M´emoire d’initiation `a la recherche

M´emoire d’initiation ` a la recherche

Amina Bouchafaa

Sous la direction de M. Guillaume Vigeral

4 juillet 2015

1

Table des mati` eres

Table des mati` eres 2

1 Preuves du th´ eor` eme de Brouwer par des outils combinatoires 5 1.1 Le lemme de Sperner pour prouver le th´ eor` eme du point fixe . . . . 5 1.2 Equivalence entre th´ eor` eme de Hex et th´ eor` eme du point fixe . . . . 10 2 Applications du th´ eor` eme du point fixe de Brouwer 15 2.1 Th´ eor` eme de Perron-Frobenius . . . . 15 2.2 Existence d’´ equilibres de Nash dans un jeu fini ` a N joueurs . . . . 16

Bibliographie 19

2

TABLE DES MATI ` ERES 3

Introduction

J’ai choisi de travaill´ e, sous la direction de Monsieur G.Vigeral, sur un sujet assez pris´ e en math´ ematiques : le th´ eor` eme du point fixe de Brouwer. Il est n´ ecessaire de pr´ eciser son auteur puisqu’il y a plusieurs th´ eor` emes du point fixe en math´ ematiques. Ce dernier se formule avec une simplicit´ e ´ etonnante. Il nous dit qu’une fonction f admet, sous certaines conditions, un point fixe. C’est ` a dire un x tel que son image par f est lui mˆ eme. C’est un th´ eor` eme d’existence, qui n’apporte pas de m´ ethode g´ en´ erale de construction, mais qui reste tr` es puissant et aux applications vari´ ees. Le sujet, tel qu’il a ´ et´ e propos´ e par M. Vigeral, consiste ` a d´ emontrer ce th´ eor` eme, mais d’une mani` ere moins classique, puisqu’il utilise des outils combinatoires et tr` es peu d’analyse.

Dans un premier temps, nous pr´ esenterons le lemme de Sperner suivie de sa d´ emonstration.

Puis, nous expliquerons comment ce lemme permet de d´ emontrer le th´ eor` eme de Brouwer. Dans un second temps, nous nous int´ eresserons ` a une d´ emonstration plus r´ ecente qui utilise le jeu de Hex. Enfin, nous en donnerons deux applications.

La premi` ere partie de la d´ emonstration concernant le lemme de Sperner est inspir´ ee de la preuve faite ici [3]. La partie concernant le jeu de Hex est reprise des articles [1] et [2]. Ainsi que le polycopi´ e de cours de M.Vigeral. [4]. Aussi, les pages Wikip´ edia sur le th´ eor` eme du point fixe et les ´ equilibres de Nash m’ont ´ et´ e utiles.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966)

Br` eve parenth` ese historique : Luitzen Egbertus Jan Brouwer est un grand math´ ematicien hollandais du d´ ebut du XX` e s, il r´ ealise des ´ etudes secondaires tr` es brillantes, et tr` es rapides.

Brouwer est le fer de lance avec Poincar´ e des math´ ematiques intuitionnistes, par opposition au

logicisme de Russel et Frege, et au formalisme de Hilbert. En particulier, pour Brouwer, un

th´ eor` eme d’existence ne peut ˆ etre vrai que si on peut exhiber un processus, mˆ eme formel, de

construction. Cela le conduit notamment ` a rejeter la loi du tiers-exclu, qui dit qu’une propri´ et´ e

est ou vraie, ou fausse ! Les preuves ainsi obtenues sont souvent plus longues, mais Brouwer fut

capable de r´ e´ ecrire des trait´ es de th´ eorie des ensembles, de th´ eorie de la mesure, et de th´ eorie

des fonctions en se conformant aux r` egles de l’intuitionnisme.

Chapitre 1

Preuves du th´ eor` eme de Brouwer par des outils combinatoires

1.1 Le lemme de Sperner pour prouver le th´ eor` eme du point fixe

Th´ eor` eme 1. Lemme de Sperner Soit ∆ un n-simplexe de R

.

