2019-2021 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 1 – page 1 sur 7
IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2019-2021 03/2020
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Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2
La calculatrice graphique est autorisée. Aucun document personnel n'est autorisé.
Tout sera rédigé sur le présent feuillet.
Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la tenue de la copie.
Les résultats décimaux seront présentés arrondis à quatre chiffres significatifs.
Exercice 1 : test du Khi-deux (4 points)
Une étude de marché croise deux caractéristiques de la clientèle d’un fournisseur d’outillage : le type de clientèle (particulier, professionnel) et la catégorie de biens achetés (outils, matériaux, produits, électricité).
Le tableau suivant montre, à l’issue de l’étude, le nombre de clients de chaque croisement type/catégorie (par exemple : 22 clients professionnels ont acheté des matériaux).
outils matériaux produits électricité
particulier 32 25 18 25 100
professionnel 18 22 21 9 70
50 47 39 34 170
Après avoir effectué un test du Khi-deux, discuter du degré de confiance que l’on peut accorder à l’affirmation « La catégorie de biens achetés dépend du type de clientèle ».
Hypothèse nulle (H0) : type de clientèle et catégorie de bien acheté sont indépendants Khi-deux calculé :
Des sous-totaux du tableau d'observations, on déduit un tableau d'effectifs théoriques : 29,4117647 27,6470588 22,9411765 20 100
20,5882353 19,3529412 16,0588235 14 70
50 47 39 34 170
Puis, la comparaison des deux tableaux précédents nous permet d'obtenir les Khi-2 partiels : 0,22776471 0,2534418 1,06425339 1,25
0,32537815 0,36205972 1,52036199 1,78571429
6,78897405
Le total apparaissant en bas, à droite, est notre χ²calc. Khi-deux limite : avec 3 ddl ; au seuil de 5%, χ²lim = 7,82 et au seuil de 10%, χ²lim = 6,25.
Comparaison et décision : Au seuil de 5%, χ²lim > χ²calc . On ne peut donc pas rejeter l'hypothèse nulle à ce seuil (on a plus de 5% de chances de se tromper si on affirme la corrélation des variables).
Au seuil de 10%, χ²lim < χ²calc . On peut donc rejeter l'hypothèse nulle à ce seuil (on a moins de 10% de chances de se tromper si on affirme la corrélation des variables).
NOM, Prénom : Groupe :
2019-2021 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 1 – page 2 sur 7 Exercice 2 : régression linéaire (8,5 points)
Une étude a eu pour but de comparer les habitudes de dépenses des particuliers en équipements high-tech, comparées au revenu de ces personnes. Chaque colonne du tableau ci-dessous représente, dans une région française donnée, le revenu mensuel médian des actifs (X) et la dépense mensuelle moyenne (Y) en équipements high-tech.
région A B C D E F
revenu X (€) 1550 1620 1770 1850 1930 2000
dépense Y (€) 57 61 66 73 76 82
1) a. Calculer la covariance puis le coefficient de corrélation linéaire, pour le couple
(
X Y,)
.Interpréter ces deux paramètres. 2 pts
(
,)
749720 1786,66667 69,1666667 1375,56Cov X Y = 6 − × ≈ , positive, donc lorsque le revenu augmente, la dépense a tendance à augmenter.
1375,55556
0,9901 160,2775 8,66827
ρ≈ ≈
× , très proche de 1, donc la corrélation linéaire entre X et Y est excellente.
b. Donner, à l’aide de la calculatrice, l’équation de la droite de régression de Y en X. 0,5 pt y’ = 0,05355x – 26,50
c. Déterminer l’intervalle de confiance à 99% de la dépense en équipements high-tech estimée pour des
individus dont le revenu médian serait 2500 €. 2,5 pts
y' 56,4939446 60,2422145 68,2742215 72,5579585 76,8416955 80,5899654 z 1,00895769 1,01257898 0,9666899 1,00609225 0,98904637 1,0174964 z ≈1,0001436 ; on prendra 1. σz ≈0,017374.
x0 = 2500, donc y’0 = 0,05355×2500 – 26,50 = 107,36.
niveau de confiance : 99%, donc u = 2,58.
Intervalle : I=y′0
(
z −2,58σz) (
;y′0 z +2,58σz)
=[
102,6 ; 112,2]
d. Parmi ces derniers, quel pourcentage dépenseraient plus de 102,6 € ? 1 pt Environ 99,5% (99% dans l’intervalle + 0,5% au-delà de 112,2€.
