2020-2022 – S1 – Mathématiques – DEVOIR2 « partiel » corrigé page 1 sur 3
IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2020-2022 14/12/2020
Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2
CORRIGE
Exercice 1 : QCM (3 points) - cochez vos réponses ci-dessous
Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point
1) Pour compenser deux baisses successives de 20%, il faut appliquer une hausse de… :
40% 36% 56,25% 44,75%
2) Pour déterminer si ax²+bx+c admet un maximum ou un minimum, on… :
regarde le signe de a calcule ∆ calcule –b/2a calcule x1 et x2
3) Quelle est le coefficient directeur de la droite qui contient les deux points (x, y) suivants : (1, 5) et (6, 7) ?
2,5 0,4 4 0,25
4) Quel ordre est possible dans la comparaison des trois paramètres de position ?
Mo < x < M M < x < Mo x < Mo < M Mo < M < x
Exercice 2 : (4 points)
Pour une entreprise E dont la production peut varier de 0 à 300 unités, le coût total C(x) de fabrication de x unités est donné par la relation : C(x) = x3 – 300x2 + 37500x.
1) Lorsque x unités ont été produites, le coût marginal Cm(x) désigne le coût occasionné par la production d’une unité supplémentaire. On admettra ici que Cm(x) = 3x² – 600x + 37500.
a. Expliquer pourquoi il existe une valeur de x qui rende ce coût marginal minimal. 0,5 pt Il s’agit d’un polynôme du second degré de premier coefficient positif. Il admet donc un minimum.
b. Justifier que ce minimum est positif. 0,5 pt
∆ = 36000 – 4 × 3 × 37500 < 0. Ce polynôme n’admet pas de racines. Il est donc strictement positif (du signe de son premier coefficient) pour tout x. Son minimum est donc également positif.
c. Calculer la valeur de ce coût marginal minimal. 1 pt
Ce minimum est atteint pour x = –b/2a = 100. Il vaut Cm(100) = 3×100² – 600×100 + 37500 = 7500 €.
2) La relation liant prix de vente unitaire p et quantité vendue x est : p(x) = –168,75x + 82500 (autrement dit, quand x unités sont vendues, chacune l’est au prix p(x)). La recette réalisée par la vente de x unités est donc R(x) = x × p(x) = –168,75x 2 + 82500x. On admettra que la recette marginale Rm(x), augmentation de recette procurée par la vente d’une unité supplémentaire, s’exprime par Rm(x) = –337,5x + 82500.
a. Quelle est la recette marginale correspondant à un coût marginal minimal ? 0,5 pt Rm(100) = –337,5×100 + 82500 = 48750 €.
b. Pour quelle valeur de x la recette marginale est-elle égale au coût marginal ? (on résoudra une équation et on arrondira le résultat à l’unité). Combien valent-ils alors ? 1,5 pt Rm(x) = Cm(x) ⇔ –337,5x + 82500 = 3x2 – 600x + 37500 ⇔ 3x2 – 262,5x – 45000 = 0.
∆ = 262,5² – 4 × 3 × 45000 = 608906,25 > 0. Ce polynôme admet deux racines = –86,3 et 173,8.
La valeur positive est la seule cohérente avec une quantité.
La recette marginale est égale au coût marginal lorsque 174 unités sont produites et vendues.
Tous les deux valent alors –337,5×174 + 82500 = 23775 € (ou 23928 € si on fait le calcul avec la formule du coût marginal, la différence venant de l’arrondi effectué sur 173,8).
2020-2022 – S1 – Mathématiques – DEVOIR2 « partiel » corrigé page 2 sur 3 Exercice 3 : (9 points)
Chez une population d’étudiants, parmi ceux qui se logent hors du domicile parental, les dépenses mensuelles pour l’alimentation ont été relevées. Les résultats sont les suivants :
dépense (€) [100 ; 160[ [160 ; 200[ [200 ; 220[ [220 ;300[
nombre d’étudiants 42 96 90 72
1) a. Calculez les fréquences et les concentrations d’effectifs correspondant aux quatre classes de dépenses.