∆ = {x

+ x

+ ... + x

= 1 x

, x

, ...., x

≥ 0}

Ses faces sont des (n-1)-simplexes. On le d´ ecompose en simplexes dont on colorie les sommets (y compris ceux du simplexe de d´ epart) avec n+1 couleurs : 0,...,n. La face oppos´ ee au sommet de couleur i ne doit pas contenir de sommets colori´ es i. Alors il y a un nombre impair de sim- plexes petits omnicolores (dont les sommets sont colori´ es de 0 ` a n).

Plus pr´ ecis´ ement : En dimension 1, le lemme de Sperner affirme sur une droite avec deux sommets color´ es vert et bleu, on doit changer de couleur un nombre impair de fois pour passer d’un sommet ` a l’autre. Sur, ceci est repr´ esent´ e par les deux couleurs, avec 5 changements de couleurs de haut en bas.

En dimension 2, il s’´ enonce ainsi : Soit un grand triangle de sommets V

, V

et V

d´ ecompos´ e en un nombre fini de triangles qui s’ajustent ensemble, arˆ ete par arˆ ete. Supposons que les

5

6

CHAPITRE 1. PREUVES DU TH ´ EOR ` EME DE BROUWER PAR DES OUTILS COMBINATOIRES sommets des triangles aient des couleurs choisies dans l’ensemble {1,2,3} telle que V

soit de la couleur i pour tout i et que tout sommet sur le segment V

,V

soit de couleur i ou j seulement.

Les autres sommets int´ erieurs peuvent ˆ etre colori´ es arbitrairement avec 1, 2 ou 3.

Alors, il doit y avoir au moins un triangle ”tricolore” c’est ` a dire dont les sommets sont de couleurs diff´ erentes. Plus pr´ ecis´ ement, il y en a un nombre impair.

Triangle avec sommets : Bleu rouge et vert, on a trois triangles omnicolores.

D´ emonstration. Nous expliciterons ici principalement le passage de la dimension 1 ` a 2. Le pas- sage ` a n=2 ` a n=3 est bri` evement r´ esum´ e ` a la fin de la preuve.

Soit donc le triangle tel qu’il est d´ ecrit dans le th´ eor` eme. On dessine sur ce dernier le graphe dual partiel de sorte que chaque arˆ ete du nouveau graphe coupe un segment de la forme (1,2) c’est ` a dire coupe une arˆ ete dont les deux sommets sont de couleurs 1 et 2.

On obtient donc trois types de sommets pour ce graphe. Des sommets de degr´ e 0 qui sont dans les triangles dont les sommets ne sont pas colori´ es (1 et 2). Des sommets de degr´ e 1 qui sont

`

a l’int´ erieur des triangles tricolores. Des sommets de degr´ es 2. Un sommet de degr´ e k impair.

Il s’agit de celui qui est ` a l’ext´ erieur du triangle. En effet, entre V

et V

il y a un nombre de changement impair de couleur entre 1 et 2 (Hypoth` ese de r´ ecurrence).

Graphe dual du triangle On utilise le lemme suivant qu’on admet

Lemme. Soit G un graphe fini dont l’ensemble de sommets est V et l’ensembles d’arˆ etes est

E.

1.1. LE LEMME DE SPERNER POUR PROUVER LE TH ´ EOR ` EME DU POINT FIXE 7 P

v∈V

d(v) = 2|E|

O` u d(v), le degr´ e d’un sommet v est le nombre d’arˆ etes dont v est le sommet.

