pour la physique des milieux continus
par Emmanuel Plaut `
a Mines Nancy
Version du 18 juin 2021
Table des mati`
eres
Introduction 5
1 Alg`ebre tensorielle 9
1.1 Espace - Vecteurs - Bases et rep`eres . . . 9
1.1.1 Remarque sur la notation « vecteur » : fl`eche vs barre . . . 10
1.1.2 Convention de sommation sur les indices r´ep´et´es . . . 10
Ex. 1.1 : Sur la convention de sommation sur les indices r´ep´et´es . . . 10
1.1.3 Produit scalaire - Premi`ere rencontre avec le point de contraction. . . 11
1.1.4 Formule de changement de base - Notion de repr´esentation . . . 11
Ex. 1.2 : V´erification de la coh´erence de la d´efinition du produit scalaire . . . 13
1.1.5 Sur le caract`ere « direct » des bases i.e. la notion d’orientation . . . 13
1.1.6 Tenseurs d’ordre 0 et 1. . . 13
1.2 D´efinition des tenseurs comme applications lin´eaires . . . 13
1.3 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lin´eaires. . . 14
1.3.1 Repr´esentation par une matrice . . . 14
1.3.2 Formule de changement de base. . . 14
1.3.3 Produit tensoriel de 2 vecteurs . . . 15
1.3.4 Application : ´ecriture intrins`eque d’un tenseur d’ordre 2 . . . 15
Ex. 1.3 : De l’int´erˆet de la notation produit tensoriel . . . 15
1.3.5 Tenseur identit´e . . . 16
1.4 Les tenseurs d’ordre 2 comme applications bilin´eaires. . . 16
1.4.1 D´efinition et exemple . . . 16
1.4.2 Applications : d´efinition de la transposition, tenseurs (anti)sym´etriques . . . 17
Ex. 1.4 : Transposition d’un produit tensoriel . . . 17
1.5 Les tenseurs comme applications multilin´eaires . . . 18
1.5.1 D´efinition des tenseurs comme applications multilin´eaires . . . 18
Ex. 1.5 : Application de la d´efinition multilin´eaire r´ecurrente au cas n = 2 . . . 18
1.5.2 D´efinition g´en´erale du produit tensoriel . . . 18
Ex. 1.6 : Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilin´eaire . . . 20
1.5.4 D´efinition g´en´erale du produit contract´e . . . 20
Ex. 1.7 : Produit contract´e de deux vecteurs. . . 21
Ex. 1.8 : Produit contract´e d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur. . . 21
Ex. 1.9 : Produit contract´e de deux tenseurs d’ordre 2 . . . 22
Ex. 1.10 : Associativit´e du produit de contraction dans un cas g´en´eral . . . 22
1.5.5 D´efinition g´en´erale du produit doublement contract´e . . . 22
1.6 Tenseur altern´e fondamental et applications . . . 24
1.6.1 D´efinition du tenseur altern´e fondamental . . . 24
Ex. 1.11 : Utilisation du tenseur altern´e fondamental pour calcul d’un d´eterminant . . . 25
1.6.2 Produits mixte et vectoriel . . . 26
1.6.3 Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 - Tenseurs antisym´etriques . . . 27
Ex. 1.12 : Formules portant sur le tenseur altern´e fondamental et le vecteur dual . . . 27
Ex. 1.13 : Formule du double produit vectoriel . . . 27
Ex. 1.14 : Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 sym´etrique . . . 27
Ex. 1.15 : Tenseur antisym´etrique en fonction de son vecteur dual. . . 28
1.7 Exemples en m´ecanique des milieux continus . . . 28
1.8 Notes personnelles . . . 28
2 Analyse tensorielle 31 2.1 Gradient d’un champ de tenseur . . . 32
2.1.1 D´efinition intrins`eque en tant que diff´erentielle . . . 32
2.1.2 Calculs en coordonn´ees cart´esiennes . . . 32
2.2 Cas du gradient d’un champ de vecteur . . . 34
2.2.1 D´ecomposition en parties sym´etrique et antisym´etrique . . . 34
2.2.2 Signification de la partie sym´etrique . . . 34
2.2.3 Signification de la partie antisym´etrique - rotationnel. . . 34
2.3 Divergence d’un champ de tenseur . . . 36
2.3.1 D´efinition intrins`eque `a partir du gradient . . . 36
2.3.2 Calculs en coordonn´ees cart´esiennes . . . 36
2.4 Int´egration des champs de tenseurs . . . 37
2.4.1 D´efinitions . . . 37
2.4.2 Formule int´egrale du rotationnel . . . 38
2.4.3 Formule int´egrale de la divergence . . . 39
Ex. 2.1 : D´emonstration de la formule de la divergence dans le cas g´en´eral . . . 40
2.4.4 Application : signification physique de l’op´erateur divergence . . . 40
2.5 Laplacien d’un champ de tenseur . . . 43
2.5.1 D´efinition intrins`eque `a partir du second gradient. . . 43
2.5.2 Calculs en coordonn´ees cart´esiennes . . . 43
2.6 Exercices visant `a ´etablir un formulaire . . . 44
Ex. 2.2 : Divergence et rotationnel d’un produit scalaire-vecteur. . . 44
Ex. 2.3 : Compositions d’op´erateurs diff´erentiels nulles . . . 44
Ex. 2.6 : Divergence d’un produit tensoriel. . . 44
Ex. 2.7 : Divergence de divers produits . . . 45
Ex. 2.8 : Formule du double rotationnel et application . . . 45
Ex. 2.9 : Formules de Navier en ´elasticit´e . . . 46
Ex. 2.10 : R´e´ecritures du terme non lin´eaire de l’´equation de Navier-Stokes . . . 46
Ex. 2.11 : D´eriv´ee particulaire de la densit´e d’´energie cin´etique . . . 46
2.7 Calculs en coordonn´ees cylindriques . . . 47
2.7.1 Syst`emes `a sym´etrie cylindrique - Principe de Curie . . . 47
2.7.2 D´efinition des coordonn´ees cylindriques . . . 47
2.7.3 Expressions du gradient . . . 48
2.7.4 Expression du rotationnel . . . 49
2.7.5 Expressions de la divergence . . . 50
2.7.6 Expressions du laplacien . . . 51
Ex. 2.12 : Sur le calcul du laplacien d’un champ vectoriel en cylindriques. . . 51
Pb. 2.1 : Aspects math´ematiques de l’´etude d’un tuyau sous pression . . . 52
Pb. 2.2 : Aspects math´ematiques de l’´etude d’un rh´eom`etre de Couette cylindrique . . . 53
2.8 Calculs en coordonn´ees sph´eriques . . . 54
2.8.1 D´efinition des coordonn´ees sph´eriques . . . 54
2.8.2 Expressions du gradient . . . 56
2.8.3 Expression du rotationnel . . . 56
2.8.4 Expressions de la divergence . . . 56
2.8.5 Expressions du laplacien . . . 57
2.9 Notes personnelles . . . 57
3 Compl´ements : potentiels et rotationnels 59 3.1 Existence de potentiel scalaire : th´eor`eme de Cauchy . . . 59
3.2 Existence de potentiels vecteurs pour des champs « irrotationnels » . . . 60
3.2.1 Rotationnel d’un champ de tenseurs d’ordre 2 . . . 60
3.2.2 Premier th´eor`eme de Cauchy g´en´eralis´e . . . 61
3.2.3 Lemmes . . . 61
3.2.4 Deuxi`eme th´eor`eme de Cauchy g´en´eralis´e . . . 62
3.3 Existence de potentiel vecteur pour un champ `a divergence nulle . . . 63
Bibliographie 65 A Normes - Notations de Landau pour la comparaison asymptotique 67 A.1 Sur l’exercice 1.11 : normes & notation de domination O . . . 67
A.2 Sur le gradient : normes & notation de n´egligeabilit´e o . . . 68
B ´El´ements de correction des exercices et probl`emes 69
B.1 Corrig´es du chapitre 1 - Alg`ebre tensorielle . . . 69
Ex. : Sur la convention de sommation sur les indices r´ep´et´es . . . 69
Ex. : V´erification de la coh´erence de la d´efinition du produit scalaire . . . 69
Ex. : De l’int´erˆet de la notation produit tensoriel . . . 70
Ex. : Transposition d’un produit tensoriel . . . 70
Ex. : Application de la d´efinition multilin´eaire r´ecurrente au cas n = 2 . . . 70
Ex. : Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilin´eaire . . . 71
Ex. : Produit contract´e de deux vecteurs . . . 71
Ex. : Produit contract´e d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur. . . 71
Ex. : Produit contract´e de deux tenseurs d’ordre 2 . . . 71
Ex. : Associativit´e du produit de contraction dans un cas g´en´eral . . . 71
Ex. : Utilisation du tenseur altern´e fondamental pour calcul d’un d´eterminant . . . 72
Ex. : Formules portant sur le tenseur altern´e fondamental et le vecteur dual . . . 72
Ex. : Formule du double produit vectoriel . . . 72
Ex. : Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 sym´etrique . . . 73
Ex. : Tenseur antisym´etrique en fonction de son vecteur dual . . . 73
B.2 Corrig´es du chapitre 2 - Analyse tensorielle . . . 73
Ex. : D´emonstration de la formule de la divergence dans le cas g´en´eral . . . 73
Ex. : Divergence et rotationnel d’un produit scalaire-vecteur . . . 74
Ex. : Compositions d’op´erateurs diff´erentiels nulles . . . 74
Ex. : Divergence d’un gradient transpos´e. . . 75
Ex. : Divergence et rotationnel d’un produit vectoriel. . . 75
Ex. : Divergence d’un produit tensoriel. . . 75
Ex. : Divergence de divers produits . . . 75
Ex. : Formule du double rotationnel et application . . . 75
Ex. : Formules de Navier en ´elasticit´e. . . 76
Ex. : R´e´ecritures du terme non lin´eaire de l’´equation de Navier-Stokes . . . 76
Ex. : D´eriv´ee particulaire de la densit´e d’´energie cin´etique . . . 76
Ex. : Sur le calcul du laplacien d’un champ vectoriel en cylindriques . . . 76
Pb. : Aspects math´ematiques de l’´etude d’un tuyau sous pression . . . 76
La physique des milieux continus est une branche de la physique, qui s’est d´evelopp´ee au XIX`eme si`ecle puis a connu des sommets au XX`eme si`ecle, dans laquelle la mati`ere est consid´er´ee
`
a des ´echelles suffisamment grandes pour que sa nature discr`ete, en tant que somme d’´electrons, de protons et neutrons en interactions dans le vide, n’apparaisse pas. Au contraire, la mati`ere est consid´er´ee comme la r´eunion de milieux continus fluides ou solides, s´epar´es par des interfaces. De mˆeme, le rayonnement est consid´er´e comme consistant en des vibrations continues des champs ´electrique et magn´etique1, et non comme des photons discrets. Les effets quantiques sont donc
« oubli´es » : la physique des milieux continus rel`eve de la physique classique. Les grands domaines de la physique des milieux continus sont2
1. la thermom´ecanique; 2. l’´electromagn´etisme; 3. la relativit´e.
