2017-2019 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE – page 1 sur 3
IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2017-2019 10/11/2017
Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2
CORRIGE
Exercice 1 : taux et pourcentages (6 points)
Les questions 1 et 2 sont indépendantes : elles représentent deux exercices différents.
1) L'indice des prix du logement est fixé à 1000 pour l'année 2012, au cours de laquelle le loyer moyen était de 8 € par mètre carré en France.
a. Quel est l'indice des prix en 2017, sachant que le loyer moyen est actuellement de 9 € ? 1 pt L'indice des prix varie en proportion du loyer moyen. Donc l'indice 2017 vaut 1000×9÷8 = 1125 points.
b. De quel taux a-t-il augmenté entre 2012 et 2017 ? 1 pt
avec les indices : 125/1000 = 12,5% ; avec les prix : 1€/8€ = 12,5%.
c. Quel est le loyer moyen en 2016, sachant qu'il a augmenté de 2% de 2016 à 2017 ? Répondre avec une
précision de quatre décimales. 1 pt
Il a été multiplié par 1,02. Donc loyer(2016) = loyer(2017)/1,02 ≈ 8,8235 €.
2) Un certain modèle d'automobile perd de sa valeur avec le temps. Neuf, en sortie d'usine, il vaut 16 000 €. La première année, il perd 20% de sa valeur. La deuxième année, il perd 17% de sa valeur restante. À partir de sa troisième année, il perd, chaque année, 15% de sa valeur restante.
a. Calculer sa valeur lorsqu'il est âgé d'un an. 1 pt
16 000 × 0,8 = 12 800 €
b. Calculer sa valeur lorsqu'il est âgé de dix ans. 1 pt
16 000 × 0,8 × 0,83 × 0,858≈ 2 894,94 €
c. Quelle est la valeur à neuf d'un véhicule qui se revend 9000 €, âgé de quatre ans, et dont la valeur a diminué selon les mêmes règles que celles présentées dans l'énoncé ? 1 pt Il faut diviser la valeur finale par les coefficients de variation applicables les quatre premières années : 9000 ÷ 0,85 ÷ 0,85 ÷ 0,83 ÷ 0,8 ≈ 18 760,16 €.
Exercice 2 : mathématiques financières (4 points)
Un particulier utilise régulièrement son compte rémunéré, qui lui rapporte 3% par an, en intérêts composés.
Le 1er juillet 2013, il ouvre le compte et dépose 2000 € dessus.
1) Le 1er juillet 2015, il dépose à nouveau 2000 €. Quel est alors le solde de son compte ? 1 pt 2000 1,03× 2+2000 4121,80= .
2) Le 1er juillet 2016, il retire 3000 € de ce compte. Combien lui reste-t-il alors ? 1,5 pt 4121,80 1,03 3000 1245,45× − = .
3) Sachant que le 1er juillet 2017, le solde de son compte est 2500,68 €, quelle somme a-t-il déposée le 1er
janvier 2017 ? 1,5 pt
Si le solde de son compte est 2500,68 € au 1er juillet 2017, alors il vaut 2500,68 1,03× −0,5=2464,00 au 1er janvier 2017. Or son solde de 1245,45 € au 1er juillet 2016 est devenu 1245,45 1,03× 0,5 =1264,00 au 1er janvier 2017. À cette date, il a donc déposé 1200 € sur son compte.
Exercice 3 : programmation linéaire (8 points)
Un ébéniste désire analyser son chiffre d'affaires en fonction de ce qu'il produit et vend. Il fabrique des fauteuils (x fauteuils par mois) et des guéridons (y guéridons par mois).
Chaque fauteuil nécessite 1h30min de découpe et 2h15min de façonnage.
Chaque guéridon nécessite 2h30min de découpe et 1h30min de façonnage.
2017-2019 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE – page 2 sur 3 La découpe est effectuée par son apprenti, embauché à 130 heures mensuelles.
Le façonnage est effectué par l'ébéniste lui-même, qui travaille 150 heures par mois.
1) Montrer que les contraintes sur les nombres de fauteuils et de guéridons fabriqués peuvent se résumer au système suivant : 0,6 52
1,5 100
x y x y
+ ≤
+ ≤ . 1 pt
Le temps passé à la découpe est x fois 1,5 h/fauteuil + y fois 2,5 h/guéridon, et ne peut dépasser 130 h.
1,5x+2,5y≤130, soit en divisant par 2,5 : 0,6x+ ≤y 52.
Le temps passé au façonnage est x fois 2,25 h/fauteuil + y fois 1,5 h/guéridon, et ne peut dépasser 150 h.
2,25x+1,5y≤150, soit en divisant par 1,5 : 1,5x+ ≤y 100.
2) a. Sur le graphique ci-dessous, représenter les deux droites (D1) : y = 52 – 0,6x et (D2) : y = 100 – 1,5x.