Comme la somme totale des degr´ es est pair, on en d´ eduit qu’il y a un nombre impair de sommets de degr´ e 1. C’est ` a dire qu’il y a un nombre impair de triangles tricolores. Le passage de n = 2 ` a n = 3 est prouv´ ee de mani` ere analogue en utilisant une t´ etra` edrisation au lieu d’une triangulation. Le graphe dual qui traverse les segments color´ es (1,2) sera pris cette fois comme celui qui traverse les triangles color´ es (1,2,3). La preuve est similaire puisque les seuls sommets de degr´ es impairs seront contenus dans les t´ etra` edres (1,2,3,4) puis le lemme suffit pour conclure.

Emanuel Sperner (1905 – 1980)

Th´ eor` eme 2. Soit ∆ le triangle de R

de sommets e

= (1,0,0), e

= (0,1,0) et e

= (0,0,1).

Toute application f : ∆ −→ ∆ continue a un point fixe.

D´ emonstration. Supposons par l’absurde, qu’il n’existe aucun point v dans ∆ tel que f(v) = v.

On remarque v et f (v) sont tous deux dans l’hyperplan {x

+ x

+ x

= 1} de R

.

Donc l’hypoth` ese f (v ) 6= v implique qu’il existe au moins une coordonn´ ee strictement positive de f (v) − v et une autre strictement n´ egative. En effet,

P

i

(f(v) − v)

= 0

On note δ(Γ) la longueur maximale d’une arrˆ ete pour une triangulation Γ . On peut construire une suite infinie de triangulations Γ

,Γ

, de ∆ telle que la suite des diam` etres maximaux δ(Γ

) converge vers 0.

Pour chaque triangle on d´ efinit une trois-coloration de ses sommets v en posant : λ(v) := min{i.f(v)

< v

}

c’est ` a dire que λ(v) est le plus petit indice tel que la i-eme coordonn´ ee de f(v)−v soit n´ egative.

Cette d´ efinition est valide car v et f(v) sont tous deux dans l’hyperplan d´ ecrit pr´ ec´ edemment.

On v´ erifie qu’on se trouve bien dans le cadre du lemme de Sperner : Chaque sommet e

re¸coit la coloration i, puisque la seule coordonn´ ee de f (e

) − e

qui peut ˆ etre n´ egative est la i-` eme.

Le lemme peut donc s’appliquer sur chaque triangulation Γ

. Il y a un triangle tricolore dans chacune de ces triangulation, qu’on d´ esignera par (v

, v

, v

).

La suite (v

) se trouve dans le compact ∆, donc poss` ede une sous-suite convergente qu’on

notera (v

) pour simplifier. Cette sous suite converge vers un ´ el´ ement v de ∆. Cette limite

v´ erifie f (v)

≤ v

pour tout i ce qui contredit f (v ) 6= v.

8

CHAPITRE 1. PREUVES DU TH ´ EOR ` EME DE BROUWER PAR DES OUTILS COMBINATOIRES Le th´ eor` eme 2 se g´ en´ eralise en dimension quelconque. Par cons´ equent, pour prouver le th´ eor` eme de Brouwer en dimension quelconque, il suffit d’utiliser la proposition suivante.

Proposition. Soit K un compact convexe de R

. Alors K est hom´ eomorphe ` a B la boule unit´ e ferm´ ee de R

.

D´ emonstration. Puisque K est un convexe compact quelconque d’int´ erieur non vide, on peut supposer que 0 appartient ` a K et qu’il contient B. Sinon, il suffit de le translater, ou de le dilater par homoth´ etie.

On d´ efinit une fonction f de B dans K qui ` a un point x associe T.x, avec u le vecteur directeur de x et f(0) = 0.

On pose

f : B → K u(x) =

f (x) = T (u(x)).x

T (u) := sup{t ∈ R

| t.u ∈ K}

D’abord, f est bien d´ efinie : Si x est non nul, on cherche le supremum de la fonction continue t → t.u sur le compact non vide K.

Ensuite, t.u appartient ` a K pour tout t < T , par convexit´ e. K est ferm´ e donc T.u appartient

`

a K. Si x est de norme 1, c’est r´ egl´ e. Sinon, T.x appartient ` a K par convexit´ e.