De ces domaines seuls les deux premiers rel`event des sciences de l’ing´enieur3, et seul le tout premier
est enseign´e `a Mines Nancy en 1`ereann´ee, dans les modules M´ecanique des milieux continus solides
et fluides puis Transformation de la mati`ere et de l’´energie. Tous ces domaines se sont d´evelopp´es grˆace au bon sens physique de certains de nos ancˆetres, et aussi grˆace `a la mise au point par ces mˆemes ancˆetres4 d’outils math´ematiques que l’on pourrait d´esigner comme l’« alg`ebre
vectorielle g´en´eralis´ee5 » et l’« analyse ou calcul diff´erentiel vectoriel g´en´eralis´e6 », mais que l’on appelle plutˆot « calcul tensoriel (et) diff´erentiel » ou plus simplement « calcul tensoriel », sous-entendant l’adjectif « diff´erentiel »...
1. Le lieu de ces vibrations ou « ondes » est soit le vide, que l’on peut consid´erer comme le « milieu continu » le plus simple possible, soit la mati`ere...
2. Les fronti`eres entre ces domaines sont poreuses. Par exemple la mod´elisation compl`ete des effets piezo´electriques ou thermo´electriques est `a l’interface entre les domaines 1 et 2. De mˆeme en relativit´e (domaine 3) on peut se poser la question des lois de transformation des champs ´electromagn´etiques (domaine 2) par changement entre deux r´ef´erentiels en translation tr`es rapide...
3. Quoiqu’en spatial des effets relativistes soient `a prendre en compte...
4. Par exemple, Cauchy, professeur d’analyse (donc de math´ematiques) `a l’´ecole polytechnique au d´ebut du XIX`eme si`
ecle... et inventeur du « tenseur des contraintes de Cauchy », objet incontournable de la m´ecanique des milieux continus...
5. Le mot « alg`ebre » vient de l’arabe « al-jabr » signifiant « reconstruction » ou « connexion ». L’alg`ebre ´etudie les « relations » (« connexions ») entre nombres, vecteurs, matrices, etc..., via diff´erentes « op´erations », somme, produits, etc...
6. Le mot « analyse » vient du grec « analuein » signifiant « d´elier ». L’analyse « d´ecompose » et « recompose » grˆace au calcul diff´erentiel et int´egral ou « calcul infinit´esimal ». Ainsi la variation de temp´erature entre les deux extr´emit´es d’un segment est « analys´ee » comme T (b) − T (a) = Rb
adT =
Rb aT
0
(x) dx... La mˆeme « analyse » doit pouvoir ˆetre faite pour un champ de vecteurs, par exemple le champ ´electrique, ce qui introduit la question de la « d´eriv´ee » d’un champ de vecteurs, etc...
En puriste, on distinguerait
• le calcul tensoriel (forc´ement alg´ebrique mais non diff´erentiel), dans lequel les tenseurs sont des objets alg´ebriques, cf. le chapitre1
• du calcul tensoriel (toujours alg´ebrique) diff´erentiel, cf. les chapitres 2 et 3, dans le-quel ces objets se mettre `a d´ependre de la position dans l’espace physique - ce sont des « champs » - et cette d´ependance est « analys´ee »...
Dans les deux cas, des liens forts avec la g´eom´etrie existent : cf. par exemple toutes les applica-tions g´eom´etriques de la section 1.6, ou encore l’´etude du gradient d’un champ de vecteur de la section 2.2. Ainsi, la m´ecanique des milieux d´eformables dans notre espace tridimensionnel, domaine d’application qui nous motive le plus, ne peut se passer de calcul tensoriel...
Historiquement, pour construire tout l’´edifice du calcul tensoriel, il y a eu quelques ´etapes. L’une des plus importantes correspond `a l’article remarquable de Ricci & Levi-Civita (1900). On re-commande aux lecteurs les plus int´eress´es de parcourir cet article, ´ecrit en bon fran¸cais par des italiens dans une revue allemande... Dans son titre, M´ethodes de calcul diff´erentiel absolu et leurs applications, on dirait plutˆot maintenant « intrins`eque » qu’« absolu » ; nous verrons bien vite, d`es la section1.1.4, revenir cet important mot cl´e...
Depuis quelques d´ecennies, le fait que la physique ait besoin, pour se d´evelopper, d’outils math´ematiques, a parfois ´et´e minimis´e, voire ni´e, par une certaine partie, assez « visible », de la communaut´e physicienne fran¸caise. Cette attitude est une r´eaction, initialement saine, aux exc`es de math´ematisation dans l’enseignement des sciences, par exemple celui de la m´ecanique, dans les ann´ees 1960-1970 et plus tard. Il nous semble cependant que cette r´eaction a souvent ´et´e trop loin, pour mener dans des cas extrˆemes `a des affirmations d´eraisonnables comme « on peut tout faire avec la r`egle de trois »... Math´ematiser et formaliser `a outrance sont sans doute, pour la physique, aussi nuisibles que de cacher tous les calculs sous des raisonnements soi-disant « intuitifs », mais en fait impossible `a d´evelopper sans connaˆıtre les fameux calculs « cach´es ». Un certain ´equilibre doit ˆetre trouv´e entre math´ematiques et physique, la deuxi`eme n’existant pas sans les premiers, puisque mod´eliser c’est d´ecrire des ph´enom`enes en langue math´ematique, comme l’ont dit deux grands physiciens :
« La philosophie est ´ecrite dans ce vaste livre qui constamment se tient ouvert devant nos yeux (je veux dire l’Univers), et on ne peut le comprendre si d’abord on n’apprend pas `a connaˆıtre
la langue et les caract`eres dans lesquels il est ´ecrit. Or il est ´ecrit en langue math´ematique, (...)
sans laquelle il est humainement impossible d’en comprendre un seul mot, sans laquelle on erre vraiment dans un labyrinthe obscur. »
Galil´ee
‘Our experience hitherto justifies us in believing that nature is the realization of the simplest conceivable mathematical ideas.
I am convinced that we can discover by means of purely mathematical constructions the concepts and the laws connecting them with each other,
which furnish the key to the understanding of natural phenomena... Experience may suggest the appropriate mathematical concepts,
But the creative principle resides in mathematics. In a certain sense, therefore, I hold it true that pure thought can grasp reality, as the ancients dreamed.’
Einstein7
Notre objet est donc une introduction au calcul tensoriel, dans une optique ´evidemment « cal-culatoire », et avec une approche de « m´ecanicien th´eoricien » assum´ee, mˆeme si elle est impos´ee par le cours volume horaire allou´e. L’´el`eve int´eress´e par le calcul diff´erentiel et int´egral math´ematiquement rigoureux pourra compl´eter les bases vues en classes pr´eparatoires en consul-tant Chatterji (1997)8. Tous liront, au moment o`u ils rencontreront ces symboles, au niveau de l’exercice 1.11 pour O, de la section 2.1 pour o, les annexes A.1 et A.2. Elles visent `a d´efinir ces notations ainsi que le concept de norme dans notre contexte...
Par souci de simplicit´e, on se focalise sur les tenseurs euclidiens. L’existence du produit sca-laire permet d’identifier l’espace vectoriel de travail R3 (ou R2) `a son dual. On commence dans les chapitres 1 et 2 par les tenseurs repr´esent´es sur des bases orthonorm´ees (directes) et en coordonn´ees cart´esiennes9. Cependant, on introduit les champs de tenseurs repr´esent´es en co-ordonn´ees curvilignes `a la fin du chapitre2. Le chapitre3donne des ´el´ements sur les probl`emes de « potentiel ». Par r´ealisme, on le d´eclare « hors programme » ; cependant les ´el`eves les plus int´eress´es voudront bien le lire... et ceux qui poursuivront plus tard en m´ecanique verront bien son importance...
La th´eorie g´en´erale des tenseurs en base quelconque et en distinguant l’espace de son dual10 est introduite par exemple dans les annexes I de Salen¸con(1996) ou A de Forest & Amestoy(2017), et pr´esent´ee de fa¸con plus exhaustive dansPern`es(2003). Une pr´esentation plus math´ematique de cette th´eorie, qui n’oublie pas cependant ses applications, est donn´ee dans Lichnerowicz (1946); Appel(2005);Garrigues(2007). Deux autres r´ef´erences int´eressantes, mais moins exhaustives, sont les ouvrages de Germain (1986) et Coirier (2001). Enfin, une r´ef´erence anglo-saxonne pertinente est le trait´e deAris(1962).