2) a. Déterminer l’équation de la droite de Mayer relative au tableau T. 1,5 pt Découpons le tableau de l’énoncé en deux groupes : {A, B, C} et {D, E, F} (en effet, les valeurs de X y sont données dans l’ordre croissant). Les coordonnées de leurs points moyens sont :
G1(1646,6667 ; 61,333333) et G2(1926,66667 ; 77)
La droite de Mayer, (G1G2), a une équation de la forme y’ = ax + b.
( )
:2 1
1 1
2 1
0,05595 et 30,80
0,05595 30,80
G G
G G
G G
M
y y
a b y a x
x x
D y x
= − ≈ = − × ≈ −
−
′ = −
b. Quelle estimation ponctuelle de Y serait donnée par cette droite pour des individus de revenu médian 2500 € ? Quel est l’écart en pourcentage avec l’estimation ponctuelle calculée en question 1)c. ?
1 pt
:
0,05595 2500 30,80 109,08 109,08 107,36
écart en pourcentage 100 1,598
107,36
y′ = × − =
− × ≈
Les estimations ponctuelles par la méthode des moindres carrés et par la méthode de Mayer présentent (pour x = 2500) une différence de 1,598%.
2019-2021 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 1 – page 3 sur 7 Exercice 3 : tableau croisé (3,5 points)
Un commercial analyse son activité et son efficacité. Il a classé les commandes de ses clients en fonction de deux variables : la durée d'une visite (X, en minutes) donnant lieu à une commande, et le nombre d'articles commandés (Y) à l’issue de cette visite. Les nombres de visites sont visibles dans les intersections du tableau ci- contre.
X : durée d’une visite (minutes)
Y : nombre d’articles commandés par visite
1 2 3 4
[0 ; 30[ 4 2 1 0
[30 ; 60[ 2 5 4 1
[60 ; 90[ 0 5 6 4
1) Que signifie l'effectif "6" du tableau ? 1 pt
6 visites ont duré entre 60 et 90 minutes et donné lieu à trois articles commandés.
2) Calculer manuellement le temps moyen passé par commande passée. 1,5 pt temps moyen : 7 15 12 45 15 75 1770 minutes
52,06 minutes/commande
7 12 15 34 commandes
× + × + × = ≈
+ + .
3) Quelle procédure faudrait-il suivre pour estimer le nombre d’articles vendus lors d’une visite, pour un
groupe de visites dont la durée serait de deux heures ? 1 pt
Il faudrait modéliser la relation entre les deux variables par une régression linéaire (si le nuage de points montre que cette régression est pertinente) puis établir un intervalle de confiance du nombre d’articles commandés par visite. Sachant que la distribution des effectifs sur les lignes 2 et 3 du tableau est relativement symétrique autour d’un maximum, on pourrait simplement se positionner au centre de l’intervalle (donc sur l’estimation ponctuelle) pour donner une estimation du nombre d’articles vendus lors d’une visite.
Exercice 4 : changement de variable (4 points)
Le tableau ci-contre donne les tarifs de livraison d’une société privée, en France métropolitaine, en fonction de la masse de la lettre ou du colis envoyé.
Notre objectif est d’analyser et modéliser, grâce à ce tableau, le rythme de variation de Y en fonction de X, pour ensuite proposer un tarif convenable à appliquer dans le cas de colis plus lourds que ceux proposés dans ce tableau.
X : masse (g) Y : tarif (€)
[0 ; 20[ 0,61
[20 ; 50[ 1,02
[50 ; 100[ 1,55 [100 ; 250[ 2,45 [250 ; 500[ 3,3 [500 ; 1000[ 4,35 [1000 ; 2000[ 5,65 [2000 ; 3000[ 6,55 1) Une représentation graphique de ce tableau montrerait clairement qu’une régression linéaire serait
inadaptée ici. On propose d’effectuer le changement de variable suivant : T =X0,3.
a. Après avoir entré, dans votre calculatrice, les valeurs de T et celles de Y, calculer le coefficient de corrélation linéaire entre ces deux variables, puis interpréter. 1,5 pt
( )
191,78Cov , 5,7367 3,185 5,701
T Y = 8 − × ≈ ; 5,701
r 0,9990
2,797 2,040
= ≈
×
TY .
Ce coefficient est très proche de 1. La corrélation linéaire entre T et Y est très forte.
b. Donner, à l’aide de votre calculatrice, l’équation de la droite de régression de Y en fonction de T selon la méthode des moindres carrés. En déduire une relation entre Y et X. 1 pt y’ = 0,7287t – 0,9954 ⇔ y’ = 0,7287X0 ,3 – 0,9954
2) Selon la relation trouvée précédemment, quel tarif serait à appliquer pour des colis pesant 5 kg ? 1,5 pt y’0 = 0,7287 ×50000,3 – 0,9954 ≈ 8,39 €
____________________ FIN DU SUJET ____________________
