2016-2018 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 2 – CORRIGE
IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2016-2018 05/2017
Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2
CORRIGE
Exercice 1 : QCM (2 points) - cochez vos réponses ci-dessous
Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point 1)
(
A∩B) (
∪ A∩B)
...⊂A ⊃B ⊃ ∩A B ⊂ ∪A B
2) Si Card
(
A∩ =B)
Card( )
A −Card( )
B , alors :A = B Card
(
A∪ = ×B)
2 Card( )
B Card( )
A =Card( )
B A et B se croisent 3) Si deux événements A et B sont indépendants, alors :p(A) + p(B) = 1 pA(B) = pB(A) p(A∩B) = p(B) p (B) = p (B) A A 4) Quel est le bon ordre ?
A C
p p p
n n
n ≤ ≤ np ≤Cnp ≤Anp Cnp ≤Anp ≤np Cnp ≤np ≤Anp
Exercice 2 : Cardinaux (4 points)
Une enquête a été menée sur les ventes de deux objets a et b dans un commerce. Sur 200 clients interrogés, 57 ont acheté l'objet a, 103 ont acheté l'objet b, 38 ont acheté les deux objets. On appelle A (respectivement B) l'ensemble des clients ayant acheté l'objet a (resp. b).
1) Calculer Card
(
A∪B)
puis donner la signification concrète de cette valeur. 1 pt(
A B)
57 103 38 122Card ∪ = + − = . 122 clients ont acheté au moins l'un des deux objets.
2) Former un tableau de contingence sur A, B et leurs contraires. 1 pt
A A
B 38 65 103
B 19 78 97
57 143 200
3) A l'aide de ce tableau, donner, en justifiant les réponses et en nommant les ensembles concernés :
a. Le nombre de personnes n'ayant rien acheté. 0,5 pt
(
A B)
78 200(
A B)
Card ∩ = = −Card ∪
b. Le nombre de personnes ayant acheté un seul objet. 0,5 pt
( ) ( )
(
A B A B)
65 19 84(
A B) (
A B)
Card ∩ ∪ ∩ = + = =Card ∪ −Card ∩
4) Donner la probabilité qu'une personne interrogée ait acheté l'objet b, sachant qu'elle a acheté l'objet a.
1 pt
( ) ( )
( )
. %A
A B 38 2
B 66 67
A 57 3
p Card
Card
= ∩ = = ≈
Exercice 3 : Dénombrements (2 points)
Lors d'élections municipales, sept candidats (A, B, C, D, E, F et G) se présentent. Vous répondrez aux questions suivantes en justifiant les outils de dénombrement employés.
1) Au dépouillement du premier tour, ces candidats sont classés par ordre décroissant du nombre de voix obtenues. Combien de classements différents sont-ils possibles, pour ces sept candidats ? 1 pt On calcule le nombre de permutations des 7 candidats : 7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5040.
2) Pour préparer le second tour, on ne retient que les deux candidats ayant obtenu le plus grand nombre de voix. Combien de seconds tours différents sont-ils possibles ? 1 pt Nombre de façons de choisir deux personnes parmi sept : C27 =21.
2016-2018 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 2 – CORRIGE Exercice 4 : Dénombrements et probabilités (5 points)
Un prestidigitateur présente un jeu de 32 cartes (4 couleurs, 8 cartes par couleur) à l'assistance qui ne voit que le verso.
1) Premier jeu : Il demande à la personne A de choisir une carte au hasard, de la retenir, puis de la replacer dans le paquet qu'il mélange aussitôt. Il fait de même avec trois autres personnes B, C et D.
a. Combien de tirages différents, dans l'ordre A,B,C,D, sont-ils possibles ? 0,5 pt Tirages avec remise et avec ordre : 324 = 1 048 576.
b. Quelle est la probabilité que A pioche un cœur ? 0,5 pt
8/32 = 0,25.
c. Quelle est la probabilité que A pioche un cœur et que B pioche un pique ? 0,5 pt Les tirages sont effectués avec remise, les événements sont donc indépendants : la probabilité de l'intersection est le produit des probabilités : 0,25×0,25 = 1/16 = 0,0625.