L’essentiel de votre apprentissage du calcul tensoriel se fera par du travail personnel et lors de 2 s´eances de cours-TD en d´ebut d’ann´ee. Vous le compl`eterez, au fil des s´eances du module de m´ecanique des milieux continus, en utilisant le calcul tensoriel `a de nombreuses occasions. D`es la r´eception de ce polycopi´e, un travail personnel est indispensable, selon ce qui est indiqu´e sur la page web dynamique du module sus-nomm´e
http://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mmc.
Je vous invite `a visiter cette page r´eguli`erement. Elle contient une version PDF de ce document, dans laquelle figure, en plus de l’annexeA cit´ee plus haut, l’annexe Bcontenant des ´el´ements de correction des exercices et probl`emes.
7. Sur cette citation, voir aussi la figure « culturelle »2.7page45, et sa l´egende.
8. En notant queChatterji(1997) emploie le terme « d´eriv´ee » au lieu de « diff´erentielle ». 9. Dans ce cas on parle de « tenseurs cart´esiens ».
Je remercie les coll`egues qui ont permis l’introduction de ce cours `a Mines Nancy, notamment Michel Jauzein, puis, son maintien, notamment Judith Sausse, Philippe Sessiecq, Bart Lamiroy et Yves Meshaka. Je remercie aussi les coll`egues qui m’ont inspir´e ou corrig´e, plus particuli`ere-ment Didier Bernardin, chercheur au laboratoire ´Energies & M´ecanique Th´eorique et Appliqu´ee (Lemta11), Rainier Hreiz et Arthur Pascot. Je remercie enfin Rachid Rahouadj pour le dessin de la figure 1.3.
Nancy, le 18 juin 2021. Emmanuel Plaut, chercheur en m´ecanique des fluides au Lemta, professeur `a l’Universit´e de Lorraine.
Alg`
ebre tensorielle
L’introduction aux tenseurs en tant qu’objets alg´ebriques est faite progressivement, en profi-tant du fait que l’alg`ebre tensorielle est en premier lieu une reformulation de notions bien connues comme celles de vecteur1, d’application lin´eaire ou multi-lin´eaire2.
1.1
Espace - Vecteurs - Bases et rep`
eres
L’espace physique dans lequel ´evoluent les objets que le th´eoricien des milieux continus consid`ere est l’espace affine euclidien orient´e3R3. Dans cet espace, l’observateur r´eput´e « immobile » qui mesure les mouvements est appel´e « r´ef´erentiel » et not´eR - une d´efinition pr´ecise de la notion de r´ef´erentiel est donn´ee dans l’annexe A du cours de m´ecanique Plaut (2021). Cet observateur-r´ef´erentiel utilise en g´en´eral un rep`ere orthonorm´e direct R pour rep`erer les positions d’objets mat´eriels. Ce rep`ere orthonorm´e, dit aussi « rep`ere cart´esien », est d´efini par la donn´ee d’un point origine O immobile (pour R) et de vecteurs fixes (toujours pour R) e1, e2, e3 formant
une base orthonorm´ee directe que l’on note {ei}. Un vecteur quelconque x est rep´er´e par ses
composantes x1, x2, x3 de sorte que
x =
3
X
i=1
xiei . (1.1)
Un point quelconque M est rep´er´e de la mˆeme mani`ere par ses coordonn´ees cart´esiennes qui sont les composantes x1, x2, x3 du vecteur position OM, telles que
OM =
3
X
i=1
xiei . (1.2)
On note parfois le rep`ere sous la forme R = Ox1x2x3.
1. D’ailleurs sur le plan ´etymologique le terme « tenseur » vient du latin « tensum » qui veut dire « tendu », ce qui pourrait d´esigner un bipoint
−−→
AB c’est-`a-dire l’arch´etype d’un vecteur.
2. En deux mots un tenseur peut ˆetre vu soit comme l’une, soit comme l’autre, ces deux points de vue diff´erents ayant chacun leur propre int´erˆet. Attention aux faits que la « reformulation » dont il s’agit n’est pas compl`etement triviale (ne sous-estimez pas la complexit´e de l’alg`ebre tensorielle, il vous faudra fournir un effort pour la maˆıtriser), et que l’analyse tensorielle va largement au del`a d’une simple reformulation de l’analyse vectorielle.
1.1.1 Remarque sur la notation « vecteur » : fl`eche vs barre
Vous aurez not´e que la traditionnelle fl`eche utilis´ee en classes pr´eparatoires pour d´esigner un vecteur est devenue une simple barre dans ce document,
−−−→
OM OM . (1.3)
L’objectif de ce changement de notation est essentiellement de r´eduire l’encombrement4. En ´ecri-ture manuscrite on reviendra en g´en´eral aux notations avec fl`eche, faisant le chemin inverse de celui pr´esent´e formule (1.3).
1.1.2 Convention de sommation sur les indices r´ep´et´es
Une ´ecriture telle que (1.2) est tr`es lourde. Nous savons bien que l’espace physique est de dimension 3, donc qu’un indice de coordonn´ees varie de 1 `a 3. Pour all´eger les notations nous adoptons dor´enavant la convention de sommation sur les indices r´ep´et´es dite d’Einstein, qui stipule qu’une formule ´ecrite avec des indices r´ep´et´es implique une somme sur ces indices,
3
X
i=1
xiei xiei . (1.4)
On dit qu’un indice r´ep´et´e est un « indice muet » : de fait on peut lui dire de changer de nom sans dommage (comme il est muet il ne pourra pas protester !), par exemple on peut d´ecr´eter que l’indice i dans (1.4) s’appelle en fait k,
xiei = xkek . (1.5)
Pour ´eviter toute ambiguit´e fˆacheuse, il est interdit d’employer plus de deux fois le mˆeme indice dans le mˆeme produit. Ainsi dans un produit de facteurs, soit un indice apparait deux fois, auquel cas il est muet et cache une sommation sur 3 valeurs5, soit il apparait une seule fois, auquel cas on parle d’« indice explicite ». De fa¸con exceptionnelle on peut avoir besoin d’´ecrire une formule avec deux fois le mˆeme indice sans qu’il y ait sommation sur celui-ci ; alors on le souligne une fois sur deux.
Exercice 1.1. Sur la convention de sommation sur les indices r´ep´et´es 1 R´ecrivez l’expression E = 3 X i=1 ai 3 X k=1 bikckj
en utilisant la convention de sommation d’Einstein. De quel(s) indice(s) d´epend E ?
2 D´esignez dans la formule (1.16) le ou les indices muet(s) et explicite(s). R´ecrivez cette suite d’´egalit´es sans la convention de sommation d’Einstein, i.e. en explicitant les sommes cach´ees.
4. Dans certains ouvrages une autre convention est adopt´ee,
−−−→
OM OM.
5. Il peut arriver que l’on ´etudie des probl`emes plans pour lesquels l’espace de travail peut ˆetre consid´er´e de dimension 2 : dans la troisi`eme direction on a invariance donc celle-ci « ne joue aucun rˆole ». Dans ce cas un indice r´ep´et´e cache une sommation sur 2 valeurs seulement, correspondant aux 2 directions dans le plan de travail. De mani`ere g´en´erale dans la quasi totalit´e de ce document (`a l’exclusion de la section1.6) on peut remplacer R3 par R2 sans dommage, `a condition bien sˆur d’adapter comme on vient de l’expliquer la convention de sommation sur les indices r´ep´et´es.
Pour le physicien, capable de mesurer des longueurs et des angles, l’existence d’un produit scalaire euclidien universel ne fait pas de doute ; il pourrait le d´efinir par la formule
x· y = ||x|| ||y|| cos( cx,y) . (1.6)
Le math´ematicien pose plutˆot, dans sa base orthonorm´ee {ei}, que
x· y = xiyi . (1.7)
Le point dans cette formule est le « point de contraction », qui constitue une op´eration de calcul tensoriel que l’on va g´en´eraliser. Par d´efinition mˆeme du caract`ere orthonorm´e de la base de travail, on a
∀i,j, ei· ej = δij =
(
1 si i = j
0 sinon . (1.8)
Les δij sont les « symboles δ de Kronecker »6.
1.1.4 Formule de changement de base - Notion de repr´esentation
Le choix de la base orthonorm´ee {ei} pos´e au tout d´ebut comprend une part d’arbitraire.
D’un point de vue scientifique, il est donc important de savoir r´econcilier les observations faites dans cette base avec celles que l’on pourrait faire dans une autre base orthonorm´ee {e0i} (tout en restant dans le mˆeme r´ef´erentiel). Remarquant que, du fait de la propri´et´e (1.8), on peut obtenir les composantes d’un vecteur x dans ces deux bases par produit scalaire avec les vecteurs de base,
xi = ei· x et x0i = e0i· x , (1.9)
on obtient
xi = ei· (x0je0j) = ei· e0jx0j ⇐⇒ [x] = [P ]· [x0] (1.10)
o`u [x] d´esigne le vecteur colonne des composantes de x dans la base {ei}, [x0] le vecteur colonne
des composantes de x dans la base{e0
i}, [P ] la matrice de passage de composantes
[P ]ij = Pij = ei· e0j . (1.11)
Le point de contraction dans (1.10) d´esigne le produit matrice-vecteur classique, i.e.
xi = Pijx0j . (1.12)
On a
e0j = Pijei , (1.13)
i.e. la matrice [P ] est constitu´ee de colonnes qui sont les composantes des vecteurs e0j dans la base {ei}. Pour cette raison on dit aussi que c’est la « matrice de pr´esentation » des vecteurs e0j dans
la base des ei. Cette matrice [P ] est orthogonale, i.e. sa matrice transpos´ee d´efinie par
[PT]ij = Pji (1.14)
est son inverse :
[PT] = [P ]−1 ⇐⇒ [PT]· [P ] = [P ] · [PT] = [I] matrice identit´e. (1.15) Ceci se v´erifie en partant par exemple de la propri´et´e d’orthonormalit´e de la base des e0j,
δij = e0i· e0j = e0i· (Pkjek) = (ek· e0i)Pkj = PkiPkj = [PT]ikPkj . (1.16)
Ainsi [PT]· [P ] = [I] ; d’apr`es la th´eorie des matrices, on a en cons´equence [P ] · [PT] = [I] i.e.
