B H CORRIGE MATHEMATIQUES – Semestre 3, DEVOIR 1 durée : 2h – coefficient 1/2 IUT de Saint-Etienne – Département Techniques de Communication M. Ferraris Promotion 2019-2021 12/11/2020

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2019-2021 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 1 Corrigé page 1 sur 4

IUT de Saint-Etienne – Département Techniques de Communication

M. Ferraris Promotion 2019-2021 12/11/2020

MATHEMATIQUES – Semestre 3, DEVOIR 1 durée : 2h – coefficient 1/2

CORRIGE

Exercice 1 : (4,5 points)

Parmi les gérants des 120 magasins d’une galerie marchande, 6 d’entre eux déclarent vouloir ouvrir un point de vente supplémentaire en centre-ville. Mme Shaw Ping, qui vient régulièrement dans cette galerie mais habite en centre-ville, pose la question, dans chaque magasin où elle se rend, d’une éventuelle ouverture d’un point de vente supplémentaire près de chez elle. Après avoir posé la question dans 12 magasins, elle constate qu’elle n’a toujours pas eu de réponse positive.

1) Construire la loi de probabilité de la variable X = « nombre de oui après 12 tentatives ». 1,5 pt Chaque réponse est un « oui » (succès) ou un « non » (échec). Les questions sont posées à douze magasins différents (tirage sans remise) et N < 20n car 120 < 240. La loi de X est donc hypergéométrique et ne peut être correctement décrite par une loi binomiale.

Plus précisément : ^X ^→

^H (

^{12 6 120}^, ^,

)

^.

2) Le fait que Mme Shaw Ping n’ait eu aucune réponse positive est-il si improbable ? 1,5 pt

( )

⁰⁶ 12¹²¹¹⁴ 120

C C

p 0 0,5239

X = = C× ≈ . C’était assez probable !

3) Quelle était la probabilité que Mme Shaw Ping ait eu au moins deux réponses positives ? 1,5 pt

( ) ( ) ( )

¹⁶ 12¹¹¹¹⁴

120

C C

p X 2 1 p X 0 p X 1 1 0,5239 1 0,5239 0,3662 0,1099

C

≥ = − = − = = − − × = − − = .

Exercice 2 : (4 points)

Dans une station balnéaire, à la fin de l’été, la météo n’est pas très clémente. Les services météorologiques ont estimé que, pour chaque jour de la semaine à venir, la probabilité qu’il pleuve le lendemain est égale à 30%. L’équipe municipale, dont la commune est assez riche, a décidé d’organiser des activités les jours où il pleuvrait : chaque jour de pluie se verra doté d’un budget de 5000 € pour cela.

1) Construire la loi de probabilité de la variable X = « nombre de jours de pluie dans les sept prochains jours ».

1 pt Chaque lendemain voit la pluie arriver (succès) ou non (échec). La probabilité de succès est invariable : p = 30%. X est donc décrit par la loi

^B (

^{7 0,3}^,

)

^.

2) Donner l’espérance et l’écart type du nombre de jours de pluie à prévoir pour l’ensemble de ces sept jours.

Interpréter ces paramètres en discutant de leur utilité pour la station balnéaire. 1,5 pt Espérance : np = 2,1. Ecart type = npq= 1,47≈1,212.

Sur un grand nombre de semaines placées dans des conditions identiques (30% de chances de pluies du jour au lendemain), on peut s’attendre en moyenne à 2,1 jours de pluie par semaine et l’écart moyen du nombre de jours de pluie entre deux semaines est de 1,2 jour.

Ces résultats sont absolument inutiles à la station balnéaire, qui ne peut faire ses prévisions que sur une seule semaine.

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3) Quel est le budget global qui a au maximum 1% de chances d’être dépassé ? 1,5 pt Cherchons d’abord le nombre de jours de pluie qui a 99% de chances de ne pas être dépassé. Pour cela, la fonction BCd (Casio) ou binomFRep (TI) sera utile puisqu’elle nous donnera les probabilités que X soit inférieur ou égal à un nombre donné.

