5-2 10-24 18 23-13 1-8 6-3 11-25 19 24-14 2-9 7-4 12-26 20 25-15 3-10 8-5 13-27 21 26-16 4-11 9-6 14-1 22 27-17 5-12 10-7 15-2 23 1-18 6-13 11-8 16-3 24 2-19 7-14 12-9 17-4 25 3-20 8-15 13-10 18-5 26 4-21 9-16 14-11 19-6 27 5-22 10-17 15-12 20-7
les trois groupes de positions sont représentés de manière à peu-près équivalente (60 positions appartiennent au premier groupe, 90 positions relèvent du deuxième groupe et 86 positions appartiennent au troisième groupe). Le premier groupe est sensiblement moins présent que les deux autres.
L’emploi des positions se répartit en trois groupes de fréquences variées. Les positions les plus employées appartiennent au deuxième et au troisième groupe. Les positions 14 (Groupe II) et 27 (Groupe III) apparaissent 17 fois et la position 12 (Groupe III) par laquelle débute l’oeuvre apparaît 16 fois. Elles sont relayées par les positions 9 (Groupe III, 14 fois), 26 (Groupe II, 14 fois) et 11 (Groupe II, 13 fois). Un deuxième groupe est constitué par les positions moyennement employées : position 15 (11 fois), position 20 (10 fois), position 1, 2, 4, 8, et 10 (9 fois chaque), et position 7 (8 fois). Un troisième groupe est formé des positions peu employées : position 3, 17, 25 (7 fois), 13, 18, 21, 23 (6 fois), 5, 19, 24 (5 fois), 6, 16 (4 fois) et 22 (3 fois). La répartition statistique des positions est donc de structure ternaire, comme la répartition structurelle des positions.
L’enchaînement des positions est linéaire, à l’exception des mesures 171 à 174 qui su- perposent deux positions voisines. L’ordre des positions évoluent le plus souvent par degrés conjoints. Les positions parentales qui ont une ou plusieurs notes communes sont, en général, évitées. Les enchaînements de cycles par premier de parenté, qui ont quatre notes communes par période, sont les plus fréquents, mais ne représentent que 5 % de tous les enchaînements de positions : pos 12 à 17 (mes. 53), pos. 26 à 21 (mes. 56), pos. 21 à 16 (mes. 57), pos. 1 à 23 (mes. 69), pos. 20 à 25 (mes. 104), pos. 26 à 21 (mes. 117), pos. 21 à 26 (mes. 118), pos. 4 à 9 (mes. 169), mes. 5 à 27 (mes. 171), pos. 24 à 19 (mes. 176), pos. 3 à 25 (mes. 178) et pos. 6 à 11 (mes. 183).
Les enchaînements par deuxième degré de parenté sont un peu moins nombreux que les enchaînements par premier degré de parenté : pos. 12 à 2 et 2 à 12 (mes. 4 et 5), pos 8 à 25 (mes. 27), pos. 26 à 9 (mes. 93), pos. 14 à 4 (mes. 98), pos. 7 à 17 (mes. 101), pos. 4 à 14 (mes. 103) et pos. 9 à 26 (mes. 170). Les enchaînements par troisième degré parental sont rares : pos. 2 à 14 (mes. 22), pos ? 15 à 27 (mes. 27), pos. 23 à 8 (mes. 70), pos. 23 à 11 (mes. 85), pos. 26 à 14 (mes. 142), mes 14 à 20 (mes. 141-142) et les enchaînements par quatrième degré de parenté sont encore plus rares, quasiment inexistants pos 12 à 16 (mes. 44), pos 7 à 14 (mes. 97), pos.
14 à 7 (mes. 101).