1 pt
fréquences 14% 32% 30% 24%
concentrations 0,7 2,4 4,5 0,9
fréquence = effectif/300 ; concentration = effectif/amplitude
b. Quelle est la classe modale de cette série ? 0,5 pt
Classe modale : [200 ; 220[. (concentration d’étudiants la plus forte, donc augmentation la plus rapide du nombre d’étudiants le long de l’intervalle)
2) Réaliser un diagramme des FCC de cette série. 1,5 pt
une marge d’erreur sera tolérée à l’occasion de lectures graphiques
3) Quelle est la fréquence des étudiants qui dépensent entre 100 et 200 € ? 0,5 pt FCC(200) – FCC(100) = 0,46 – 0 = 0,46 = 46%.
4) a. Par lecture graphique, donner la dépense médiane, ainsi que les deux autres quartiles. 1 pt Voir lecture graphique en vert : M = 203 €, Q1 = 175 €, Q3 = 219 €.
b. Calculer la dépense médiane de ces étudiants. 1 pt
(M-200)/20 = 4/30 donc M-200 = 2,67 donc M = 202,67.
c. Déterminer l’équation de la droite contenant les points (200 , 46) et (220 , 76). 0,5 pt Pente : (76 – 46)/(220 – 200) = 1,5. L’équation s’écrit y = 1,5x + b.
Pour déterminer b, utilisons le point (200 , 46) : 46 = 1,5×200 + b ; donc b = –254.
L’équation de cette droite est donc y = 1,5x – 254.
d. Retrouver alors la valeur de la médiane à l’aide de l’équation de cette droite. 0,5 pt Le point dont l’abscisse est la médiane a pour ordonnée 50. On a donc : 50 = 1,5×M – 254, donc M = 202,67.
5) a. Donner la dépense moyenne x et l’écart type σ. 0,5 pt
dépenses xi (centres des classes) 130 180 210 260 fréquences fi (en % d’étudiants) 14 32 30 24 Dépense moyenne : x = 201,2 € ; écart type : σ = 41,31 €.
242,5 160
14 83
75
Q3
Q1
25
M 50
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b. Comment interpréter ces deux paramètres ? 1 pt
La moyenne signifie que la dépense totale vaut 201,2 × 300 = 60360 €
L’écart type est la distance moyenne entre les dépenses des 300 étudiants et la dépense moyenne ; la dispersion moyenne des dépenses est 201,2 ± 41,31 €.
c. Donner la fréquence des étudiants dont la dépense se situe à moins d’un écart type de distance de la
dépense moyenne. 1 pt
Intervalle [x −σ ; x +σ ] arrondi : [160 ; 242,5]. La lecture graphique en rouge montre que le pourcentage d’étudiants dépensant entre 160 € et 242,5 € est : 83 – 14 = 69. Cela concerne 69% des étudiants.
Exercice 4 : (4 points)
Une étude démographique porte sur le nombre d’enfants scolarisés par foyer sondé.
Les résultats sont les suivants :
nombre d’enfants scolarisés 0 1 2 3 4 5
nombre de foyers 35 140 118 45 30 12
1) Quelle est le caractère étudié ici ? 0,5 pt
Le caractère étudié est le nombre d’enfants par foyer.
2) Donner le nombre médian d’enfants scolarisés dans cette étude. 1 pt 380 familles ont été sondées. On atteint 190 familles cumulées à 2 enfants scolarisés. M = 2.
3) Quel est le taux de foyers comportant un ou deux enfants scolarisés ? 1 pt (140 + 118) / 380 = 258 / 380 = 0,6789 = 67,89 %.
4) On apprend que l’an dernier une étude similaire avait été réalisée, et en comparant les deux séries, on s’est aperçu que le nombre moyen d’enfants scolarisés par foyer a augmenté de 4% en un an. Quel était ce
nombre moyen l’an dernier ? 1,5 pt
Nombre moyen d’enfants par foyer cette année : x = 1,818.
L’an dernier, cette moyenne était égale à 1,818/1,04 = 1,748 enfant/foyer.
__________ FIN DU SUJET __________