On limitera x à l'intervalle [0 ; 65] et y à l'intervalle [0 ; 60]. 1,5 pt b. Mettre en évidence le domaine du plan correspondant au système présenté à la question 1 (en hachurant
la zone non solution, par exemple) et surligner en gras le polygone des contraintes. 0,5 pt
3) Dans cette question, on fixe le prix de vente d'un fauteuil à 54 € et celui d'un guéridon à 78 €.
On appelle C le chiffre d'affaires réalisé par la vente de x fauteuils plus y guéridons.
a. Montrer que 9
13 78
y= − x+ C . 1 pt
On appellera par la suite "droite de chiffre d'affaires", notée ici (DC), une droite ayant ce type d'équation.
Le prix de vente total est x fois 54 €/fauteuil + y fois 78 €/guéridon, et est noté C.
70 y
60
50
40
30
20
10
0 x
0 10 20 30 40 50 60 70 D
1D
2D
5850D
3900A
D
44402017-2019 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE – page 3 sur 3
54 78
C= x+ y, soit en divisant par 78 : 9 78 13
C = x+y.
b. Représenter sur le graphique la droite (D5850), droite de coût pour C = 5850 €.
Existe-t-il des couples (x, y) qui rendent compatibles les contraintes et ce chiffre d'affaires ?
Mêmes questions pour un chiffre d'affaires de 3900 €. 1,5 pt
Équation de la première droite : 9 13 75
y= − x+ . Cette droite ne possède pas de point commun avec la zone solution du système de contraintes : un chiffre d'affaires de 5850 € ne peut être atteint.
Équation de la deuxième droite : 9 13 50
y= − x+ . Cette droite possède un segment en commun avec la zone solution du système de contraintes : un chiffre d'affaires de 3900 € peut être atteint.
4) a. Déterminer la droite de chiffre d'affaires permettant un chiffre d'affaires maximal tout en respectant les
contraintes (on devra justifier le choix de cette droite). 1 pt
L'ordonnée à l'origine de la droite optimale doit être la plus grande possible, car elle est proportionnelle au chiffre d'affaires, tout en permettant à cette droite d'être en contact avec la zone solution. On note aussi que ces droites de chiffre d'affaires sont parallèles entre elles (pente commune : -9/13). Le point de contact optimal est alors celui qui est nommé A sur la figure, point d'intersection de D1 et D2. (voir figure : point A et droite en pointillés)
b. Donner les coordonnées x et y du point correspondant à cet optimum. En déduire la production à
effectuer et le chiffre d'affaires attendu 1,5 pt
52 – 0,6x = 100 – 1,5x ⇔ 0,9x = 48 ⇔ x = 53,33 et y = 20.
On produira donc 53 fauteuils et 20 guéridons, pour un chiffre d'affaires C= × + × =54 53 78 20 4422€.
On vérifie que les points les plus proches, en coordonnées entières ET situés dans la zone solution, qui sont (51, 21) et (54, 19), correspondent à des chiffres d'affaires inférieurs à 4422 €.
Exercice 4 : second degré (4 points)
1) Une grandeur y dépend d'une variable x selon la formule y=x2+201x. En résolvant une équation du second degré (montrer les principales étapes de calcul), déterminer les valeurs de x pour lesquelles y atteint la
valeur 300. 2 pts
2 201 300 2 201 300 0. 41601
x + x= ⇔x + x− = ∆ = . Cette équation admet deux solutions :
1
201 41601
202,48
x =− −2 ≈ − et 2 201 41601
1,4816
x =− +2 ≈ .
2) Question bonus : un placement a rapporté p% en 2016 et (p + 1)% en 2017. Durant ces deux années, il a rapporté en tout 4%.
a. Expliquer pourquoi p vérifie l'équation :
(
100+ p)(
101+ p)
=10400. 1 ptLes coefficients multiplicateurs correspondant à ces augmentations sont 1 100
+ p et 1
1 100
p+
+ . Or le coefficient multiplicateur global est 1,04. Donc 1
1 1 1,04
100 100
p p+
+ + =
. En multipliant par 100 dans
chaque parenthèse et donc par 10000 la valeur 1,04 on obtient :
(
100+p)(
101+ p)
=10400.b. Après l'avoir développée, réduite et ordonnée, résoudre cette équation. 1 pt
(
100+ p)(
101+ p)
=10400⇔10100 201+ p+p2=10400⇔ p2+201p−300 0= . ∆ =41601On résout donc à nouveau l'équation de la question 1 : cette équation admet deux solutions :
1
201 41601
202,48
p =− −2 ≈ − , irréaliste puisqu'une baisse de 202,48% est impossible, et
2
201 41601
1,4816
p =− +2 ≈ . Le placement a donc rapporté 1,4816% en 2016 et 2,4816% en 2017.
____________________ FIN DU SUJET ____________________