D’abord, la fonction f ainsi d´ efinie est continue.

En 0 : f (x) tend vers 0 quand x tend vers 0.

Pour x autre que 0, on utilise, en l’admettant, le fait que la jauge d’un ensemble convexe compact, contenant 0 dans son int´ erieur, est continue.

Elle est aussi bijective.

f est injective. Soient, x et y deux vecteurs non nuls, tels que f(x) = f (y) c’est ` a dire T (u(x)).x = T (u(y)).y. Alors, x et y sont colin´ eaires.

x = λ.y o` u λ =

> 0 ⇒ u(x) =

.u(y) ⇒ u(x) = u(y) ⇒ T (u(x)) = T (u(y)) ⇒ x = y f est surjective. Il suffit de remarquer que f est homog` ene de degr´ e 1.

Soit α, λ > 0,

f (λ.y) = T (u(y)).λ.y =

.T (u(y)).λ.y = λ.T (u(y)).y = λ.f(y)

En utilisant T (αu) = sup{t ∈ R

| t.α.u ∈ K} = α.sup{t ∈ R

| t.u ∈ K } = αT (u).

Soit y dans K non nul, on peut associer l’ant´ ec´ edent y/T (u(y)), par ce qui pr´ ec` ede : f(y/T (u(y)) = y

f est bien surjective.

Montrons que l’inverse de f est continue.

En 0, |f(x)| ≥ |x| car T (u) ≥ 1 (B est contenue dans K) donc f

(y) tend vers 0 quand y tend vers 0.

Pour y diff´ erent de 0, par la bijectivit´ e de f et ce qui pr´ ec` ede on obtient : f

(y) = y/(T (u(y))), qui garantit la continuit´ e de f

.

Si K est d’int´ erieur vide, alors il est contenu dans un-sous espace vectoriel de dimension

n − 1, et donc en it´ erant cet argument et en utilisant la proposition on montre que tout compact

convexe de R

est hom´ eomorphe ` a la boule unit´ e ferm´ ee de R

pour un d ≤ n.

1.1. LE LEMME DE SPERNER POUR PROUVER LE TH ´ EOR ` EME DU POINT FIXE 9

Ainsi, montrer le th´ eor` eme de Brouwer pour le simplexe de R

permet de l’´ etendre par

h´ emo´ emorphie ` a tout convexe compact d’int´ erieur non vide de R

.

10

CHAPITRE 1. PREUVES DU TH ´ EOR ` EME DE BROUWER PAR DES OUTILS COMBINATOIRES

1.2 Equivalence entre th´ eor` eme de Hex et th´ eor` eme du point fixe

D´ efinition 1. Le jeu de Hex est un jeu de plateau ` a deux joueurs : rouge et bleu, par exemple.

Le plateau est un losange pav´ e par des cases hexagonales, dont deux des cˆ ot´ es oppos´ es sont plaints de la couleur du premier joueur, et les deux autres de la couleur de l’autre joueur. Les joueurs posent tour ` a tour un pion sur une case et le but est de relier deux cˆ ot´ es de sa couleur par une chaˆıne de pions ininterrompue.

Le plateau du jeu de Hex

Th´ eor` eme 3. A Hex, il y a toujours un gagnant. En fait il existe un r´ esultat plus fort qui dit qu’il y a exactement un gagnant. Mais nous utiliserons et d´ emontrerons seulement la premi` ere partie de l’assertion.

Ici Bleu a gagn´ e

D´ emonstration. On assimilera le plateau ` a un graphe. Les quatre sommets sont prolong´ es par

des segments u, v, u

et v

comme indiqu´ e sur la figure.

1.2. EQUIVALENCE ENTRE TH ´ EOR ` EME DE HEX ET TH ´ EOR ` EME DU POINT FIXE 11

Graphe sur le plateau du jeu On utilisera ce lemme ´ el´ ementaire qu’on admettra :

Lemme. Un graphe avec des sommets de degr´ e au plus deux est soit : un sommet isol´ e, un chemin simple, ou un cycle.

