2019-2021 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE page 1 sur 3
IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2019-2021 11/2019
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Semestre 1 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2
CORRIGE
Exercice 1 : (4 points)
Le prix d’un article est fixé à 35 € HT (hors taxes). A cela doit s’ajouter une TVA représentant 5,5% du prix HT.
La somme [prix HT (€) + TVA (€)] nous donne un montant TTC (toutes taxes comprises) à facturer à un client.
1) Déterminer le montant de la TVA, en €, à appliquer à cet article ; en déduire son prix TTC. 1 pt TVA = 35 × 5,5% = 1,925 € ; prix TTC : 35 + 1,925 = 36,925 € (ou 36,92 ou 36,93).
2) Retrouver le prix TTC de cet article sans calculer le montant de la TVA. 1 pt TTC = 35 × 1,055 = 36,925
3) Si une remise de 20% est accordée sur le prix HT, est-ce que le client paiera 20% de moins que
précédemment ? (réponse à justifier par un calcul clair). 1 pt
OUI : nouveau prix HT : 35 × 0,8 ;
nouveau prix TTC : 35 × 0,8 × 1,055 = 35 × 1,055 × 0,8 = ancien prix TTC × 0,8 autre façon de le dire, en calculant tout :
nouveau prix HT : 35 × 0,8 = 28 € ; nouveau prix TTC = 28 × 1,055 = 29,54 ;
taux de variation du nouveau TTC par rapport à l’ancien : (29,54 – 36,925) / 36,925 = –20%
4) Si un autre article est vendu 50 € TTC, quel est son prix HT ? 1 pt HT = TTC / 1,055 = 50 / 1,055 = 47,39 €
Exercice 2 : (7 points)
Une société prépare et conditionne des planches en vue de la commercialisation de meubles préfabriqués. Les planches sont de trois sortes différentes : P1, P2, P3 ; les meubles assemblés seront de deux types : A et B. Le tableau ci-dessous montre le nombre de planches de chaque sorte nécessaires à la constitution d’un meuble A ou d’un meuble B :
P1 P2 P3
A 6 3 10
B 4 5 10
Elle vendra 200 € un meuble de type A et 150 € un meuble de type B.
En raison d’un retard de livraison en matières premières, elle ne peut utiliser, pendant une période, que son stock de planches : 400 planches P1, 350 planches P2 et 750 planches P3.
Son directeur de production se demande donc comment utiliser au mieux les planches restantes, c’est à dire combien (x) de meubles A et combien (y) de meubles B il faudrait produire avec ce stock pour optimiser le chiffre d’affaires issu des ventes.
1) Montrer que l’écriture des contraintes de stock conduit au système :
1,5 100 0,6 70
75
y x
y x
y x
≤ − +
≤ − +
≤ − +
1 pt
La production de x meubles A et y meubles B consomme 6x + 4y planches P1, 3x + 5y planches P2 et 10x + 10y planches P3. Les quantités présentes en stock mènent donc au système :
6 4 400
3 5 350
10 10 750
x y
x y
x y
+ ≤
+ ≤
+ ≤
qui, une fois réduit, donne :
1,5 100 0,6 70
75
y x
y x
y x
≤ − +
≤ − +
≤ − +
.
2) Ci-dessous, représenter graphiquement la zone du plan solution du système précédent. Echelles pour x et
pour y : 1 cm pour 10 unités. 2 pts
2019-2021 – S1 – Mathématiques – DEVOIR 1 CORRIGE page 2 sur 3 On trace les trois droites dont les équations découlent des inéquations du système.
Puis, ces trois inéquations indiquent que l’on doit se situer en-dessous des trois droites à la fois.
3) On notera R la recette totale issue de la vente de x meubles A et de y meubles B.
a. Montrer que 4
3 150
y= − x+ R . 1 pt
La recette issue de la vente de x meubles A et y meubles B est : R = 200x + 150y.
Donc 200 4
150 150 3 150
R R
y= − x+ = − x+
b. Tracer, sur le graphique de la question 2, un exemple de droite d’iso-recette, conformément à l’équation
ci-dessus, en fixant la valeur de la recette à 9000 €. 1 pt
Choisissons R = 9000 et traçons donc la droite D9000 d’équation 4 9000 4
3 150 3 60
y= − x+ = − x+ .
c. Déterminer graphiquement la droite d’iso-recette compatible avec les contraintes de stock et donnant la plus forte recette possible. Ecrire les justifications ci-dessous. 1 pt Si, avec une droite d’équation 4
3 150
y= − x+ R , on veut R maximal, alors il faut une ordonnée à l’origine maximale. A partir de D9000, on remonte parallèlement, jusqu’à perdre le contact avec la zone solution du système de contraintes. Le dernier point de contact avec cette zone est alors le point d’intersection de D1 et D3.
d. Donner alors les nombres de meubles A et de meubles B à fabriquer (avec justification par le calcul), puis la recette qui sera réalisée et enfin le nombre de planches qu’il restera de chaque type à l’issue de la
fabrication. 1 pt
Ce point d’intersection vérifie –1,5x + 100 = –x + 75, donc x = 50 ; y = –x + 75 = –1,5x + 100 = 25.
On fabriquera 50 meubles A et 25 meubles B pour une recette maximale : R = 200x + 150y = 13750€.
Exercice 3 : (4 points)
1) Déterminer, pour tout réel x, le signe du polynôme B(x) = –x² + 3x + 10. 2 pts
∆ = 9 + 40 = 49. Racines : 5 et –2. Comme a (= –1) est négatif, B(x) est négatif pour tout réel x, sauf lorsque x se trouve entre –2 et 5.
D1
D2
D3
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2) B(x) est ici le bénéfice, en milliers d’euros, obtenu par la production et la vente de x tonnes d’un produit.
a. D’après les résultats de la question précédente, pour quelles quantités produites et vendues ce bénéfice
est-il positif ? 0,5 pt
Il s’agit du polynôme cité en question 1, qui est positif si x ∈ [–2 ; 5].
Le résultat est positif si on vend entre 0 et 5 tonnes.
b. Pour quelle quantité produite et vendue ce bénéfice est-il maximal ? Combien vaut-il ? 1,5 pt Il est maximal pour x = –b/2a = 1,5 tonne et vaut B(1,5) = 12,25 k€.
Exercice 4 : (5 points)
Une somme de 2500 € est placée pendant 7 ans et demie sur un compte rémunéré en intérêts composés au taux d’intérêts annuel de 4%.
1) Déterminer la valeur acquise à l’issue de ce placement. 1,5 pt
C7 = C0×1,047,5 = 3354,98 €.
2) Déterminer le taux équivalent de ce placement sur une durée de 5 ans. 2 pts Il faut trouver t tel que 2500×(1 + t)5 = 3354,98 ; soit 1 + t = 1,3421/5 = 1,0606. t = 6,06 %.
3) Dans les conditions de l’énoncé, déterminer combien de temps il faudrait placer son argent pour que le
capital de départ soit multiplié par deux. 1,5 pt
1,04n = 2 ssi n = ln(2)/ln(1,04) = 17,67. Il faut 17 ans et 8 mois.