δij = PikPjk . (1.17)
De fa¸con g´eom´etrique il importe d’anticiper sur la section suivante en remarquant que l’application lin´eaire L qui envoie e1, e2, e3 sur e01, e02, e03 envoie donc
x = xjej sur y = L(x) = xjL(ej) = xje0j = Pijxjei . (1.18)
La matrice repr´esentative de cette application sur la base{e1, e2, e3} est donc la matrice de passage
[P ] elle-mˆeme7. Ainsi le fait que [P ] soit orthogonale provient du fait que la transformation L
est orthogonale.
Premi`ere remarque importante : sur une question de convention
De nombreux auteurs introduisent, plutˆot que la matrice de passage [P ], une matrice de changement de base
[Q] = [PT] . (1.19)
Avec cette d´efinition on remplace par exemple la formule (1.13) par
e0j = Qjiei , (1.20)
ce qui pr´esente l’avantage de respecter un ordre des indices tr`es souvent rencontr´e en calcul tenso-riel : indice(s) explicite(s) `a gauche, muets `a droite. En revanche on perd l’interpr´etation g´eom´e-trique simple que l’on vient de mentionner.
Deuxi`eme remarque importante : sur l’ˆetre (intrins`eque) et le paraˆıtre
Il faut insister sur le fait que l’objet essentiel ou intrins`eque est le vecteur lui-mˆeme, par exemple un bipoint x = OM ou AB, et qu’il n’est que « repr´esent´e » par le vecteur colonne de ses composantes
[x] = Vect(x, {ei}) (1.21)
qui d´epend du choix de la base8 en vertu de (1.10). Il convient alors de s’assurer que des objets comme
x· y = [x] · [y]
sont bien « intrins`eques », c’est-`a-dire ne d´ependent pas du choix de la base.
7. En effet, toujours en anticipant sur la section1.2, on a bien [y] = VectL(x), {ei}
= [P ] · [x] = [Pijxj] .
En utilisant la convention de sommation sur les indices r´ep´et´es et la formule de changement de base (1.12), v´erifiez que la d´efinition (1.7) du produit scalaire conduit `a un objet intrins`eque, i.e. que
xiyi = x0iyi0 (1.22)
quand on change de base.
1.1.5 Sur le caract`ere « direct » des bases i.e. la notion d’orientation
Une notion importante, qu’il faut poser d`es maintenant, est celle de l’« orientation directe » des bases. En physicien on suppose cette notion effectivement universelle et d´efinie par la « r`egle de la main droite » : une base {ei} orthonorm´ee est dite directe si, lorsque j’oriente mon
pouce droit dans la direction de e1, mon index droit dans la direction de e2, alors mon majeur
droit peut ˆetre naturellement orient´e (sans que j’ai besoin de le tordre !) dans la direction de e3. On constate alors que n’importe quelle rotation d’une base orthonorm´ee directe d´efinit une
nouvelle base orthonorm´ee directe, ce que le math´ematicien formalise en remarquant que deux bases orthonorm´ees directes doivent se d´eduire l’une de l’autre par une transformation orthogonale directe. Nous reviendrons sur ce point section 1.6.
1.1.6 Tenseurs d’ordre 0 et 1
Du fait de son caract`ere intrins`eque prouv´e par (1.22), le nombre x· y est un r´eel qui ne d´epend que de x et y et pas du choix de base : c’est un exemple typique de quantit´e scalaireou « tenseur d’ordre 0 ». Par contre un vecteur est appel´e « tenseur d’ordre 1 ». Des exemples physiques de tenseurs d’ordre 0 et 1 sont la temp´erature T et un vecteur position OM.
1.2
D´
efinition des tenseurs comme applications lin´
eaires
Partant des deux d´efinitions pr´ec´edentes, on d´efinit les tenseurs « par r´ecurrence » de la fa¸con suivante :
un tenseur d’ordre n≥ 1, not´e Tn, est une application lin´eaire
qui `a tout vecteur fait correspondre un tenseur d’ordre n− 1 : Tn : x7−→ Tn(x) not´e aussi Tn· x
. (1.23)
La notation avec le point correspond `a une op´eration de « contraction » sur laquelle on reviendra plus tard.
Cette d´efinition s’applique bien d`es que n = 1. En effet un vecteur a peut ˆetre vu9 comme
l’appli-cation lin´eaire qui `a tout vecteur x fait correspondre le tenseur d’ordre 0 ou scalaire a· x :
a : x7−→ a(x) = a · x . (1.24)
9. Le lecteur averti remarque que l’on confond l’espace R3 et son dual. Un point de vue plus fin, qui conduit aux notions de covariance et contravariance, est propos´e par la th´eorie g´en´erale des tenseurs pr´esent´ee dans les r´ef´erences bibliographiques cit´ees en introduction.
1.3
Les tenseurs d’ordre 2 comme applications lin´
eaires
D’apr`es la d´efinition (1.23), un tenseur d’ordre 2 est une application lin´eaire qui `a tout vecteur fait correspondre un tenseur d’ordre 1, c’est-`a-dire un vecteur. Il s’agit donc d’un endomorphisme de l’espace R3. Pour ˆetre coh´erent sur le plan des notations on note un tel tenseur non pas L2 mais
L :
L : R3 −→ R3
x 7−→ L(x) = L · x . (1.25)
En effet un tenseur d’ordre 0 (un scalaire) ´etant not´e sans barre sup´erieure, et un tenseur d’ordre 1 (un vecteur) avec une barre sup´erieure, un tenseur d’ordre 2 m´erite bien deux barres sup´erieures10!
1.3.1 Repr´esentation par une matrice
On sait qu’un tel endomorphisme est repr´esent´e sur une base orthonorm´ee{ei} par une matrice
[L] = MatL,{ei} (1.26) de composantes11 Lij = ei· L· ej , (1.27) de sorte que, si [x] = Vect(x, {ei}) , (1.28) on a12 VectL· x, {ei} = [L]· [x] = [Lijxj] . (1.29)
1.3.2 Formule de changement de base
Reprenant les notations de la section1.1.4, on se pose la question de la matrice repr´esentant L dans la base{e0
i}. Posant, pour x quelconque, y = L · x, on a, d’apr`es les formules (1.10), (1.15) et
(1.29), [y0] = [PT]· [y] = [PT]· [L] · [x] = [PT]· [L] · [P ] · [x0] , d’o`u [L0] = MatL,{e0i} = [PT]· [L] · [P ] , (1.30) soit en composantes13 L0ij = PkiLkmPmj . (1.31)
10. Cette notation avec un empilement de barres ne pourra cependant pas, pour des raisons d’encombrement, ˆetre utilis´e pour des tenseurs d’ordre ´elev´e, d’o`u la notation « g´en´erale » Tnsi n & 4. Mentionnons aussi qu’en ´ecriture manuscrite on ´ecrira parfois
=⇒
L au lieu de L, de la mˆeme fa¸con que l’on ´ecrira→x au lieu de x.
11. La formule (1.27), du type « sandwich », sera reprise dans la section 1.4.1, voyez l`a les ´equations (1.38) et (1.39).
12. Dans (1.29) le point entre [L] et [x] d´esigne le produit matrice-vecteur classique.
13. En lien avec ce qui a ´et´e dit au niveau de l’´equation (1.20) : si on utilise la matrice de changement de base [Q] = [PT] au lieu de la matrice de passage [P ], on obtient la formule
L0ij = QikQjmLkm
On d´efinit le produit tensoriel de 2 vecteurs comme le tenseur d’ordre 2
a⊗ b : R3 −→ R3
x 7−→ (a ⊗ b) · x = a (b · x) . (1.32)
Dans cette derni`ere ´equation « a (b· x) » signifie le produit du vecteur a par le scalaire b · x ; on d´enote le produit entre un scalaire et un vecteur (ou un tenseur) par un simple espace. On montre que
Mat(a⊗ b, {ei}) = [aibj] , (1.33)
et que l’application qui `a a et b associe a⊗ b est bilin´eaire14.
1.3.4 Application : ´ecriture intrins`eque d’un tenseur d’ordre 2
L’un des int´erˆets de l’op´eration produit tensoriel est de permettre une ´ecriture « intrins`eque » des tenseurs d’ordre 2, sous la forme
L = Lijei⊗ ej . (1.34)
Cette ´ecriture est « intrins`eque » au sens o`u elle fait apparaˆıtre les ˆetres essentiels que sont les vec-teurs. Elle montre que l’ensemble des tenseurs ei⊗ej est une base de l’espace vectoriel des tenseurs
d’ordre 2. Elle permet d’´eviter tout risque de « m´elanges entre bases » extrˆemement dangereux lors de l’´etude de probl`emes o`u plusieurs bases rentrent en jeu, puisque les vecteurs sont ´ecrits explicitement15. Cette ´ecriture intrins`eque peut justement s’utiliser pour faire des changements de base de fa¸con tr`es efficace, comme l’illustre l’exercice suivant.
Exercice 1.3. De l’int´erˆet de la notation produit tensoriel
Dans le plan muni d’un rep`ere R = Oxy, et du syst`eme des coordonn´ees polaires (r,θ) associ´e, on note ex et ey les vecteurs de la base orthonorm´ee du rep`ere, eret eθles vecteurs de la base locale
correspondant `a un point M de coordonn´ees polaires (r,θ) quelconques. On consid`ere le tenseur L = er⊗ er .
1 Donnez une interpr´etation g´eom´etrique de L. 2 Explicitez MatL,{er,eθ}
puis, en utilisant la formule de changement de base (1.30), calculez MatL,{ex,ey}
.