On choisit de d´ emarrer de u. On construit ainsi un chemin en passant par les segments qui sont fronti` ere commune ` a un x et un o. Comme indiqu´ e ci-dessous.

Construction du graphe

On remarque alors que le chemin ainsi construit est unique. Puisque arrive ` a un point, on

se retrouve comme dessin´ e, ou alors par sym´ etrie des rˆ oles jou´ es par x et o, on aurait deux o

et un x, dans tous les cas ` a partir de l’intersection il n’y a qu’une seule fronti` ere qui respecte

12

CHAPITRE 1. PREUVES DU TH ´ EOR ` EME DE BROUWER PAR DES OUTILS COMBINATOIRES la r` egle qu’on s’est fix´ e. Aussi, on ne passe jamais par un point qu’on d´ ej` a travers´ e. Ainsi, les segments (fl` eches rouges ci-dessus ou en gras sur la premi` ere image) forment un chemin simple

`

a partir de u. Aboutissant ` a l’un des trois autres sommets de degr´ e un, on construit aussi une chemin de x ou de o qui relie les fronti` eres X ` a X

(ou O ` a O

respectivement).

Th´ eor` eme de Hex pour prouver le th´ eor` eme du point fixe

Plutˆ ot que de travailler sur un plateau ` a cases hexagonales, on va jouer sur un carr´ e. On note donc B

le plateau de jeu carr´ e de taille k + 1 suivant. Les cˆ ot´ es oppos´ es seront not´ es N , S, E et O.

On l’assimilera a une partie (convexe compacte) de R

munie de la norme |x| = max

|x

|.

D´ efinition 2. Deux points x et y sont tels que x < y si x

≤ y

pour tout i.

D´ efinition 3. Deux points x et y sur le plateau sont dits comparables si x < y ou y < x.

D´ efinition 4. Deux points z et z’ sont dits adjacents s’ils sont comparables et si |z − z

| = 1.

Plateau du jeu modifi´ e

Th´ eor` eme 4. f : B

−→ B

une fonction continue. Alors, il existe x

dans B

tel que f (x

) = x

.

D´ emonstration. Il suffit de montrer que pour tout > 0 il existe x dans I

tel que |f(x) −x| <

puis par compacit´ e on peut extraire une sous suite convergente vers le point fixe.

L’uniforme continuit´ e de f nous assure l’existence de α > 0 qu’on choisira plus petit que tel que

∀ x, x

|x − x

| < α ⇒ |f (x) − f(x

)| <

1.2. EQUIVALENCE ENTRE TH ´ EOR ` EME DE HEX ET TH ´ EOR ` EME DU POINT FIXE 13

Remarque : f (x) d´ esigne le point := (f

(x), f

(x)).

On consid` ere un plateau B

tel que 1/k < α et on d´ efinit les quatre ensembles H

H

V

et V

comme suit :

H

= {z|f

(z/k) − z

/k > } H

= {z|z

/k − f

(z/k) > } V

= {z|f

(z/k) − z

/k > } V

= {z|z

/k − f

(z/k) > }

Cette ´ ecriture d´ ecrit simplement l’ensemble des points z/k qui sont d´ eplac´ ees par f de unit´ es vers la droite (respectivement vers la gauche, le haut, le bas du point).

On montrera, dans ce qui suit, que l’union de ces quatre ensemble est strictement inclus dans le plateau B

.

D´ efinition 5. Deux ensembles A et B de R

sont dits contigus s’il existe a dans A et b dans B tel que a et b soient adjacents.

On remarque, tout d’abord, que les ensembles H

et H

(respectivement V

et V

) sont non seulement disjoints mais en plus non contigus.

