IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion 2017-2019 08/11/2018 Semestre 3 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2017-2019 08/11/2018

Semestre 3 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2

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Tout sera rédigé sur le présent feuillet.

Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.

Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.

Exercice 1 (4 points)

Dans un groupe de 20 étudiants, 14 ont eu au moins la moyenne en mathématiques (étudiants "M").

Vous devez piocher au hasard 10 personnes de ce groupe. La variable aléatoire X donne le nombre d'étudiants

"M" parmi ces 10.

1) Quelle est votre espérance, en termes de nombre d'étudiants "M" obtenus ? 1 pt

2) Donner, en justifiant, la loi de probabilité de X. 1,5 pt

3) Quelle est la probabilité que 7 étudiants sélectionnés soient "M" ? 1,5 pt

NOM, Prénom : Groupe :

Exercice 2 (5,5 points)

À la sortie d'une chaîne de fabrication de boulons, un échantillon est prélevé pour effectuer une série de mesures visant à dire combien sont conformes ou ne le sont pas. Il en résulte que 1,5 % de la production n'est pas conforme et est donc inutilisable.

1) On conditionne les boulons produits dans des boîtes qui en contiennent 20. La production étant très grande, on considérera que 20 est un petit nombre et que le remplissage d'une boîte est assimilé à un tirage avec remise. Soit X la variable aléatoire associée au nombre de boulons non conformes présents dans une boîte.

a. Quelle est la loi de probabilité de X ? Justifier. 1 pt

b. Une boîte pourra être retournée par le client, puis remboursée, si au moins 2 boulons non conformes s'y

trouvent. Quelle est la probabilité que cela se produise ? 2 pts

c. Sur un total de 1000 boîtes ainsi conditionnées, à combien peut-on estimer le nombre de celles qui

seront finalement à rembourser ? 0,5 pt

2) Compte tenu des résultats précédents, raisonnons sur le nombre de boîtes qui seront refusées, dans un lot de 100 boîtes. Ce nombre est variable, on le notera Y. On considérera ici l'espérance de cette variable, arrondie à 4 : on s'attend en moyenne à 4 boîtes refusées toutes les 100 boîtes produites.

a. Justifier que Y peut être distribuée par une loi de Poisson, dont le paramètre sera donc 4. 1 pt

b. La situation est jugée problématique par l'entreprise lorsqu'au moins 8 boîtes sur cent sont refusées.

Quelle est la probabilité que cela se produise ? 1 pt

Exercice 3 (7,5 points)

Une entreprise qui commercialise des articles de bureau envoie un catalogue de ses produits à 600 sociétés.

En moyenne, sur les très nombreuses sociétés établies en France, une sur dix passe commande après avoir reçu ce genre de catalogue. On appelle X le nombre de sociétés (inconnu, variable) qui passeront commande parmi les 600.

1) En analysant la loi de probabilité de X, montrer que cette variable peut être décrite par la loi normale :

N

(60 ; 7,348) 2 pts

2) Grâce à cette loi normale, déterminer :

a. la probabilité pour que plus de 70 sociétés passent commande. 1,5 pt

b. la probabilité pour qu'au moins 55 sociétés passent commande. 1,5 pt

3) Au lieu de 600, combien de catalogues envoyer pour que la probabilité de l'événement souhaité en question

2b atteigne 95% ? 2,5 pts

Exercice 4 (3 points)

A l'aide du formulaire seul (table de la loi normale centrée réduite), déterminer dans

N

(0 ; 1) :

a. p(U < 1,64). 1 pt

b. p(U < – 0,77). 1 pt

c. p(-2 < U < 2). 1 pt

IUT TC Formulaire du devoir Semestre 3 MATHEMATIQUES

Lois de probabilités

Loi hypergéométrique

H

(n, a, N) n : nombre de tirages ; a : nombre d’individus « succès » ; N : taille de la population ; k : nombre de succès souhaités parmi les n tirages

approximation hypergéom. par binomiale : si N ≥ 20n ; on a p = a/N Loi binomiale

B

_{(n, p)} n : nombre de tirages p, q : probabilité de succès, d’échec

approximation binomiale par Poisson : si n ≥ 30 et p < 0,1 et np< 10 ; on a λ ^{= np} Loi de Poisson

P

_(λ)

Approximation de

B

(n, p) par

N

_{(µ, σ}) : si n ≥ 30 et npq ≥ 5 ; on posera µ ^{= np et} σ ^{= npq} Approximation de

P

_{(λ) par}

N

_{(µ, σ) : si λ} ≥ 20 ; on posera µ = λ et σ =

λ

schéma récapitulatif :

H

(n, a, N)

B

_{(n, p)}

si N > 20n

si n ≥ 30 si n ≥ 30 si p < 0,1 si npq ≥ 5 si np< 10

avec λ = np

P

_(λ)

N

_{(µ, σ}) avec µ ^{= np et} σ ⁼ npq si λ≥ 20 avec µ ⁼ λ ^et σ ⁼

λ

( )

p X =k =C^k_np q^{k n k−}

( ) ( )

2

N N

V N N 1

a a n

X =n − −

−

( )

p e !

k

X k

k

= = −^λ λ ^E

( )

^{X =}

^λ

^{; V}

( )

^{X =}

^λ (

X k

)

^ka n^{n ka}

−

× −

= = ^N

N

C C

p C ^E

( )

^{X =n}_N^a

( )

E X =np ^V

( )