3 Exprimez L intrins`equement dans la base{ex,ey} en injectant dans L = er⊗er l’expression de er
en fonction de ex et ey, puis en d´eveloppant la formule obtenue grˆace `a la bilin´earit´e de l’op´eration
produit tensoriel.
4 Comparez les r´esultats, l’efficacit´e et le « coˆut calculatoire » de ces deux m´ethodes.
14. Il s’agit donc bien d’un « produit » au bon sens du terme.
15. En travaillant avec des matrices et des vecteurs colonnes on a vite fait de faire des calculs insens´es, consistant par exemple `a calculer L · x en multipliant la matrice repr´esentant L dans une base par le vecteur colonne repr´esentant x dans une autre base !
1.3.5 Tenseur identit´e
Une application imm´ediate des formules (1.27) et (1.34) au tenseur identit´e
1 : x 7−→ x (1.35)
donne, comme sa matrice repr´esentative a pour ´el´ements Iij = δij, que
1 = ei⊗ ei . (1.36)
1.4
Les tenseurs d’ordre 2 comme applications bilin´
eaires
1.4.1 D´efinition et exemple
Un point de vue « dual » de celui de la d´efinition (1.23) consiste `a voir un tenseur d’ordre 2 L comme l’application bilin´eaire16
L : R3× R3 −→
R
(x,y) 7−→ L(x,y) = x · L · y = x ·L· y . (1.37)
Dans cette ´equation les deux premi`eres ´ecritures sont des notations ´equivalentes pour le mˆeme objet17, tandis que la troisi`eme fournit une d´efinition calculatoire de cet objet : une fois qu’une
base est choisie on a
L(x,y) = x· L · y = x ·L· y = xiLijyj . (1.38)
Une sch´ematisation de cette formule que l’on peut appeler « r`egle du sandwich » est pr´esent´ee sur la figure1.1. Un cas particulier remarquable de cette formule s’obtient en utilisant pour x et y des vecteurs de base ; on en d´eduit
L(ei , ej) = ei· L · ej = Lij . (1.39)
R´eciproquement, si on connait l’application bilin´eaire (x,y)7−→ x·L·y, on peut d´efinir l’application lin´eaire y7−→ L · y en stipulant que ce dernier vecteur est l’unique vecteur v tel que
∀x, x· v = x · L · y . On peut se convaincre que, avec ce point de vue,
a⊗ b : R3× R3 −→ R
(x,y) 7−→ (a · x)(b · y) . (1.40)
Ce point de vue sera tr`es utilis´e lorsque l’on ´etudiera les d´eformations de milieux mat´eriels. On va maintenant exploiter ce point de vue pour (re)d´efinir la notion de transposition, avant de le g´en´eraliser au cas de tenseurs d’ordre quelconque.
16. Ou forme bilin´eaire, puisqu’elle est `a valeurs r´eelles. La forme quadratique associ´ee s’obtient en consid´erant le cas y = x.
Fig. 1.1 – Illustration de la formule (1.37) pour x· L · y, dite « r`egle du sandwich ». L’endomorphisme L se saisissant des vecteurs x et y forme ainsi un nouvel objet scalaire.
1.4.2 Applications : d´efinition de la transposition, tenseurs (anti)sym´etriques
Le point de vue (1.37) permet de d´efinir, ´etant donn´e un tenseur quelconque L, le tenseur transpos´e LT par
LT : R3× R3 −→
R
(x,y) 7−→ LT(x,y) = L(y,x) . (1.41)
En vertu de (1.37) et (1.38) il vient que, si l’on note (M) la matrice repr´esentant LT sur une base, ∀x,y, LT · y· x = xiMijyj = yiLijxj = y·
L· x , (1.42)
ou encore, en ´echangeant les rˆoles de i et j dans l’expression ou apparaˆıt [L], ∀x,y, xiMijyj = yjLjixi = xiLjiyj .
On en d´eduit que la matrice [M ] repr´esentant LT n’est autre que la transpos´ee de la matrice [L]
repr´esentant L.
On d´efinit les tenseurs sym´etriques comme ceux qui sont ´egaux `a leur tenseur transpos´e,
S sym´etrique ⇐⇒ S= ST , (1.43)
et les tenseurs antisym´etriques comme ceux qui sont oppos´es `a leur tenseur transpos´e,
A antisym´etrique ⇐⇒ A=−AT . (1.44)
Exercice 1.4. Transposition d’un produit tensoriel
Montrez de deux mani`eres diff´erentes, l’une utilisant une repr´esentation en base orthonorm´ee, l’autre intrins`eque, que
1.5
Les tenseurs comme applications multilin´
eaires
1.5.1 D´efinition des tenseurs comme applications multilin´eaires
Nous allons voir qu’une fa¸con ´equivalente `a (1.23) de d´efinir les tenseurs est de poser qu’un tenseur Tn d’ordre n≥ 1 est une application n-lin´eaire
Tn : R3× · · · × R3 −→ R
(x1, · · · , xn) 7−→ Tn(x1,· · · , xn)
. (1.46)
Par « n-lin´eaire » on signifie que Tn est lin´eaire par rapport `a chacun de ses arguments. Comme elle est `a valeurs scalaires, on peut aussi la d´esigner comme une « forme multilin´eaire ». Pour ce qui est des tenseurs d’ordre 1 et 2 ce point de vue correspond `a celui des sections1.2 et1.4.1. En raisonnant par r´ecurrence, supposons que l’on a ´et´e capable de faire le lien entre les d´efinitions (1.23) et (1.46) pour les tenseurs d’ordre 1 `a n− 1 ≥ 1. Consid´erons maintenant un tenseur Tn d’ordre n≥ 2 d´efini par (1.23). On peut d´efinir Tn(x1,· · · ,xn) en remarquant que Tn· xn est un
tenseur d’ordre n− 1, donc que l’on sait d´efinir
(Tn· xn)(x1,· · · , xn−1) .
On pose tout simplement
Tn(x1,· · · , xn) = (Tn· xn)(x1,· · · , xn−1) , (1.47)
qui est bien un nombre r´eel d´ependant lin´eairement de chaque variable x1,· · · ,xn.
Exercice 1.5. Application de la d´efinition multilin´eaire r´ecurrente au cas n = 2
Montrez que si n = 2 la d´efinition par r´ecurrence (1.47) est ´equivalente `a celle pos´ee en (1.37). R´eciproquement, soit Tn donn´e comme une application n-lin´eaire. En « inversant » la formule (1.47), on peut d´efinir Tn· x comme l’unique tenseur L d’ordre n − 1 v´erifiant
∀ x1,· · · , xn−1, Tn(x1,· · · , xn−1, x) = L(x1,· · · , xn−1) . (1.48)
Ce tenseur L d´epend bien lin´eairement de x.
1.5.2 D´efinition g´en´erale du produit tensoriel
L’un des int´erˆets de la d´efinition (1.46) est de permettre de donner une d´efinition simple du produit tensoriel de n vecteurs a1,· · · ,an, en posant que c’est le tenseur d’ordre n
a1⊗ · · · ⊗ an : R3× · · · × R3 −→ R
(x1, · · · , xn) 7−→ (a1⊗ · · · ⊗ an)(x1,· · · ,xn) = (a1· x1)· · · (an· xn)
. (1.49) Ceci g´en´eralise bien la formule (1.40) dans le cas du produit tensoriel de 2 vecteurs.
Fig. 1.2 – Repr´esentation sch´ematique de nos amis les tenseurs vus comme des applications multi-lin´eaires. Les nombres de bras sont les nombres de vecteurs que chaque tenseur peut « attraper » en vertu de la d´efinition (1.46), ou encore le nombre d’indices rep´erant les composantes de chaque tenseur sur une base donn´ee en vertu de (1.55). Au dessous de chaque top-mod`ele figure l’ordre de tensorialit´e correspondant.
1.5.3 Ecriture intrins`´ eque et repr´esentation - Base - Changement de base
La d´efinition (1.46) et la notation pr´ec´edente permettent de traiter ais´ement le probl`eme de l’´ecriture et de la repr´esentation des tenseurs. Int´eressons-nous par exemple au cas d’un tenseur T3 d’ordre 3, que l’on notera parfois T. Par trilin´earit´e, si {ei} est une base donn´ee dans laquelle
x, y et z ont des composantes xi, yj et zk, on a
T3(x, y, z) = T3(xiei, yjej, zkek)
= xiyjzkT3(ei, ej, ek)
T3(x, y, z) = Tijkxiyjzk avec Tijk = T3(ei, ej, ek) . (1.50)
La notion de produit tensoriel telle qu’elle vient d’ˆetre d´efinie permet en cons´equence d’´ecrire que
T3 = Tijkei⊗ ej⊗ ek , (1.51)
ce qui g´en´eralise au cas des tenseurs d’ordre 3 la formule (1.34) pour les tenseurs d’ordre 2. Les nombres Tijk repr´esentent le tenseur T3 dans la base{ei}. Ce sont les composantes de
T3 dans cette base. Ils d´ependent du choix de cette base. Les formules de changement de base s’´etablissent comme suit : si{e0
i} est une autre base, caract´eris´ee comme dans la section1.1.4par
sa matrice de pr´esentation [P ] d’´el´ements (1.11), on a
Tijk0 = T3(e0i, e0j, e0k) = T3(Pliel, Pmjem, Pnken) (1.52)
Exercice 1.6. Changement de base pour un tenseur d’ordre 2 application bilin´eaire ´
Etablissez une formule de changement de base ´equivalente `a (1.53) mais dans le cas o`u l’on ´etudie la repr´esentation d’un tenseur T d’ordre 2, vu comme une application bilin´eaire. V´erifiez que cette formule est ´equivalente `a la formule (1.31).
