2020-2022 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 2 CORRIGE – page 1/3
IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2020-2022 05/05/2021
Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2
CORRIGÉ
Exercice 1 : dénombrements (7 points)
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes
1) On lance dix pièces de monnaie, chacune pouvant donner le résultat « pile » ou « face ». Combien y a-t-il
d’issues possibles à cette expérience ? 1,5 pt
Les lancers conduisent forcément aux p-listes, donc ici : 210 = 1024 issues possibles.
2) a. De combien de façons peut-on choisir quatre étudiants pris au hasard dans un groupe de 25 étudiants ? 1,5 pt On choisit quatre étudiants, sans répétition et sans ordre précis.
Il y a en tout C425=12650 façons de procéder.
b. Si ce groupe se compose de 10 hommes et 15 femmes, quelle est la probabilité d’avoir choisi seulement
une femme, en choisissant au hasard quatre étudiants ? 1,5 pt
Le groupe d’étudiants est partitionné en deux catégories : hommes et femmes.
Schématisons l’ensemble E des étudiants ainsi que les tirages T souhaités :
E T
hommes 10 3
femmes 15 1
total 25 4
Le nombre de tirages T correspondants est : C103 ×C115=120 15× =1800. La probabilité de tomber sur un tel tirage est 1800 %
p 14,23
12650
= ≈ .
3) On souhaite déterminer le nombre d’entiers, entre 0 et 9999, dont les chiffres sont différents et qui ne contiennent pas le chiffre 5. Pour cela, on décomposera le problème en fonction du nombre de chiffres présents : il faut comptabiliser à part les nombres compris entre 1000 et 9999, ceux compris entre 100 et 999, ceux compris entre 10 et 99, et les entiers de 0 à 9. Combien de tels nombres existe-t-il en tout ?
2,5 pts
- nombres d’un seul chiffre : les 9 nombres de 0 à 9 (sauf le 5) sont des solutions ;
- nombres de deux chiffres : on a 8 possibilités pour le choix du premier chiffre (de 1 à 9 sauf 5), puis 8 pour le second (de 0 à 9 sauf 5 et sauf le précédent), soit 8×8 = 64 solutions ;
- nombres de trois chiffres : il y a 8 choix pour le premier chiffre (de 1 à 9 sauf 5), puis on choisit les deux suivants parmi 8 chiffres (de 0 à 9 sauf 5 et sauf le premier), sans répétition et en tenant compte de l’ordre. Il y a A28=56 choix pour ces arrangements de deux chiffres, et donc : 8×A28=448 nombres de trois chiffres différents ne contenant pas le chiffre 5 ;
- nombres de quatre chiffres : il y a 8 choix pour le premier chiffre (de 1 à 9 sauf 5), puis on choisit les trois suivants parmi 8 chiffres (de 0 à 9 sauf 5 et sauf le premier), sans répétition et en tenant compte de l’ordre. Il y a A38=336 choix pour ces arrangements de trois chiffres, d’où : 8 A× 38=2688 solutions (raisonnement identique à celui du point précédent) ;
En tout, on a comptabilisé 9 + 64 + 448 + 2688 = 3209 nombres, entre 0 et 9999, dont tous les chiffres sont différents et dont aucun n’est égal à 5.
2020-2022 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 2 CORRIGE – page 2/3 Exercice 3 : probabilités et variable aléatoire (7 points)
Un site web propose un quizz comportant l’une après l’autre deux séries de questions. 60% des gens répondent honorablement (majorité de bonnes réponses) aux questions de la première série. Si une personne est dans ce cas, alors le site choisit une deuxième série plus difficile, dans laquelle seuls 30% des gens ont une majorité de bonnes réponses. Au contraire, si une personne n’a pas eu un résultat honorable à la première série, alors le site choisit une deuxième série moins difficile, dans laquelle 50% des gens ont une majorité de bonnes réponses.