En effet, soient z dans H

et z

dans H

:

f

(z/k) − z

/k >

z

/k − f

(z

/k) >

⇒ f

(z/k) − z

/k + z

/k − f

(z

/k) > 2 or z

/k − z

/k < α <

⇒ f

(z/k) − f

(z

/k) >

Ceci contredit le choix de α.

On montre de la mˆ eme mani` ere que V

et V

ne sont pas contigus. Notons H = H

∪ H

et V = V

∪ V

. S’il existe un chemin connectant E ` a O dans H, il appartient soit ` a H

, soit

`

a H

. Mais H

correspond aux points de I d´ eplac´ es vers la droite : il n’y en a pas dans le bord droit de I car f est ` a valeurs dans B

.

Autrement dit, H

n’est pas connect´ e ` a E. De la mˆ eme fa¸con, H

(resp. H

, V

) n’est pas connect´ e ` a O (resp N , S). Il n’y a pas de chemin connectant E ` a O dans H. Ni de chemin connectant E ` a W dans V. Or d’apr` es le th´ eor` eme de Hex ce chemin existe. On en d´ eduit que H et V ne recouvrent pas B

. Ainsi, il existe un point qui n’est ni dans H ni dans V, qui v´ erifie donc |f (x) − x| < . Par compacit´ e, et pour = 1/n la limite de la suite extraite est un point fixe de f . Ce qui conclut la preuve.

Th´ eor` eme de Brouwer pour prouver le th´ eor` eme de Hex

Nous avons montr´ e dans ce qui pr´ ec` ede comment le th´ eor` eme de Hex permet de d´ emontrer

le th´ eor` eme de Brouwer mais en fait on peut montrer un r´ esultat plus fort, il y a ´ equivalence

entre les deux th´ eor` emes.

14

CHAPITRE 1. PREUVES DU TH ´ EOR ` EME DE BROUWER PAR DES OUTILS COMBINATOIRES D´ emonstration. On travaille sur un jeu de Hex triangularis´ e comme dans la figure ci-dessus.

On suppose que le th´ eor` eme de Hex n’est pas v´ erifi´ e.

Ainsi, il existe deux ensembles H et V disjoints et non contigus qui recouvrent enti` erement B

tel qu’il n’existe pas de chemin de points H reliant W ` a E ni de chemin V qui relie N ` a S.

Posons :

W

l’ensemble des points connect´ es ` a W par un chemin dans H.

S

l’ensemble des points connect´ es ` a N par un chemin dans V . E

l’ensemble H priv´ e de W

.

N

l’ensemble V priv´ e de S

. Soient e

et e

les vecteurs de la base canonique de R

. On d´ efinit la fonction de f de B

dans B

comme suit :

f(z) = z + e

si z est dans W

f (z) = z − e

si z est dans E

f (z) = z + e

si z est dans S

f (z) = z − e

si z est dans N

Cette d´ efinition est bien l´ egitime. En effet dans le premier cas, l’image n’est pas dans B

si et seulement si z est dans E. Or si c’´ etait le cas, W

joindrait W par un chemin continu ` a partir de E. Ce n’est pas possible par hypoth` ese. La deuxi` eme est aussi bien d´ efinie car si z est dans E

il ne peut pas ˆ etre dans W. Par d´ efinition, E

est H priv´ e des points qui le connectent

`

a W. Les deux derni` eres sont valables par les mˆ emes arguments.

On ´ etend f ` a B

tout entier en utilisant le fait que tout point du plateau s’´ ecrit de mani` ere unique comme combinaison convexe d’au plus trois sommets qui sont adjacents.