De fait les formules (1.50), (1.51) et (1.53) se g´en´eralisent imm´ediatement `a un tenseur Tn d’ordre quelconque n, en ´ecrivant n indices, vecteurs de base et coefficients P.., selon18
Ti1i2···in = T(ei1, ei2, · · · , ein) (1.54)
T = Ti1i2···inei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ ein (1.55)
Ti01i2···in = Pj1i1Pj2i2· · · PjninTj1j2···jn . (1.56)
Revenons une derni`ere fois sur la remarque faite au niveau de l’´equation (1.20) : si on utilise la matrice de changement de base [Q] = [PT] au lieu de la matrice de passage [P ], on obtient la
formule
Ti01i2···in = Qi1j1Qi2j2· · · QinjnTj1j2···jn (1.57)
sans doute plus « simple » en ce qui concerne l’ordonnancement des indices. Pour le cas de tenseurs d’ordre 2 les formules ´equivalentes `a (1.54), (1.55) et (1.56) sont (1.39), (1.34) et (1.31). Ceci nous am`ene enfin `a ´enoncer qu’un tenseur d’ordre n est un ˆetre repr´esent´e sur une base par un tableau de nombres - qui sont ses « composantes » - `a n indices v´erifiant les r`egles de transformation par changement de base (1.56). Ce point de vue est parfois adopt´e pour introduire les tenseurs. Il est repris sur les figures 1.2et1.3.
Les formules (1.54) et (1.55) prouvent que les tenseurs ei1 ⊗ ei2 ⊗ · · · ⊗ ein forment une base de
l’espace des tenseurs d’ordre n. Cet espace, parfois not´e Tn , est ainsi un espace vectoriel
de dimension 3n... dans le cas de tenseurs agissant sur des vecteurs de R3 consid´er´e ici19, cf. la d´efinition (1.46).
1.5.4 D´efinition g´en´erale du produit contract´e
Soient Anet Bm des tenseurs d’ordre n≥ 1 et m ≥ 1. Leur produit contract´e est le tenseur Tp = An· Bm
d’ordre p = n− 1 + m − 1 = n + m − 2 d´efini par20
Tp(x1, · · · , xn−1, y2, · · · , ym) = A(x1, · · · , xn−1, ei) B(ei, y2, · · · , ym) , (1.58)
18. Dans ce qui suit on omet de rappeler l’exposant n, afin d’´eviter toute confusion au niveau de la convention de sommation d’Einstein.
19. Dans le cas de tenseurs agissant sur des vecteurs de R2, au sens de la note de bas de page num´ero5sur les « probl`emes plans », la dimension de Tnest bien sˆur 2n.
20. Dans ce qui suit on omet de rappeler les exposants n et m, afin de simplifier les notations et surtout d’´eviter toute confusion au niveau de la convention de sommation d’Einstein.
Fig. 1.3 – Repr´esentation sch´ematique des tenseurs, cette fois-ci par un v´eritable artiste...
o`u l’indice i r´ep´et´e cache une sommation. Il importe de v´erifier que ce tenseur est bien un objet intrins`eque qui ne d´epend pas du choix de la base{ei} utilis´ee. Pour cela consid´erons une deuxi`eme
base{e0
i} ; on a, en utilisant les notations de la section 1.1.4,
A(x1, · · · , xn−1, e0i) B(e0i, y2, · · · , ym)
= A(x1, · · · , xn−1, Pjiej) B(Pkiek, y2, · · · , ym)
= PjiPki A(x1, · · · , xn−1, ej) B(ek, y2, · · · , ym)
= δjk A(x1, · · · , xn−1, ej) B(ek, y2, · · · , ym)
en vertu de la formule (1.17). Ainsi
A(x1, · · · , xn−1, e0i) B(e0i, y2, · · · , ym) = A(x1, · · · , xn−1, ej) B(ej, y2, · · · , ym)
qui montre le caract`ere tensoriel de la d´efinition (1.58).
Exercice 1.7. Produit contract´e de deux vecteurs
V´erifiez que la d´efinition (1.58) appliqu´ee au cas o`u An est le vecteur a et Bm le vecteur b redonne bien pour a· b le produit scalaire classique de a et b,
a· b = aibi . (1.59)
Exercice 1.8. Produit contract´e d’un tenseur d’ordre 2 et d’un vecteur
V´erifiez que la d´efinition (1.58) appliqu´ee au cas o`u An est le tenseur d’ordre 2 L et Bm le vecteur b redonne bien pour L· b l’application de L `a b au sens de la d´efinition (1.25), i.e., une fois une base{ei} choisie pour repr´esenter ces objets,
Exercice 1.9. Produit contract´e de deux tenseurs d’ordre 2
V´erifiez que la d´efinition (1.58) appliqu´ee au cas o`u An est le tenseur d’ordre 2 A et Bm le tenseur d’ordre 2 B donne, une fois une base {ei} choisie,
A· B = AikBkjei⊗ ej . (1.61)
Vous remarquerez que si l’on adopte le point de vue tenseur comme application lin´eaire alors A· B correspond `a la composition de l’application lin´eaire B avec l’application lin´eaire A, que l’on pourrait noter aussi A◦ B, et que, si l’on raisonne en terme de matrices,
MatA· B,{ei} = MatA,{ei} · MatB,{ei} . (1.62)
Ces formules peuvent se r´esumer avec la r`egle g´en´erale suivante : le produit contract´e d’un tenseur A d’ordre n et d’un tenseur B d’ordre m s’obtient en formant le tenseur d’ordre n + m− 2 dont les composantes sont les produits des composantes de A et B avec une sommation sur le dernier indice de A pris ´egal au premier indice de B,
A· B = Ai1···in−1k Bkj2···jm ei1 ⊗ · · · ⊗ ein−1 ⊗ ej2 ⊗ · · · ⊗ ejm . (1.63)
Muni de cette r`egle, on peut donner un sens `a de nouveaux produits de la forme a· L par exemple, et montrer par ailleurs que le produit contract´e est associatif. Ainsi
∀a, b, L, a·L· b = a· L· b . (1.64)
En effet le scalaire de gauche dans (1.64) vaut a·L· b = ai
L· b
i = ai Lijbj
et celui de droitea· L· b = a· L
j bj = aiLij bj c’est-`a-dire la mˆeme chose.
Exercice 1.10. Associativit´e du produit de contraction dans un cas g´en´eral
D´emontrez, en explicitant ces produits dans une base orthonorm´ee, l’´egalit´e valable pour deux vecteurs a et b quelconques, et un tenseur T d’ordre n quelconque,
a· (T · b) = (a · T) · b . (1.65)
1.5.5 D´efinition g´en´erale du produit doublement contract´e
Soient An et Bm des tenseurs d’ordre n≥ 2 et m ≥ 2. Leur produit doublement contract´e est le tenseur
Tp = An: Bm d’ordre p = n− 2 + m − 2 = n + m − 4 d´efini par21
Tp(x1, · · · , xn−2, y3, · · · , ym) = A(x1, · · · , xn−2, ei, ej) B(ej, ei, y3, · · · , ym) . (1.66)
T0 = A(x1, · · · , xn−2, e0i, ej0) B(e0j, e0i, y3, · · · , ym) .
Grˆace aux formules (1.13), on obtient
T0 = A(x1, · · · , xn−2, Pkiek, Pljel) B(Pqjeq, Prier, y3, · · · , ym)
T0 = PkiPri PljPqj A(x1, · · · , xn−2, ek, el) B(eq, er, y3, · · · , ym) .
En utilisant le caract`ere orthogonal de [P ], exprim´e par la formule (1.17), on obtient T0 = δkr δlq A(x1, · · · , xn−2, ek, el) B(eq, er, y3, · · · , ym)
T0 = A(x1, · · · , xn−2, ek, el) B(el, ek, y3, · · · , ym) qui est bien (1.66).
Dans le cas o`u A et B sont deux tenseurs d’ordre 2, on obtient imm´ediatement que leur produit doublement contract´e est le scalaire
A: B = A(ei,ej) B(ej,ei) = Aij Bji . (1.67)
On a la propri´et´e de commutation
A: B = B : A . (1.68)
En particulier on peut contracter un tenseur d’ordre 2 A avec le tenseur identit´e (1.35), et on obtient alors un scalaire que l’on appele aussi la trace de A :
trA = A : 1 = Aii . (1.69)
Comme ce scalaire ne d´epend que de A et pas de la base choisie, on dit que c’est un « invariant » de A... traditionnellement appel´e « premier invariant » de A...
Remarquez, en lien avec l’exercice1.9, que, si l’on adopte momentan´ement le point de vue qu’un tenseur est une application lin´eaire,
A: B = trA· B= trA◦ B. (1.70)
Ce qui nous permet de d´efinir un « second invariant »22 de A comme
A: AT = trA· AT = AijAij (1.71)
somme des carr´es des composantes de A, que l’on peut voir comme une norme euclidienne carr´e de A.
Dans le cas o`u A est un tenseur d’ordre 3 et B un tenseur d’ordre 2, on obtient `a partir de (1.66) que leur produit doublement contract´e est le vecteur
A: B = Aijk Bkjei . (1.72)
Enfin dans le cas g´en´eral le produit doublement contract´e d’un tenseur A d’ordre n et d’un tenseur B d’ordre m s’obtient en formant le tenseur d’ordre n + m− 4 dont les composantes sont
22. D’autres d´efinitions concurrentes sont possibles, d’o`u le « un » ; « second » ´evoque pour nous le fait que cet invariant d´epend de fa¸con quadratique de A, alors que le premier invariant d´epend de fa¸con lin´eaire de A.
les produits des composantes de A et B avec une sommation sur le dernier indice de A pris ´egal au premier indice de B, et une autre sur l’avant dernier indice de A pris ´egal au deuxi`eme indice de B,
A: B = Ai1···in−2lk Bklj3···jm ei1⊗ · · · ⊗ ein−2 ⊗ ej3 ⊗ · · · ⊗ ejm . (1.73)
1.6
Tenseur altern´
e fondamental et applications
Afin notamment de revisiter les notions de d´eterminant, produit vectoriel et produit mixte avec le formalisme concis et puissant du calcul tensoriel, et, aussi, de bien caract´eriser les endo-morphismes antisym´etriques, nous introduisons un nouvel objet, sans doute, le premier tenseur d’ordre 3 que vous allez manipuler...