Evénement A : répondre honorablement à la première série Evénement B : répondre honorablement à la deuxième série
1) Former, au choix, un arbre ou un tableau pour représenter la situation. 1,5 pt B
B B
B
2) Si vous tentez le quizz, quelle est la probabilité que…
a. vous répondiez honorablement aux deux séries ? 1 pt
( )
%p A∩B =0,6 0,3× =18 ou p A
(
∩ =B)
10018 =18 %b. vous répondiez honorablement à la deuxième série ? 1,5 pt
( ) ( ) ( ) %
p B =p A∩ +B p A∩ =B 0,6 0,3 0,4 0,5× + × =38 ou p B
( )
=10038 =38 %c. vous répondiez honorablement à la première série, sachant que vous n’avez pas bien répondu à la
deuxième série ? 1,5 pt
( ) ( )
( )
%B
p A B 0,6 0,7
p A 67,74
p B 1 0,38
∩ ×
= = ≈
− ou pB
( )
A 42 67,74 %=62≈
3) Des points sont accumulés en cas de réussite : réussir à la série A accorde 5 points et réussir à la série B accorde 10 points. La variable aléatoire X désigne le score total auquel il est possible d’accéder pour des joueurs qui participent successivement aux deux séries.
a. Quelles sont les valeurs possibles de X ? 0,5 pt
L’événement A∩B donne 15 points, l’événement A∩B donne 10 points, l’événement A∩B donne 5 points et enfin A∩B ne donne pas de point.
b. Donner la loi de probabilité de cette variable aléatoire. 1 pt
xi 15 10 5 0
pi 0,18 0,2 0,42 0,2
Exercice 4 : loi de probabilités (6 points)
Jouons à faire tourner une roue. Celle-ci se divise en 50 secteurs de même taille. Si on tombe sur le secteur n°1, c’est le jackpot : on gagne 80 € ; si on tombe sur l’un des secteurs n°2 à n°10, on gagne 3 € ; sinon, on ne gagne rien. Pour pouvoir jouer (une fois), il faut s’acquitter d’une somme de 3 €.
On appelle X la variable aléatoire désignant le gain (net : enlever la mise de 3 €) à l’issue d’une partie.
1) Quelle est la loi de probabilité de X ? 2 pts
xi 77 0 –3
pi 1/50 9/50 40/50
2) a. Donner l’espérance et l’écart type de X ; interpréter concrètement l’espérance. 2 pts E(X) = –0,86 € et σ(X) = 11,18 € En jouant un grand nombre de fois à ce jeu, on s’attendra à perdre en moyenne environ 86 cents par partie.
A 0,6 A
0,4
0,3 0,7 0,5 0,5
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b. Comment peut-on utiliser la valeur de l’écart type ? (donner la signification de ce dernier et la façon dont il permet une prévision du gain moyen ou global sur un grand nombre de parties, nombre à choisir)
2 pts L’écart type de 11,18 € est la variation moyenne (quadratique) du gain entre une partie et la suivante.
De plus, sur n parties, l’espérance est multipliée par n alors que l’écart type est à multiplier par la racine carrée de n. Cela permet la création d’intervalles de confiance pour la prévision des gains.
Par exemple :
* sur 100 parties, le gain global espéré est –86 €, avec un écart type de 111,8 € ; le gain moyen espéré est donc –0,86 €, avec un écart type de 1,118 € ; intervalle de confiance à 95% du gain global :
[–86 – 1,96×111,8 ; –86 + 1,96×111,8] = [–305,13 ; 133,13]
intervalle de confiance à 95% du gain moyen :
[–0,86 – 1,96×1,118 ; –0,86 + 1,96×1,118] = [–3,0513 ; 1,3313]
* sur 10 000 parties, le gain global espéré est –8600 €, avec un écart type de 1118 € (autant dire que les chances d’un gain global des joueurs sur 10 000 parties sont quasi nulles) ;
le gain moyen espéré est donc –0,86 €, avec un écart type de 0,1118 € ; intervalle de confiance à 95% du gain global :
[–8600 – 1,96×1118 ; –8600 + 1,96×1118] = [–10791,28 ; –6408,72]
intervalle de confiance à 95% du gain moyen :
[–0,86 – 1,96×0,1118 ; –0,86 + 1,96×0,1118] = [–1,079128 ; –0,640872]
____________________ FIN DU SUJET ____________________