Lemme. Soient z

z

et z

trois sommets d’un triangle de R

. Soit ρ une fonction qui a z

associe z

+ v

o` u v

v

et v

sont trois vecteurs de R

. Soit ρ

son extension aux points du triangles. Alors, ρ

poss` ede un point fixe si et seulement si 0 appartient ` a l’enveloppe convexe de v

v

et v

. En effet, si x = λ

z

+ λ

z

+λ

z

alors ρ (x) = λ

(z

+ v

) + λ

(z

+ v

) +λ

(z

+ v

) et ρ (x) = x si et seulement si λ

v

+ λ

v

+λ

v

=0

Dans notre d´ emonstration ce qui fait figure des v

est la base canonique de R

. Or, 0 n’est pas dans leur enveloppe convexe. En effet, par libert´ e,

λ

e

+ λ

e

= 0 ⇒ λ

= λ

= 0

Donc on a trouv´ e f une fonction de B

dans lui mˆ eme, un convexe compact et qui n’admet pas

de point fixe ce qui contredit le th´ eor` eme de Brouwer.

Chapitre 2

Applications du th´ eor` eme du point fixe de Brouwer

2.1 Th´ eor` eme de Perron-Frobenius

Th´ eor` eme 5. Soit M une matrice de M

( R ) qui a tous ses coefficients strictement positifs.

Alors M poss` ede une valeur propre strictement positive.

D´ emonstration. On consid` ere l’ensemble convexe compact S = {(x

, ..., x

) ∈ R

x

≥ 0 ∀i P

i

x

≥ 1 P

i

x

≤ 1 }

La compacit´ e vient du fait que c’est un ferm´ e born´ e. La convexit´ e est triviale. On note

|x| = pP

i

x

∀x ∈ R

. On pose

f : S → S f(v) =

La fonction f est bien d´ efinie car tous les coefficients de M sont strictement positifs. Comme v est dans S, il existe au moins un coefficient de M v qui n’est pas nul (En effet, les coefficients de v sont positif. La condition P

i

x

≥ 1 impose qu’il y en ait au moins un strictement positif).

Donc |M v| ne s’annule jamais.

Elle est lin´ eaire donc continue d’un ensemble convexe compact dans lui mˆ eme. Le th´ eor` eme de Brouwer affirme qu’il existe un point fixe. Donc, il existe v

dans S tel que f (v

) = v

ie v

= |M v

|v

. Le vecteur non nul v

est un vecteur propre associ´ e ` a la valeur propre |M v

| > 0.

On connaˆıt de nombreuses et importantes applications au th´ eor` eme de Perron-Frobenius notamment en probabilit´ e (Chaˆınes de Markov et recherche d’´ etat stable par exemple) ainsi qu’en th´ eorie des graphes. Une belle et r´ ecente illustration dans la vie courante est le fameux algorithme PageRank avec lequel Google classe les pages web.

15

16 CHAPITRE 2. APPLICATIONS DU TH ´ EOR ` EME DU POINT FIXE DE BROUWER

2.2 Existence d’´ equilibres de Nash dans un jeu fini ` a N joueurs

D´ efinition 6. Formellement un jeu sous forme normale est mod´ elis´ e par Γ = (N, (A

)

, (g

)

)

-N l’ensemble des joueurs que l’on suppose fini.

-N ensembles non vides A

. A

´ etant l’ensemble d’actions du joueur i

-N fonctions continues g

o` u la fonction g

est la fonction de paiement du joueur i.

Proposition. x est un ´ equilibre de Nash en strat´ egies mixtes si et seulement si

∀i ∈ N, ∀a

∈ A

tel que x

(a

) > 0 g

(a

, x

) = max

g

(b

, x

).

Un jeu est donc un cadre formel o` u plusieurs agents d´ ecident d’une strat´ egie, leur uti- lit´ e d´ epend des choix de tous. Avant Nash, la d´ etermination de situation stable n’avait pas de m´ ethode formelle, mˆ eme si l’existence d’´ equilibres pour les jeux ` a somme nulle et ` a deux joueurs

´

etait connue depuis 1926, via le th´ eor` eme du minimax de von Neumann. Les consid´ erables possi- bilit´ es qu’il a ouvertes lui ont m´ erit´ e le Prix Nobel d’´ economie en 1994, qu’il a re¸cu conjointement

`

a Reinhard Selten et John Harsanyi.