2) Deuxième jeu : Il demande à la personne A de tirer simultanément quatre cartes.
a. Dénombrer le nombre de tirages différents possibles. 0,5 pt
Les tirages simultanés mènent aux combinaisons : C432=35960.
b. Quelle est la probabilité de piocher quatre trèfles ? 1 pt
On est dans la situation "combinaisons et partition". C48×C240 =70.
prob = 70/35960 = 0.001947
jeu tirage
trèfles 8 4
autres 24 0
c. Quelle est la probabilité de piocher exactement deux rois ? 1 pt On est dans la situation "combinaisons et
partition". C228× =C24 2268. prob = 2268/35960 = 0.06307
jeu tirage
rois 4 2
autres 28 2
d. Combien de tirages possèdent deux rois et deux trèfles exactement ? 1 pt On est dans la situation
"combinaisons et partition", mais l'événement peut correspondre à deux types de tirages différents.
jeu tirage jeu tirage
roi TR 1 1 roi TR 1 0
autres rois 3 1 autres rois 3 2
autres TR 7 1 autres TR 7 2
autres 21 1 autres 21 0
1 1 1 1 0 2 2 0
1 3 7 21 1 3 7 21
C × × ×C C C + × × ×C C C C =441 63+ =504. Exercice 5 : Probabilités conditionnelles (3 points)
Un organisme territorial a conduit une étude dans le secteur de l'artisanat. Sa volonté est d'allouer une subvention aux artisans qui en font la demande (dans la mesure des moyens disponibles), et de préférence à ceux qui ont un projet de développement professionnel et qui désirent le mener à bien.
Les résultats de l'étude sont les suivants :
* 30 % des artisans veulent mener un projet de ce type, et parmi ceux-ci, 92% déclarent avoir besoin d'une subvention et la recevront finalement ;
* Parmi les 70% des artisans restants, un cinquième a déclaré avoir besoin d'une subvention, l'a reçue, mais n'a pas mené son projet à terme.
Si au moins deux tiers des subventions allouées auront servi à des projets viables, l'organisme considèrera l'opération comme réussie.
1) En se basant sur les résultats de l'étude, réaliser au choix : un arbre de choix probabilisé ou un tableau de
contingence établi sur la base de 1000 artisans. 1,5 pt
0,92 S
0,3 P
0,7 P
P P
S 276 140 416
S 24 560 584
300 700 1000 S
S S 0,08 0,2 0,8
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2) Calculez la probabilité qu'un artisan ait un projet de développement mené à bien sachant qu'il a obtenu une subvention. L'opération peut-elle être considérée comme réussie ? 1,5 pt Avec l'arbre :
( ) ( )
( )
S
P S 0,3 0,92 0,276
P 0,6635
S 0,3 0,92 0,2 0,7 0,416
p p
p
∩ ×
= = = ≈
× + × Avec le tableau : S
( )
P 276 0,6635 p = 416≈
La probabilité est légèrement inférieure à 2/3. L'opération est "presque" réussie.
Exercice 6 : Variable aléatoire (4 points)
Une entreprise veut prévoir les coûts de commercialisation de trois produits A, B, C.
A représente 20 % de la quantité vendue, B représente 45%, et C représente 35 %. Une commercialisation classique coûte pour une unité de produit A, B ou C dans cet ordre : 30 €, 36€, 42€, sauf dans 30 % des cas, pour chaque produit, où ce coût doit être majoré de 6 € (commercialisation à l'export).
1) Réaliser un arbre de probabilités détaillant en deux niveaux les six cas de figure possibles, aboutissant aux
différents prix des différents articles. 0,5 pt
0,20 A 0,45 B 0,35 C
2) Donner la loi de probabilité de la variable X : "coût de commercialisation d'une unité". 1 pt
xi 30 36 42 48
prob(X = xi) 0,14 0,375 0,38 0,105
3) Quelle est la probabilité que X soit supérieure à 40 € ? 0,5 pt
0,38 + 0,105 = 0,485
4) Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter sa valeur. 1 pt E(X) = 0,14×30 + 0,375×36 + 0,38×42 + 0,105×48 = 38,7 : coût moyen de commercialisation, à l'unité.
5) Estimer le coût de commercialisation d'une production de 5000 unités, lorsque la production et la commercialisation respectent en gros les indications de l'énoncé. 1 pt 38,7×5000 = 193500 €
coût 30 0,14 36 0,06 36 0,315 42 0,135 42 0,245 48 0,105 prob 0,7
0,3 0,7 0,3 0,7 0,3
