Math 202 PC. Exercices 2010-2011 Partie II : Calcul int´egral.
Feuille V : Int´egrales multiples et it´er´ees.
Construction g´en´erale avec sommes de Riemann en2variables, et propri´et´es. Int´egrale double def ≥0surDinterpr´et´ee comme volume du solide s’´elevant verticalement au dessus de D et couvert par la portion de graphe def. Int´egration des fonctions continues, lien avec les int´egrales it´er´ees. Th´eor`eme de Fubini. Changement de variables. Passage en coordonn´ees polaires.
Exercice 1 1. a. Calculer
ZZ
D
xcos(xy)dxdy,D={(x, y)|1≤x≤2,0≤y≤ π2}.
b. Calculer ZZ
R
r2cosθdrdθ,R={(r, θ)|0≤r≤2,0≤θ≤ π2}.
2. a. Calculer le volume d´elimit´e par le parabol¨ıde d’´equation2x2+y2+z= 9, les trois plans coordonn´ees et les plans d’´equationsx= 1ety= 1.
b. Calculer le volume qui se trouve sous le plan d’´equation 3x + 2y +z = 12 et au dessus du rectangle R= [0,1]×[−2,3].
3. Calculer ZZ
R
p9−y2dxdy,R = [0,4]×[0,2], puis dessiner le solide dont le volume est repr´esent´e par cette int´egrale.
Exercice 2
Dessiner le domaineDet donner les deux ´ecritures du th´eor`eme de Fubini pourI = ZZ
D
f(x, y)dx dy, o`u : a.Dest le triangle de sommetsA(0,0),B(1,0)etC(1,1).
b.D={(x, y)|0≤x≤1,1≤x+y≤4}.
c.Dest la r´egion d´elimit´ee pary =x2et la droitey=x.
Exercice 3 (1)
Calculer le volume du solide :
a. Sous le paraboloidez=x2+y2et sur le domaine d´elimit´e pary=x2etx=y2. b. Sous la surfacez=xyet sur le triangle de sommets(1,1),(4,1)et(1,2).
c. Born´e par le cylindrex2+y2= 1et les plansy=z, x= 0, z= 0dans le premier octant.
Exercice 4
Soitf(x, y)une fonction continue sur[a, b]×[c, d]et g(x, y) =
Z x
a
Z y
c
f(s, t)dtds
poura < x < b, c < y < d. Montrez que ∂2g
∂x∂y = ∂2g
∂y∂x =f(x, y).
1. R´eponses : 3, a)356 , 3,b)318 , 3, c)13
1
Exercice 5
Calculer l’ int´egrale double ZZ
D
f(x, y)dx dy.
1. f(x, y) = (x2+1)(y1 2+1),D={(x, y)|0≤x≤1,0≤y ≤x}.
2. f(x, y) =ey2,D={(x, y)|0≤x≤y≤1}.
3. f(x, y) = x2,Dest la r´egion du premier quadrant d´elimit´ee par l’hyperbolexy = 16et les droites y = x, y = 0etx= 8.
4. f(x, y) =xy2,Dest le losange de sommetsA(0,0),B(1,1),C(0,2)etD(−1,1).
5. f(x, y) =y,Dest la r´egion d´elimit´ee pary= 0,y2 = 4xety2 = 5−x.
6. f(x, y) = x(x+y)2+y2+12 ,D={(x, y)|x2+y2≤1}.
7. f(x, y) = xx−y2+y2,D={(x, y)|y ≥0, x2+y2−x≥0, x2+y2−2x≤0}.
Exercice 6
1. Calculer le volume du solide contenu dans la boule de centre(0,0)et de rayon4 et `a l’ext´erieur du cylindre x2+y2 = 4. (Indication : figure et polaires).
2. Calculer ZZ
D
ex+yx−ydx dy, o`uDest le trap`eze de sommets(1,0),(2,0),(0,−2)et(0,−1), en utilisant le chan- gement de variables : (u=x+y, v=x−y).
3. Calculer ZZ
D
xydx dy, o`uDest la r´egion du premier quadrant d´elimit´ee par les hyperbolesxy = 1etxy = 3 et les droitesy=xety= 3x, en utilisant le changement de variables : (x= uv, y=v).
Exercice 7 (2)
Calculer les int´egrales doubles suivantes en utilisant le changement de variables indiqu´e : a.
ZZ
D
ex3+y
3
xy dxdy avec D=©
(x, y)|y2−8x≤0, x2−8y ≤0ª et
(
x=u2v y=uv2 b.
ZZ
D
xydxdy avec D= n
(x, y)|0≤x,0≤y, x23 +y23 ≤1 o
et (
x=rcos3θ y=rsin3θ
2. R´eponses : 7, a) :13(e8−1)2 , 7, b) :801
2