1.6.1 D´efinition du tenseur altern´e fondamental
D´efinissons le tenseur altern´e fondamental par ses composantes ijkdans une base
ortho-norm´ee directe {ei}. Celles-ci sont nulles si deux indices sont ´egaux parmi i, j et k ; si les indices
i, j et k sont distincts, alors ijk est la signature de la permutation (1,2,3)7−→ (i,j,k) :
ijk =
+1 si (1,2,3)7−→ (i,j,k) est paire −1 si (1,2,3) 7−→ (i,j,k) est impaire
0 si deux indices sont ´egaux parmi i, j et k
. (1.74)
Rappelons que les permutations paires de (1,2,3), appel´ees aussi « permutations circulaires » de (1,2,3), sont
(1,2,3)7−→ (1,2,3) , (1,2,3) 7−→ (2,3,1) , (1,2,3) 7−→ (3,1,2) . (1.75) Certains auteurs d´esignent les ijk comme les « symboles d’antisym´etrie »23,
puisqu’effective-ment les ijk sont antisym´etriques par ´echange d’indices :
jik = −ijk , kji = −ijk , ikj = −ijk . (1.76)
Comme la composition d’une permutation paire σ par une permutation donn´ee a la mˆeme signature que cette permutation donn´ee, on peut aussi remarquer que les ijksont invariants par permutation
circulaire,
σ(i)σ(j)σ(k) = ijk . (1.77)
V´erifions que est bien un tenseur d’ordre 3. En vertu de (1.53), on doit v´erifier que, dans un changement de base caract´eris´e par une matrice de passage [P ],
0ijk = PliPmjPnklmn (1.78)
23. D’autres encore d´esignent les ijkcomme les « symboles de Levi-Civita », du nom du math´ematicien italien
du XIX`eme si`ecle qui fut l’un des co-inventeurs du calcul tensoriel (cf. la citation d´ej`a mentionn´ee en introduction
Ricci & Levi-Civita 1900) et de cette notation ! Enfin certains d´esignent comme le « tenseur d’orientation », pour insister sur le fait qu’il n’est un tenseur qu’`a condition d’utiliser des bases ayant toutes la mˆeme orientation : l’´equation (1.79) montre bien que si on passe d’une base directe `a une base indirecte, comme det[P ] = −1, il y a alors probl`eme. Pour insister sur cette propri´et´e on d´esigne parfois comme un « pseudotenseur ».
d’abord les indices l et m, que
0ijk = PliPmjPnklmn = PmiPljPnkmln = −PmjPliPnklmn
en utilisant ensuite le fait que i = j et l’antisym´etrie de . Comme 0ijk est ´egal `a son oppos´e, il est nul, c’est-`a-dire ´egal `a ijk.
Si i, j et k sont tous diff´erents, on peut remarquer que 0ijk = lmnPliPmjPnk
n’est autre, d’apr`es la formule de Leibniz vue en classes pr´eparatoires, que le d´eterminant de la matrice form´ee par les i`eme , j`eme et k`eme vecteurs colonnes de [P ]. D’apr`es la th´eorie des
d´eterminants, c’est le d´eterminant de la matrice [P ] multipli´e par la signature de la permutation faite sur les colonnes, i.e. la permutation (1,2,3)7−→ (i,j,k) :
0ijk = det[P ] ijk . (1.79)
Or [P ] est une matrice de rotation (transformation orthogonale directe), donc
det[P ] = 1 . (1.80)
Ceci implique que dans ce cas aussi 0
ijk= ijk.
On remarque pour conclure cette introduction que le d´eterminant d’un tenseur d’ordre 2 peut s’´ecrire
det A = ijkAi1Aj2Ak3 , (1.81)
ce qui est plus compact et maniable que l’´ecriture en tableau utilis´ee en classes pr´eparatoires... Ce scalaire peut ˆetre vu comme le « troisi`eme invariant » de l’endomorphisme A, « troisi`eme » au sens o`u il d´epend de fa¸con cubique de A.
Exercice 1.11. Utilisation du tenseur altern´e fondamental pour calcul d’un d´eterminant Montrez que si
F = 1 + L , (1.82)
avec L un tenseur infiniment petit i.e. d’ordre de grandeur L = L 1, alors det F = 1 + trL + O(L2) . (1.83) Commentaires :
• Voyez sur cet exercice, sur la notion de norme et la notation O, l’annexe A.1.
• Une application physique de la formule (1.83) sera le calcul de la dilatation volumique en petite transformation, cf. la section 2.1.7 dePlaut (2021).
1.6.2 Produits mixte et vectoriel
En utilisant le point de vue qu’un tenseur est une application multilin´eaire, est vu comme l’application
(x, y, z) 7−→ (x, y, z) = ijkxiyjzk . (1.84)
Cette application n’est autre que le produit mixte d´ej`a rencontr´e en classes pr´eparatoires, soit le d´eterminant des vecteurs colonnes repr´esentant x, y et z. Rappelons son interpr´etation g´eom´e-trique :
• ce produit mixte est nul si et seulement si x, y et z sont li´es ;
• dans le cas o`u x, y et z sont ind´ependants et forment un tri`edre direct, (x, y, z) est le volume du parall´el´epip`ede de cˆot´es x, y et z ;
• dans le cas o`u x, y et z sont ind´ependants et forment un tri`edre indirect, (x, y, z) est l’oppos´e du volume du parall´el´epip`ede de cˆot´es x, y et z.
On d´efinit alors le produit vectoriel de deux vecteurs x et y comme le vecteur24aqui d´efinit, au sens de (1.24), l’application lin´eaire
z 7−→ (x, y, z) . Par identification avec
z 7−→ a · z , i.e., en assurant que
∀ x, y, z , (x, y, z) = (x ∧ y) · z , (1.85)
on obtient que le produit vectoriel a = x∧ y est d´efini en composantes par25
x∧ y = ijkxiyjek = kijxiyjek = ijkxjykei , (1.86)
ou en notations tensorielles intrins`eques par
x∧ y = : y ⊗ x . (1.87)
Rappelons son interpr´etation g´eom´etrique :
• ce produit vectoriel est nul si et seulement si x et y sont colin´eaires ;
• sinon, le vecteur x ∧ y est orthogonal au plan form´e par x et y, tel que le tri`edre form´e par x, y et x∧ y soit direct ;
• on a dans tous les cas
||x ∧ y|| = ||x|| ||y|| | sin( cx,y)| (1.88)
qui est l’aire du parall´elogramme construit sur x et y.
24. Pour la mˆeme raison que celle expliqu´ee dans la note23, on dit parfois que le produit vectoriel est un pseu-dovecteur.
25. Pour passer `a la toute derni`ere expression dans (1.86) on a renomm´e tous les indices muets suivant (i,j,k) 7−→ (j,k,i).
Si L est un tenseur d’ordre 2, on peut d’apr`es (1.72) d´efinir un vecteur que l’on va appeler « vecteur dual »26de L par
vdL = 1
2 : L , (1.89)
soit en composantes
vdL = 1
2 ijkLkj ei . (1.90)
Exercice 1.12. Formules portant sur le tenseur altern´e fondamental et le vecteur dual 1 Montrez que
ijkipq = δjpδkq− δjqδkp . (1.91)
Commentaire : cette question plus difficile peut ˆetre consid´er´ee comme facultative : on vous re-commande donc d’admettre la formule (1.91) ; les curieux liront sa d´emonstration dans le corrig´e des exercices.
2 `A l’aide de cette formule montrez que
vdL· = 1 2
LT − L. (1.92)
Exercice 1.13. Formule du double produit vectoriel Montrez, en passant en composantes, que
a∧ (b ∧ c) = (a · c)b − (a · b)c . (1.93)
Exercice 1.14. Vecteur dual d’un tenseur d’ordre 2 sym´etrique Montrez que
S est sym´etrique au sens de la d´efinition (1.43) ⇐⇒ vdS = 0 . (1.94)
En cons´equence cette notion de vecteur dual n’est int´eressante que pour un tenseur A antisy-m´etrique au sens de la d´efinition (1.44). On peut se convaincre qu’alors
∀x, A· x = vdA∧ x . (1.95)
Cette ´equation permet d’« interpr´eter » le vecteur dual comme un « vecteur rotation », puisqu’un champ A· x de cette forme co¨ıncide avec le champ de vitesse instantan´e d’un solide ind´eformable (une fois l’origine des x choisie sur l’axe instantan´e de rotation ; cf. `a ce sujet la section 2.2.5 du cours de m´ecaniquePlaut 2021)
v(x) = ω∧ x .
Exercice 1.15. Tenseur antisym´etrique en fonction de son vecteur dual
Explicitez la formule (1.92) dans le cas o`u L est un tenseur A antisym´etrique, et d´eduisez en la formule (1.95).
1.7
Exemples en m´
ecanique des milieux continus
Comme on le verra dans Plaut (2021), en m´ecanique des milieux continus des exemples de tenseurs applications lin´eaires sont
• le tenseur gradient de la transformation F = ∇XΦ, avec Φ(X) le champ de placement qui
d´efinit le mouvement ;
• le tenseur gradient de d´eplacement ∇Xu;
• le tenseur donnant la partie d´eformations du d´eplacement lin´earis´e = 12 ∇Xu+∇XuT ;
• le tenseur gradient de vitesse ∇xv;
• le tenseur donnant la partie d´eformations des vitesses lin´earis´ees D = 12 ∇xv+∇xvT ;
• le tenseur des contraintes de Cauchy σ ; • le tenseur des coefficients ´elastiques C ;
des exemples de tenseurs applications bilin´eaires sont • le tenseur des dilatations de Cauchy C = FT · F ;
• le tenseur des d´eformations de Green-Lagrange e = 12(C− 1) ;
• le tenseur des d´eformations lin´earis´e = 1
2 ∇Xu+∇XuT ;
• le tenseur des taux de d´eformations D = 12 ∇xv+∇xvT.