On crée donc la fonction Y1=BinomialCD(X,7,0.3) sur Casio ou Y1=binomFRep(7,0.3,X) sur TI, pour X compris entre 0 et 7. Le tableau de valeurs obtenu sera le suivant :

X Y1

0 0,0823543 1 0,3294172 2 0,6470695

3 0,873964

4 0,9712045 5 0,9962092 6 0,9997813

7 1

On voit que la probabilité que la semaine ne compte pas plus de 4 jours de pluie est 97,12% et que la probabilité que la semaine ne compte pas plus de 5 jours de pluie est 99,6%. Il y a donc moins de 1% de risque de dépasser 5 jours de pluie (et plus de 1% de dépasser 4 jours de pluie) et le budget à prévoir est donc 5×5 000 € = 25 000 €.

Exercice 3 : (4,5 points)

1) La variable X est distribuée par la loi

N

_{(30 , 6).}

a. Expliquer pourquoi on sait sans faire de calculs que p(24 < X < 36) = 68,3 %. 0,75 pt L’intervalle [24 ; 36] est celui des valeurs distantes de moins d’un écart type de la moyenne. En loi normale, quels que soient ses paramètres, il s’agit d’un intervalle à 68,3 % de confiance.

b. Donner, grâce à la calculatrice : 0,75 pt

b1. p(X < 39) = 0,9332 b2. p(X > 24) = 0,8413 b3. p(23 < X < 28) = 0,2478

c. Déterminer la valeur x0 telle que p(X > x0) = 5%. 1 pt

* Avec le formulaire : p(U > u0) = 5% ⇔ p(U < u0) = 0,95. Donc u0 = 1,645.

Comme u0 = ⁰ 30 6 x −

, on obtient x0 = 30 + 1,645×6 = 39,87.

* Avec l’outil InvNormale (Casio) ou FracNormale (TI) : on renseigne une probabilité de 0,95. (en effet, ces outils renvoient une valeur de X lorsqu’on leur donne une probabilité d’être inférieur à cette valeur)

* Avec une fonction sur calculatrice :

Casio : Y1=NormCd(X,1000,6,30) SET : Start 39, End 40, Step 0.01 TABL TI : Y1=NormalFRep(X,1000,30,6) 2^nd-Fenêtre : Début 39, Pas 0.01 Table

2) X est une variable discrète distribuée par la loi

B

(100, 0,2). On pourra remplacer cette loi par

N

_{(20, 4).}

a. Déterminer, avec ces deux lois, la probabilité que X vaille au moins 22. 1,5 pt Loi binomiale : 0,3460. Casio : 1-binomialCd(21,100,0.2) TI : 1-binomFRep(100,0.2,21)

Loi normale : 0,3538. Casio : normCd(21.5,1000,4,20) TI : normalFRep(21.5,1000,20,4)

b. Expliquer la différence visible entre les deux résultats. 0,5 pt

La loi normale est une loi continue (dite aussi « à densité ») et rend compte imparfaitement des probabilités liées à une variable discrète, même si les critères de passage sont vérifiés.

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2019-2021 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 1 Corrigé page 3 sur 4 Exercice 4 : (7 points)

Sur une chaîne de fabrication de boîtes de conserve, 3% des boîtes ne sont pas conformes aux spécifications du fabricant. Un échantillon de 200 boîtes est tiré de cette chaîne de fabrication et on appelle X la variable aléatoire « nombre de boîtes non conformes dans cet échantillon ».

1) Parmi les lois hypergéométrique, binomiale et Poisson, dire laquelle (ou lesquelles) pourraient être utilisées

pour X (Justifier). 1,5 pt

Chaque boîte tirée est non conforme (succès) ou conforme (échec). Le tirage est effectué sans remise, mais la production totale, inconnue, sera considérée supérieure à vingt fois 200 ; donc, la probabilité de succès (p = 0,03) est à peu près invariable. Enfin, X désigne le nombre aléatoire de succès sur 200 boîtes tirées (n = 200).

La loi de X est hypergéométrique, mais selon l’hypothèse d’une grande production on pourra utiliser une loi binomiale : ^X ^→

^B (

^{200 ; 0,03}

)

^.

Les conditions de passage à une loi de Poisson sont réunies : n = 200 > 30, p = 0,03 < 0,1, np = 6 < 10.

On pourrait donc utiliser

^P ( )

⁶ ^.

