IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2018-2020 05/2019
Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2
La calculatrice graphique est autorisée. Aucun document personnel n'est autorisé.
Tout sera rédigé sur le présent feuillet.
Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.
Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.
Exercice 1 - ensembles (3 points)
Dans cet exercice, A et B sont des sous-ensembles d'un ensemble E.
1) Que désigne l'ensemble A ? 0,5 pt
2) Que signifie la phrase "Les ensembles A et B sont disjoints" ? 0,5 pt
3) Que signifie la phrase "Les ensembles A et B forment une partition de E" ? 1 pt
4) Simplifier, en détaillant, l’expression
AB
AB
. 1 ptNOM, Prénom : Groupe :
1) Ces indications sont incomplètes. Organiser un tableau de contingence croisant les quantités d'achat (et
de non-achat) des deux objets, puis compléter ce tableau. 1,5 pt
2) Sur ce lot de tickets de caisse, calculer :
a. le taux de clients ayant acheté l'objet A. 0,5 pt
b. le taux de clients n'ayant acheté que l'objet A. 0,5 pt
c. le taux de clients ayant acheté l'objet B, parmi ceux qui ont acheté l'objet A. 0,5 pt
Exercice 3 - dénombrements (4,5 points) - les trois questions sont indépendantes
1) Un sac contient huit jetons numérotés de 1 à 8. On en tire trois successivement et sans remise, pour former un nombre de 3 chiffres. Combien de tels nombres sont-ils possibles ? 1 pt
2) En parcourant les rues d'une grande ville, on a le choix à chaque carrefour de tourner à gauche, de tourner à droite, ou d'aller tout droit. Mon parcours doit passer par 6 carrefours. Combien de parcours différents
pourrais-je effectuer ? 1 pt
3) Lors d'un concours, 80 candidats se présentent à la première phase. Seuls 5 seront qualifiés pour la seconde phase.
a. Combien existe-t-il de groupes qualifiés différents possibles ? 1 pt
b. Si les candidats se composent de 30 hommes et 50 femmes, combien existe-t-il de groupes qualifiés
possibles contenant deux hommes et trois femmes ? 1,5 pt
Exercice 4 - probabilités (4,5 points)
Nous sommes en plein hiver. Les chances qu’il neige demain (événement N) sont estimées à 2 sur 3. S’il neige demain, 120 étudiants sur les 160 de la promotion seront présents en cours. S’il ne neige pas, 150 étudiants seront présents. Le lendemain, dans la liste des 160 étudiants, on pioche un nom au hasard. L’événement A est
« l’étudiant est absent ».
1) Dresser un arbre de choix probabilisé sur les événements N et A. 1 pt
3) Sachant qu’il est présent, quelle est la probabilité qu’il neige ? 1,5 pt
4) Les événements N et A sont-ils indépendants ? 1 pt
Exercice 5 - variable aléatoire et loi de probabilités (5 points)
Un nouveau jeu de grattage se présente sous la forme d’un ticket sur lequel se trouvent disposés 30 disques dorés. Quatre de ces disques sont « gagnants » : si on les grattait, on découvrirait une étoile ; les 26 autres sont « perdants » (pas d’image sous la dorure). Pour jouer, on doit gratter trois disques au hasard.
1) Quatre événements sont possibles à l’issue du jeu : obtenir trois étoiles, ou deux, ou une, ou aucune.
Montrer que leurs probabilités sont, dans cet ordre : 0,0009852 ; 0,03842 ; 0,3202 ; 0,6404. 1,5 pt
2) Le ticket coûte 2€. Après grattage des trois disques choisis, les gains sont les suivants : 500€ pour 3 étoiles, 10€ pour 2 étoiles, 2€ pour une étoile et 0€ si aucune étoile n’est découverte. On désigne par X la variable aléatoire « gain à l’issue du jeu compte tenu du coût du ticket ».
a. A l’aide des résultats donnés en question 1, donner la loi de probabilité de X. 0,5 pt
b. Donner son espérance E(X) et son écart type (X). Interpréter ces valeurs. 2 pts
c. Si j’achète 500 tickets et que je les joue tous, à quel gain global puis-je m’attendre ? 0,5 pt
d. Quel pourcentage de ses recettes la société qui détient ce jeu redistribue-t-elle en gains ? 0,5 pt