La notion de gradient introduite brutalement ici fait partie des concepts fondamentaux de l’analyse tensorielle, objet du chapitre suivant. Dans un souci d’exhaustivit´e, je compl`ete les listes ci-dessus en ´evoquant
• la divergence du champ de d´eplacement divu ;
• le rotationnel du champ de d´eplacement rotu, d´efini en faisant usage du fameux tenseur altern´e fondamental ;
• le laplacien du champ de d´eplacement ∆u ;
• le second gradient du champ de d´eplacement∇ ∇ u, qui sert d’ailleurs au calcul du laplacien pr´ec´edent ;
et idem en rempla¸cant u par le champ de vitesse v. J’´evoque enfin • la divergence du tenseur des contraintes div σ .
On le r´ealise, il est maintenant temps de se lancer dans l’analyse tensorielle !..
Analyse tensorielle
En physique des milieux continus la notion de gradient d’un champ scalaire m´erite d’ˆetre g´e-n´eralis´ee, puisque, si on s’int´eresse par exemple `a un fluide, l’analyse1 de son champ de vecteur vitesse semble au moins aussi importante que celle de son champ de temp´erature2. L’objet de ce chapitre est justement de g´en´eraliser, de fa¸con la plus syst´ematique possible, et tant qu’on y est `a des tenseurs d’ordre « ´elev´e » (voire quelconque), les outils d’analyse des fonctions de plusieurs variables vus en classes pr´eparatoires. Ces outils d’analyse sont les op´erateurs diff´ e-rentiels gradient, rotationnel, divergence et laplacien, que l’on introduit tout en expliquant leur signification physique, en lien avec leur d´efinition et propri´et´es. On s’int´eresse donc `a des champs de tenseurs c’est-`a-dire des applications r´eguli`eres3 d’un ouvert Ω de l’espace physique
(typiquement le volume d’un milieu mat´eriel) vers l’espace vectoriel des tenseurs d’un certain ordre n. On utilise la d´efinition des tenseurs comme applications lin´eaires, donn´ee par l’´equation (1.23). D’autre part on s’abstient de la notation avec parenth`eses pour d´esigner l’application d’un tenseur d’ordre n `a un vecteur, utilisant exclusivement la notation avec le point de contraction. Ainsi, dans ce chapitre, un tenseur d’ordre n, not´e Tn, est une application lin´eaire
qui `a tout vecteur fait correspondre un tenseur d’ordre n− 1 : Tn : h 7−→ Tn· h
. (2.1)
Une fois choisi un point origine O dans l’espace, en identifiant les points M de Ω `a leur vecteur position x = OM, on peut poser qu’un champ de tenseur d’ordre n est une fonction
Tn : x∈ Ω 7−→ Tn(x) . (2.2)
L’utilisation du point de contraction pour d´esigner Tn(x) appliqu´e `a h, propos´ee en (2.1), conduit `
a noter cet objet
Tn(x)· h .
Ceci permet d’´eviter des notations tr`es lourdes du type Tn(x)(h), et de mettre en ´evidence la diff´erence fondamentale qui existe entre x vecteur position dans le « champ » Ω o`u est d´efini Tn et h vecteur totalement quelconque de R3 auquel peut s’appliquer Tn(x). Physiquement, h sera souvent une variation infinit´esimale dx de x, mais, compte tenu de la lin´earit´e de Tn(x), qu’on l’applique `a des vecteurs infinit´esimaux ou non importera math´ematiquement peu...
1. Voir au sujet de l’analyse la note6au bas de la page5.
2. De mˆeme en ´electromagn´etisme l’analyse des champs ´electrique et magn´etique est indispensable. 3. Pour simplifier on les consid`ere de classe C2.
32 Chapitre 2 Analyse tensorielle dx x x + dx dv v(x) v(x + dx) dv =∇v· dx veut dire...
Fig. 2.1 – Figure illustrant la d´efinition intrins`eque (2.5) du gradient d’un champ de vecteur v(x). Ce gradient ∇v - sous-entendu au point x - est l’application lin´eaire qui `a la diff´erence de position dx fait correspondre la diff´erence de vecteur dv, c’est donc l’application lin´eaire repr´esent´ee par la fl`eche courbe. Une repr´esentation du champ∇v · dx est propos´ee sur le trac´e inf´erieur gauche de la figure2.2.
2.1
Gradient d’un champ de tenseur
2.1.1 D´efinition intrins`eque en tant que diff´erentielle
Soit T un champ de tenseur d’ordre n sur Ω ; on omet maintenant le n `a cˆot´e du T pour simplifier les notations. L’analyse locale de ce champ autour d’un point x donn´e de Ω consiste `a consid´erer les variations ou incr´ements
δT(x, dx) = T(x + dx)− T(x)
pour dx vecteur variation de position « infinit´esimal ». Supposant le champ T diff´erentiable, nous pouvons consid´erer la diff´erentielle de T au point x, application lin´eaire not´ee provisoirement G(x), telle que
δT(x, dx) = T(x + dx)− T(x) = G(x) · dx + o(dx) , (2.3)
en renvoyant `a l’annexeA.2 pour la d´efinition de la notation o. Pour simplifier on note en calcul diff´erentiel
dT = δT lin´earis´e = G(x)· dx , (2.4)
i.e., on identifie la partie lin´eaire des variations consid´er´ees, en n´egligeant les termes d’ordre su-p´erieur. L’« ´egalit´e en calcul diff´erentiel » (2.4) doit donc ˆetre vue comme une « ´equivalence » valable asymptotiquement quand δT et dx tendent vers 0. Cette ´egalit´e montre que l’application G(x) est une application lin´eaire qui au vecteur dx fait correspondre le tenseur dT d’ordre n : en vertu de la d´efinition (2.1), c’est donc un tenseur d’ordre n + 1. Comme G d´epend de x, c’est en fait un champ de tenseur d’ordre n + 1. On le note ∇T et on l’appelle gradient du champ de tenseur T; on doit retenir qu’il est d´efini en calcul diff´erentiel par
∇T : dx 7−→ dT = ∇T · dx . (2.5)
La figure 2.1illustre cette d´efinition dans le cas o`u T est un champ de vecteur v.
Pour comprendre la signification physique de ∇T, il est utile de mentionner le terme utilis´e par de nombreux math´ematiciens pour le d´esigner. Ils appelent le gradient de T l’« application lin´eaire tangente » `a T. En effet, comme la tangente `a une courbe est l’approximation lin´eaire locale de celle-ci, l’application lin´eaire tangente `a T est l’approximation lin´eaire locale du champ T, puisqu’elle permet de calculer les dT en fonction des dx. On illustrera ceci plus pr´ecis´ement dans le cas d’un champ de vecteurs dans la section 2.2, et sur la figure2.2.
2.1.2 Calculs en coordonn´ees cart´esiennes
Avec les notations du chapitre pr´ec´edent, on utilise ici un rep`ere R = Ox1x2x3, les
dT = ∂T ∂xk
dxk (2.6)
o`u les d´eriv´ees partielles de T sont d´efinies par ∂T ∂xk = lim h→0 T(x + hek)− T(x) h . (2.7)
En identifiant les formules (2.5) et (2.6) sachant que dx = dxkek, on obtient que5
∀k , ∇T · ek =
∂T ∂xk
. (2.8)
Si T est un champ scalaire T , son gradient est donc le champ de vecteur d´efini par ∇T = ∂x∂T
k
ek . (2.9)
Par contre, si on a affaire `a un champ de tenseur T d’ordre n≥ 1, on obtient d’apr`es (2.8) que ∇T = ∂x∂T
k ⊗ ek
. (2.10)
Ainsi le gradient d’un champ de vecteur v est le champ de tenseur d’ordre 2 d´efini par ∇v = ∂x∂vi
j
ei⊗ ej . (2.11)
De mˆeme le gradient d’un champ de tenseur T d’ordre 2 est le champ de tenseur d’ordre 3 d´efini par
∇ T = ∂T∂xij
k
ei⊗ ej⊗ ek . (2.12)
Mentionnons que l’on note parfois les d´eriv´ees partielles avec une virgule ou un point virgule6. Nous n’utiliserons pas de telles notations ici, pour ne pas compliquer votre apprentissage. Cependant ˆetre conscient de leur existence pourra s’av´erer utile... si jamais vous lisiez un jour les œuvres compl`etes d’Einstein (voir `a ce sujet la figure « culturelle »2.7page45), ou moins improbablement des trait´es ou articles de m´ecanique ou ´electromagn´etisme avanc´es.
4. Cette terminologie « calculs en coordonn´ees cart´esiennes » et la m´ethodologie associ´ee seront tr`es utilis´ees !.. 5. Cette identification repose sur le fait que les variations des coordonn´ees dx1, dx2, dx3 sont ind´ependantes.
Autrement dit l’´egalit´e ∇T · ekdxk = (∂T/∂xk)dxkdoit avoir lieu quels que soient dx1, dx2, dx3infiniment petits...
6. I.e. ∂T ∂xk T ,xk ou ∂T ∂xk T ,k .
On y gagne une concision extrˆeme, puisque par exemple avec cette deuxi`eme convention la formule (2.12) devient ∇ T = Tij,kei⊗ ej⊗ ek .
Pour des d´eriv´ees partielles secondes on utilise parfois des notations avec une seule virgule et en listant les coordonn´ees ou indices de coordonn´ees par rapport auxquels on d´erive,
∂2T
∂x∂y T,xy ou
∂2T
∂xi∂xj T ,ij .