2) Dans cette question, on utilisera une loi de Poisson.

a. Donner la probabilité que toutes les boîtes de l’échantillon soient conformes. 0,5 pt p(X = 0) = 0,00248 (pour info, en loi binomiale : C₂₀₀⁰ ×0,03⁰×0,97²⁰⁰ ≈ 0,0023)

b. Donner la probabilité de la valeur de X la plus probable. 0,75 pt La valeur la plus probable est le nombre entier le plus proche de l’espérance, soit 6 succès.

p(X = 6) = 0,16062 (pour info, en loi binomiale : C₂₀₀⁶ ×0,03⁶×0,97¹⁹⁴≈ 0,1631)

3) a. Peut-on approcher la loi binomiale de X par une loi normale ? Laquelle ? 0,5 pt n =200 > 30, np = 6 > 5, nq = 194 > 5. Donc

^B (

^{200 ; 0,03}

)

^≈

^N (

^{6 ; 2,412}

)

^.

b. Calculer, avec cette loi normale, la probabilité d’avoir six boîtes non conformes. 0,5 pt p(X = 6) = p(5,5 < X < 6,5) = 0,1642. On retrouve une réponse similaire à celle de la question 2b.

c. Calculer, avec cette loi normale, la probabilité d’avoir plus de 10 boîtes non conformes. 0,75 pt p(X > 10,5) = 0,03104.

d. Calculer, avec cette loi normale, la probabilité d’avoir plus de 9 et moins de 13 boîtes non conformes (on raisonnera sur un intervalle, au lieu d’aditionner plusieurs probabilités). 1 pt p(9,5 < X < 12,5) = 0,06986.

e. Quelle devrait être la taille maximale de l’échantillon pour que la probabilité d’avoir plus de 10 boîtes non

conformes ne dépasse pas 1% ? 1,5 pt

Première façon de chercher une réponse :

La fonction NCd (Casio) ou normalFRep (TI) sera utile puisqu’elle nous donnera les probabilités que la variable dépasse 10,5, pour plusieurs tailles d’échantillon. Il est essentiel de se rendre compte que les paramètres de la loi normale dépendent de ces tailles, afin d’effectuer la bonne demande :

la loi de X est ici

N (

np^; npq

) (

=

N

0,03 ; 0,0291n n

)

_.

On crée donc la fonction Y1=NormalCd(10.5,1000,√(X×0.0291),0.03×X) sur Casio

ou Y1= normalFRep(10.5,1000,0.03×X,√(X×0.0291),) sur TI, pour X (taille d’échantillon) compris entre 150 et 200 par exemple. Le tableau de valeurs obtenu contiendra en particulier :

X Y1

172 0,00849602 173 0,00897615 174 0,0094764 175 0,00999727 176 0,01053925 177 0,01110282

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On peut alors dire qu’avec un échantillon de 175 boîtes au maximum, la probabilité d’avoir plus de 10 boîtes non conformes ne dépasse pas 1%.

Autre façon de chercher une réponse :

D’après le formulaire, la valeur de U qui n’a que 1% de chances d’être dépassée est 2,33.

D’autre part, la loi de X est ici

N (

np^; npq

) (

=

N

0,03 ; 0,0291n n

)

_.

La formule du changement de variable X

U µ

σ

= − devient donc : 10,5 0,03 2,33

0,0291 n n

= − .

On peut entrer cette dernière fraction sur sa calculatrice en tant que fonction de n pour obtenir un tableau de valeurs de cette fraction, qui nous montrera à partir de quelle valeur de n elle passera en- dessous de 2,33. On obtient alors : n = 175.

On peut aussi résoudre l’équation proposée : 10,5 0,03

2,33 10,5 0,03 2,33 0,0291 0,3975 0,03 0,3975 10,5 0

0,0291

n n n n n n

n

= − ⇔ − = = ⇔ + − = .

En posant √n = N : 0,03N²+0,3975N 10,5− =0, équation du second degré.

∆ = 1,418 : deux racines réelles pour N : –26,47 (impossible car négatif) et 13,22.

Une possibilité pour n (= N²) : 13,22² = 174,8 que l’on arrondira à 175.

__________ FIN DU SUJET __________