^{X =npq}

Tables

Table de la loi de Poisson

Table de probabilités : valeurs de p(X = k) pour différentes lois de Poisson λ ^{0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9}

k 0 0,90484 0,81873 0,74082 0,67032 0,60653 0,54881 0,49659 0,44933 0,40657 1 0,09048 0,16375 0,22225 0,26813 0,30327 0,32929 0,34761 0,35946 0,36591 2 0,00452 0,01637 0,03334 0,05363 0,07582 0,09879 0,12166 0,14379 0,16466 3 0,00015 0,00109 0,00333 0,00715 0,01264 0,01976 0,02839 0,03834 0,04940 4 0,00000 0,00005 0,00025 0,00072 0,00158 0,00296 0,00497 0,00767 0,01111 5 0,00000 0,00000 0,00002 0,00006 0,00016 0,00036 0,00070 0,00123 0,00200 6 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00001 0,00004 0,00008 0,00016 0,00030

λ ^{1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5}

k 0 ^{0,36788 0,22313} 0,13534 0,08208 0,04979 0,03020 0,01832 0,01111 0,00674 1 ^{0,36788 0,33470} 0,27067 0,20521 0,14936 0,10569 0,07326 0,04999 0,03369 2 ^{0,18394 0,25102} 0,27067 0,25652 0,22404 0,18496 0,14653 0,11248 0,08422 3 ^{0,06131 0,12551} 0,18045 0,21376 0,22404 0,21579 0,19537 0,16872 0,14037 4 ^{0,01533 0,04707} 0,09022 0,13360 0,16803 0,18881 0,19537 0,18981 0,17547 5 ^{0,00307 0,01412} 0,03609 0,06680 0,10082 0,13217 0,15629 0,17083 0,17547 6 ^{0,00051 0,00353} 0,01203 0,02783 0,05041 0,07710 0,10420 0,12812 0,14622 7 ^{0,00007 0,00076} 0,00344 0,00994 0,02160 0,03855 0,05954 0,08236 0,10444 8 ^{0,00001 0,00014} 0,00086 0,00311 0,00810 0,01687 0,02977 0,04633 0,06528 9 ^{0,00000 0,00002} 0,00019 0,00086 0,00270 0,00656 0,01323 0,02316 0,03627 10 ^{0,00000 0,00000} 0,00004 0,00022 0,00081 0,00230 0,00529 0,01042 0,01813 11 ^{0,00000 0,00000} 0,00001 0,00005 0,00022 0,00073 0,00192 0,00426 0,00824 12 ^{0,00000 0,00000} 0,00000 0,00001 0,00006 0,00021 0,00064 0,00160 0,00343

λ ^{5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10}

k 0 ^{0,00409 0,00248} 0,00150 0,00091 0,00055 0,00034 0,00020 0,00012 0,00007 0,00005 1 ^{0,02248 0,01487} 0,00977 0,00638 0,00415 0,00268 0,00173 0,00111 0,00071 0,00045 2 ^{0,06181 0,04462} 0,03176 0,02234 0,01556 0,01073 0,00735 0,00500 0,00338 0,00227 3 ^{0,11332 0,08924} 0,06881 0,05213 0,03889 0,02863 0,02083 0,01499 0,01070 0,00757 4 ^{0,15582 0,13385} 0,11182 0,09123 0,07292 0,05725 0,04425 0,03374 0,02540 0,01892 5 ^{0,17140 0,16062} 0,14537 0,12772 0,10937 0,09160 0,07523 0,06073 0,04827 0,03783 6 ^{0,15712 0,16062} 0,15748 0,14900 0,13672 0,12214 0,10658 0,09109 0,07642 0,06306 7 ^{0,12345 0,13768} 0,14623 0,14900 0,14648 0,13959 0,12942 0,11712 0,10371 0,09008 8 0,08487 0,10326 0,11882 0,13038 0,13733 0,13959 0,13751 0,13176 0,12316 0,11260 9 0,05187 0,06884 0,08581 0,10140 0,11444 0,12408 0,12987 0,13176 0,13000 0,12511 10 ^{0,02853 0,04130} 0,05578 0,07098 0,08583 0,09926 0,11039 0,11858 0,12350 0,12511 11 ^{0,01426 0,02253} 0,03296 0,04517 0,05852 0,07219 0,08530 0,09702 0,10666 0,11374 12 ^{0,00654 0,01126} 0,01785 0,02635 0,03658 0,04813 0,06042 0,07277 0,08444 0,09478 13 0,00277 0,00520 0,00893 0,01419 0,02110 0,02962 0,03951 0,05038 0,06171 0,07291 14 ^{0,00109 0,00223} 0,00414 0,00709 0,01130 0,01692 0,02399 0,03238 0,04187 0,05208 15 ^{0,00040 0,00089} 0,00180 0,00331 0,00565 0,00903 0,01359 0,01943 0,02652 0,03472 16 ^{0,00014 0,00033} 0,00073 0,00145 0,00265 0,00451 0,00722 0,01093 0,01575 0,02170

Table de la loi normale centrée réduite Le tableau donne la probabilité p(U < u) Obtention de u à partir de x : x

u µ

σ

= −

u 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 3,6 0,999841 0,999847 0,999853 0,999858 0,999864 0,999869 0,999874 0,999879 0,999883 0,999888 3,7 0,999892 0,999896 0,999900 0,999904 0,999908 0,999912 0,999915 0,999918 0,999922 0,999925 3,8 0,999928 0,999931 0,999933 0,999936 0,999938 0,999941 0,999943 0,999946 0,999948 0,999950 3,9 0,9999519 0,9999539 0,9999557 0,9999575 0,9999593 0,9999609 0,9999625 0,9999641 0,9999655 0,9999670

U u

p(U < u)