Th´ eor` eme 6. Tout jeu fini ` a N joueurs sous forme extensive poss` ede au moins un ´ equilibre de Nash.

D´ emonstration. Pour tout i, on d´ efinit

f

: X → X

f

(x)(a

) =

bi∈Ai[gⁱ(bⁱ,x⁻ⁱ)−gⁱ(x)]⁺

On note [r]

= max(r, 0)

Et soit f : X → X donn´ ee par f (x) = (f

(x), ..., f

(x))

Les fonctions de paiement g

sont continues car lin´ eaires. Le maximum de deux fonctions continues est continu. Le d´ enominateur est strictement positif puisque toujours sup´ erieur ` a 1.

Finalement f

est continue pour tout i, donc f l’est aussi. De plus, elle est bien ` a valeurs dans X. En effet,

P

aⁱ∈Aⁱ

f

(x)(a

) =

P

ai∈Aixⁱ(aⁱ)+[gⁱ(aⁱ,x⁻ⁱ)−gⁱ(x)]⁺ 1+P

bi∈Ai[gⁱ(bⁱ,x⁻ⁱ)−gⁱ(x)]⁺

=

P

ai∈Ai[gⁱ(aⁱ,x⁻ⁱ)−gⁱ(x)]⁺ 1+P

bi∈Ai[gⁱ(bⁱ,x⁻ⁱ)−gⁱ(x)]⁺

= 1

Si x est un ´ equilibre de Nash du jeu, alors f(x) = x. En effet, si x est un ´ equilibre de Nash alors [g

(b

, x

) − g

(x)]

= 0 car il n’y a pas de d´ eviation profitable : g

(x) ≥ g

(a

, x

).

R´ eciproquement, si x est un point fixe alors x est un ´ equilibre de Nash du jeu.

En effet, par lin´ earit´ e g

(x) = P

a

x

(a, x

)g

(a, x

). Alors, il y a forcement un a tel que x

(a, x

) > 0 et g

(a, x

) ≥ g

(x).

Sinon,

∀a, x

(a, x

) = 0 ou g

(a, x

) < g

(x)

⇒ P

a

x

(a, x

)g

(a, x

) < P

a

x

(a, x

)g

(x) = g

(x) car P

a

x

(a, x

) = 1

2.2. EXISTENCE D’ ´ EQUILIBRES DE NASH DANS UN JEU FINI ` A N JOUEURS 17 C’est ` a dire g

(x) < g

(x), ce qui est absurde.

Ensuite, puisque x est point fixe, en ´ egalisant f

(x)(a

) = x

(a

), pour le a d´ ecrit pr´ ec´ edemment on obtient :

x

(a

) P

bⁱ∈Aⁱ

[g

(b

, x

) − g

(x)]

= [g

(a

, x

) − g

(x)]

= 0 Chaque crochet est positif et la somme est nulle donc chaque crochet est nul.

g

(b

, x

) − g

(x) ≤ 0 ∀b

∈ A

∀i ∈ N

Ce qui se traduit par : le joueur i n’a pas de deviations profitables, donc x est un ´ equilibre de Nash.

L’application du th´ eor` eme de Brouwer ` a la fonction f suffit pour conclure sur l’existence d’un tel x.

John Forbes Nash (1928-2015)

Bibliographie

[1] David Gale. The game of hex and the brouwer fixed-point theorem. The American Mathe- matical Monthlu, 86 :818–827, dec 1979.

[2] Thomas Maarup. Everything you wanted to know about hex but were afraid to ask. Uni- versity of Southern Denmark, 86 :9–19, dec 2005.

[3] Martin Aigner-Gunter M.Ziegler. Raisonnements divins. Springer, 2006.

[4] G. Vigeral. Cours de th´ eorie des jeux. L3 Mido, 2012.

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