Une application directe du th´eor`eme de Brouwer
H´edi Joulak, universit´e de Lille 5 novembre 2001
Mots-cl´es: point fixe, compacit´e.
Proposition 1.
Soit M 7→ −→
V (M) un champ de vecteurs continu born´e de Rn. Alors l’´equation enM :
−−→OM
2−−→
OM = −→ V (M) a une solution au moins.
Preuve. NotonsK = supM
−
→V (M)
. Si ε est un r´eel > 0, on d´efinit l’application continue ϕε : Rn → Rn par ϕε(u) =
−
→V (u)
ε+kuk2. On a alors kϕεk ≤ Kε et la bouleB 0,Kε
est stable par ϕε. Grˆace au th´eor`eme de Brouwer, on peut donc construire une famille(uε)de points fixes desϕε. De la relationuε =
−
→V (uε)
ε+kuεk2, on tirekuεk ≤ ε+kuK
εk2. Siuε 6= 0, on en d´eduit quekuεk ≤ K
kuεk2 puis quekuεk ≤ K13. Ainsi la famille(uε)est born´ee.
On peut donc construire une suite(εn)tendant vers 0 telle que la suite(uεn) converge vers un ´el´ementu ∈ Rn. En faisantn →+∞dans l’´egalit´e :
uεn =
−
→V (uεn)
εn +kuεnk2 la preuve est termin´ee.
Exemple d’application.
Il y au moins une solution au syst`eme :
x(x2 +y2 +z2) = cos(xy)1+z2
y(x2+y2 +z2) = exp(−x1+x2−y22−z2) z(x2 +y2 +z2) = arctan(x+y+2z)
1+y4
1
